必修2第五章曲线运动第6、7节向心力与圆周运动的应用-三校-王成

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精锐教育学科教师辅导讲义(2B)

讲义编号_10sh2sx000818 学员编号： 年 级：高二 课 时 数： 3 学员姓名： 辅导科目：物理 学科教师： 王成才 课 题 授课日期及时段 向心力 生活中的圆周运动 年 月 日 1、 知道什么是向心力，理解它是一种效果力。 2、 知道向心力大小与哪些因素有关。理解公式的确切含义，并能用来进行计算。 3、理解变速圆周运动中合外力与向心力的关系。 4、知道向心力是圆周运动的物体半径方向的合力，不管是匀速圆周运动还是变速圆周运动。 5、通过日常生活中的常见例子，学会分析具体问题中的向心力来源。 6、能理解运用匀速圆周运动规律分析和处理生活中的具体实例。 教学内容 课前检测 1、向心力： ，向心力是产生 的原因，它使物体速度的 不断改变，但不能改变速度的 。向心力是按 命名的力，它可由重力、弹力、摩擦力等提供，也可以是这些力的合力或它们的分力来提供。向心力大小的计算公式： 。 。 2、火车转弯时的运动特点：火车转弯时做的是________运动，因而具有向心加速度，需要__________。 3、为了消除火车车轮对路轨的侧向压力，铁路弯道处内、外轨不在同一水平面上，即_______高、__________低。其高度差是根据转弯处轨道的半径和规定的行驶速度而设计的。 4、设火车质量m、轨道平面倾角θ、轨道转弯处半径r、规定的车速v，则应有 （写出表达式） 5、汽车在凸形桥的最高点时， 提供向心力。请写出对应的表达式： 。（设桥的半径是r，汽车的质量是m，车速为v，支持力为FN）。 6、汽车在凹形桥的最低点时， 提供向心力。请写出对应的表达式： （设桥的半径是r，汽车的质量是m，车速为v，支持力为FN）。 7、近地做匀速圆周运动的航天器中，物体的向心力由 提供。把航天器失重的原因说成是它离地球太远，从而摆脱了地球引力，是 的。 8、做圆周运动的物体，在合外力突然消失时，将会 ；如果合外力未消失，但合力不足以提供它做圆周运动所需的向心力时，将会做逐渐__________圆心的运动，这种运动叫离心运动。 教学目的 知识梳理 （一）向心力 1、关于向心力的来源。 精锐教育网站：www.1smart.org

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中小学1对1课外辅导专家 （1）介绍：分析和解决匀速圆周运动的问题，首先是要把向心力的来源搞清楚。 2、向心力 （1）向心力的方向总是与物体运动的方向垂直，总是沿着半径指赂圆心。向心力的作用只是改变速度的方向。 （2）向心力的大小为 v2F?mr?或F?m r2说明： ①向心力是按效果命名的力； ②任何一个力或几个力的合力只要它的作用效果是使物体产生向心加速度，它就是物体所受的向心力； ③不能认为做匀速圆周运动的物体除了受到另外物体的作用外，还要另外受到向心力。 3、简介运用向心力公式的解题步骤： （1）明确研究对象，确定它在哪个平面内做圆周运动，找到圆心和半径。 （2）确定研究对象在某个位置所处的状态，进行具体的受力分析，分析哪些力提供了向心力。 （3）建立以向心方向为正方向的坐标，据向心力共式列方程。 （4）解方程，对结果进行必要的讨论。 （二）匀速圆周运动与非匀速圆周运动 1、匀速圆周运动 （1）特点：线速度的大小恒定，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不变的。 （2）性质：是速度大小不变而速度方向时刻在变的变速曲线运动，并且是加速度大小不变、方向时刻变化的变加速曲线运动。 （3）加速度和向心力：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故仅存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力。 （4）质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心． 2、非匀速圆周运动 （1）非匀速圆周运动的物体，不仅线速度大小、方向时刻在改变，而且加速度的大小、方向也时刻在改变，是变加速曲线运动（注：匀速圆周运动也是变加速运动）。 非匀速圆周运动的合力一般不指向圆心，非匀速圆周运动所受的合外力产生两个效果。 （2）半径方向的分力：产生向心加速度而改变速度方向。 （3）切线方向的分力：产生切线方向加速度而改变速度大小。 故利用公式求圆周上某一点的向心力和向心加速度的大小，必须用该点的瞬时速度值。 （三）生活中的圆周运动 1、火车转弯 精锐教育网站：www.1smart.org

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中小学1对1课外辅导专家 火车转弯特点：火车转弯是一段圆周运动，圆周轨道为弯道所在的水平轨道平面。 受力分析，确定向心力（向心力由铁轨和车轮轮缘的相互挤压作用产生的弹力提供）。 缺点：向心力由铁轨和车轮轮缘的相互挤压作用产生的弹力提供，由于火车质量大，速度快，由公式F向=mv2/r，向心力很大，对火车和铁轨损害很大。 事实上在火车转弯处，外轨要比内轨略微高一点，形成一个斜面，火车受的重力和支持力的合力提供向心力，对内外轨都无挤压，这样就达到了保护铁轨的目的。 强调说明：向心力是水平的。 F向= mv02/r = F合= mgtanθ v0=grtan? （1）当v= v0，F向=F合 内外轨道对火车两侧车轮轮缘都无压力. （2）当v＞v0，F向＞F合时 外轨道对外侧车轮轮缘有压力. （3）当v＜v0，F向＜F合时 内轨道对内侧车轮轮缘有压力. 要使火车转弯时损害最小，应以规定速度转弯，此时内外轨道对火车两侧车轮轮缘都无压力。 2、拱形桥 质量为m的汽车在拱形桥上以速度v行驶，若桥面的圆弧半径为R，画出受力分析图，分析汽车通过桥的最高点时对桥的压力。 在最高点，对汽车进行受力分析，确定向心力的来源；由牛顿第二定律列出方程求出汽车受到的支持力；由牛顿第三mv2定律求出桥面受到的压力FN′=G? R可见，汽车对桥的压力FN′小于汽车的重力G，并且，压力随汽车速度的增大而减小。 汽车通过凹形桥最低点时 v2FN=G+m R汽车对桥的压力比汽车的重力大， 精锐教育网站：www.1smart.org - 3 -

中小学1对1课外辅导专家 课堂训练： 一辆质量m=2.0 t的小轿车，驶过半径R=90 m的一段圆弧形桥面，重力加速度g=10 m/s2。求： （1）若桥面为凹形，汽车以20 m/s的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大？ （2）若桥面为凸形，汽车以10 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大？ （3）汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力？ 解答：（1）汽车通过凹形桥面最低点时，在水平方向受到牵引力F和阻力f.在竖直方向受到桥面向上的支持力N1和向下的重力G=mg，如图所示.圆弧形轨道的圆心在汽车上方，支持力N1与重力G=mg的合力为N1-mg，这个合力就v2是汽车通过桥面最低点时的向心力，即F向=N1-mg.由向心力公式有：N1-mg=m R 解得桥面的支持力大小为 v2202N1=m+mg=(2 000×+2 000×10)N=2.89×104 N R90根据牛顿第三定律，汽车对桥面最低点的压力大小是2.98×104 N. （2）汽车通过凸形桥面最高点时，在水平方向受到牵引力F和阻力f，在竖直方向受到竖直向下的重力G=mg和桥面向上的支持力N2，如图所示.圆弧形轨道的圆心在汽车的下方，重力G=mg与支持力N2的合力为mg-N2，这个合力v2就是汽车通过桥面顶点时的向心力，即F向=mg-N2，由向心力公式有mg-N2=m R 精锐教育网站：www.1smart.org - 4 -

中小学1对1课外辅导专家 v2102解得桥面的支持力大小为N2=mg?m=(2 000×10-2 000×)N=1.78×104 N R90根据牛顿第三定律，汽车在桥的顶点时对桥面压力的大小为1.78×104 N. （3）设汽车速度为vm时，通过凸形桥面顶点时对桥面压力为零。根据牛顿第三定律，这时桥面对汽车的支持力也为零，汽车在竖直方向只受到重力G作用，重力G=mg就是汽车驶过桥顶点时的向心力，即F向=mg，由向心力公式有2vmmg=m R解得：vm=gR?10?90m/s=30 m/s 汽车以30 m/s的速度通过桥面顶点时，对桥面刚好没有压力。 小结： 汽车不在拱形桥的最高点或最低点时，汽车受到重力和垂直于支持面的支持力，将重力分解为平行于支持面和垂直于支持面的两个分力，这样，在垂直于支持面的方向上重力的分力和支持力的合力提供向心力。 3、航天器中的失重现象 假设宇宙飞船质量为M，它在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径近似等于地球半径R，航天员质量为m，宇宙飞船和航天员受到的地球引力近似等于他们在地面的重力。 在任何关闭了发动机，又不受阻力的飞行器中，都是一个完全失重的环境.其中所有的物体都处于完全失重状态。 （四）离心运动与向心运动 1、定义：做圆周运动的物体，在所受外力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。这种运动叫做离心运动。 2、做圆周运动的物体，离心现象条件的分析 （1）当F合外力?F向 时，物体被限制着沿圆周运动。 （2）当F合外力?0时，物体便沿所在位置的切线方向飞出去。 （3）当F合外力?F向时，物体沿切线和圆周之间的一条曲线运动。 3、当F合外力?F向时，物体离圆心将越来越近，即做向心运动。 重难点突破 （一）圆周运动中的动力学问题分析 1、向心力的来源 （1）向心力不是和重力、弹力、摩擦力相并列的一种类型的力，是根据力的效果命名的．在分析做圆周运动的质精锐教育网站：www.1smart.org

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中小学1对1课外辅导专家 点受力情况时，切不可在物体的相互作用力（重力、弹力、摩擦力、万有引力）以外再添加一个向心力． （2）由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变的运动，故只存在向心加速 度，物体受的外力的合力就是向心力。显然物体做匀速圆周运动的条件是：物体的合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。 2、向心力的确定 （1）确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置， （2）分析圆周运动物体所受的力,作出受力图,最后找出这些力指向圆心方向的合外力就是向心力． 3、变速圆周运动向心力的分析向心力来源的步骤同分析匀速圆周运动向心力来源的步骤相向．但要注意， （1）一般情况下，变速圆周运动的向心力是合外为沿半径方向的分力提供． （2）分析竖直面上变速圆周运动的向心力的来源时，通常有细绳和杆两种模型． v（3）当物体所受的合外力小于所需要提供的向心力时，即F向＜m时，物体做离心运动；当物体所受的合外力大r2v于所需要的向心力，即F向＞m时，物体做向心运动。 r2【例1】有一辆质量为1.2t的小汽车驶上半径为50m的圆弧形拱桥。问： （1）汽车到达桥顶的速度为10m/s时对桥的压力是多大？ （2）汽车以多大的速度经过桥顶时恰好对桥没有压力作用而腾空？ （3）设想拱桥的半径增大到与地球半径一样，那么汽车要在这样的桥面上腾空，速度要多大？ (重力加速度取10 m/s2，地球半径R取6.4×10km) 3 v12解析：（1）根据牛顿第二定律:mg?FN?m rv12??FN?9.6?103N ?9.6?103N，根据牛顿第三定律:FN解得：FN?mg?mr2v2(2) 根据牛顿第二定律:mg?m r解得：v2?gr?105m/s(或22.4m/s) 2v3(3) 根据牛顿第二定律:mg?m R解得：v3?gR?8?103m/s 点评：圆周运动的一般解题步骤： 精锐教育网站：www.1smart.org - 6 -

中小学1对1课外辅导专家 1、首先确定圆周运动的轨道所在的平面 2、其次找出圆心所在的位置 3、然后分析受力情况，作出受力图，指向圆心的合外力就是向心力 （二）圆周运动的临界问题 1、“轻绳”模型 （1）绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力 （2）临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv/R→v临界=Rg（可理解为恰好转过或恰好转不过的速度） （3）①如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度V临≠Rg ②能过最高点的条件：v≥Rg，当V＞Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． ③不能过最高点的条件：V＜V临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道） 2、如图（a）的球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况： 2 （1）杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力． ①当v＝0时，N＝mg（N为支持力） ②当 0＜v＜Rg时， N随v增大而减小，且mg＞N＞0，N为支持力． ③当v=Rg时，N＝0 ④当v＞Rg时，N为拉力，N随v的增大而增大（此时N为拉力，方向指向圆心） 管壁支撑情况与杆子一样 若是图（b）的小球，此时将脱离轨道做平抛运动．因为轨道对小球不能产生拉力． （2）如果小球带电，且空间存在电场或磁场时，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合力等于向心力，此时临界速度V0?gR 。要具体问题具体分析，但分析方法是相同的。 【例2】如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为l的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，已知O点到斜面底边的距离sOC=L，求： 精锐教育网站：www.1smart.org

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中小学1对1课外辅导专家 (1）小球通过最高点A时的速度vA． (2）小球通过最低点B时，细线对小球的拉力． (3）小球运动到A点或B点时细线断裂，小球滑落到斜面底边时到C点的距离若相等，则l和L应满足什么关系？ 解析：(1) 小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，刚小球通过A点时细线的拉力为零，根据圆周运动和牛顿第二定律有： v2mgsin?=mA l解得：vA=glsin? （2）小球从A点运动到B点，根据机械能守恒定律有： 112mv2+mg?2lsin?=mvB A22解得： vB=5glsin? 小球在B点时根据圆周运功和牛顿第二定律有 2vBT-mgsin?=m l解得： T=6mgsin? （3）小球运动到A点或B点时细线断裂，小球在平行底边方向做匀速运动，在垂直底边方向做初速为零的匀加速度运动〔 类平抛运动） 12atA, sA=vAtA 212 细线在B点断裂：L-l=atB, sB=vBtB 2细线在A点断裂：L+l=又sA=sB 联立解得：L=3l 232答案：⑴vA=glsin? ⑵T=6mgsin? ⑶L=l 【例1】如图所示，杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，大家讨论一下满足什么条件水才能从水桶中流出来.若水的质量m=0.5 kg，绳长l=60 cm，求： 精锐教育网站：www.1smart.org - 8 -

中小学1对1课外辅导专家 （1）最高点水不流出的最小速率。 （2）水在最高点速率v=3 m/s时，水对桶底的压力。 解析：（1）在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力 2v0即mg≤m l则所求最小速率v0=gl?0.6?9.8m/s=2.42 m/s. （2）当水在最高点的速率大于v0时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的压力，设为FN，由牛顿第二定律有 v2 FN+mg=m lv2 FN=m-mg=2.6 N l 由牛顿第三定律知，水对桶底的作用力FN′=FN=2.6 N，方向竖直向上. 答案：(1)2.42 m/s (2)2.6 N，方向竖直向上 提示：抓住临界状态，找出临界条件是解决这类极值问题的关键. 【例2】为了清理堵塞河道的冰凌，空军实施了投弹爆破，飞机在河道上空高H处以速度v0水平匀速飞行，投掷下炸弹并击中目标。求炸弹刚脱离飞机到击中目标所飞行的水平距离及击中目标时的速度大小。（不计空气阻力） （2）如图17所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半。内壁上有一质量为m的小物块。求 ①当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小； ②当物块在A点随筒做匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，筒转动的 角速度。 解析：⑴炸弹作平抛运动，设炸弹脱离飞机到击中目标所飞行的水平距离为x, x?v0t H?联立以上各式解得x?v012gt 22H g精锐教育网站：www.1smart.org

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中小学1对1课外辅导专家 设击中目标时的竖直速度大小为vy，击中目标时的速度大小为v vy?gt?22?vy 2gH v?v0联立以上各式解得v?v0?2gH ⑵①当筒不转动时，物块静止在筒壁A点时受到的重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡，由平衡条件得 摩擦力的大小f?mgsin??2HH?RRH?R222 支持力的大小N?mgcos??2 ②当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，物块在筒壁A点时受到的重力和支持力作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为?有 R 2H 由几何关系得 tan?? R2 mgtan??m??联立以上各式解得??2gH R 【例3】汽车与路面的动摩擦因数为? ，公路某转弯处半径为R（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），问： （1）若路面水平，汽车转弯不发生侧滑，汽车速度不能超过多少？ （2）若将公路转弯处路面设计成外侧高、内侧低，使路面与水平面有一倾角? ，如图所示，汽车以多大速度转弯时，可以使车与路面间无摩擦力？ FN 解析：在路面水平的情况下，汽车转弯所需的向心力是由汽车和路面之间的静摩擦力来提供的，当公路转弯处是外高内低的斜面时，重力和斜面的支持力将在水平方向上提供一个合力，加上和路面的静摩擦力来提供向心力，此时，在同样的情况下，所需的静摩擦力就减小。 （1）汽车在水平路面上转弯时，汽车转弯的向心力由静摩擦力提供，当静摩擦力达到最大时，汽车的转弯速度最大。由 F合 υ2?mg＝m r解得 v＝μgr mg (2) 当转弯处路面倾斜，且重力和支持力的合力恰等于向心力时，此转弯速度最为理想，则有 mg tan?＝精锐教育网站：www.1smart.org

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中小学1对1课外辅导专家 υ2m r解得 v＝grtanα 【例4】如图，质量为0.5 kg的小杯里盛有1 kg的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1 m，小杯通过最高点的速度为4 m/s，g取10 m/s2，求： （1）在最高点时，绳的拉力？ （2）在最高点时水对小杯底的压力？ （3）为使小杯经过最高点时水不流出, 在最高点时最小速率是多少? 解析：不论取杯子和杯子里的水为研究对象，还是只研究杯子里的水，这两种情况都属于线拉物体的模型，而这种模型中在最高点的研究是一个重点和难点。 (1) 求绳的拉力时，选杯子和杯子里的水这个整体为研究对象，它们做圆周运动的向心力是重力和绳子的拉力T的合力。则有 υ2 mg＋T＝m 代入数据，解得T＝9N r(2) 求水对杯底的压力，应该以水为研究对象，先求杯底对水的压力，然后根据牛顿第三定律得到水对杯底的压力。水做圆周运动的向心力是重力和杯底对水的压力N的合力。即 υ2mg＋N＝m 代入数据解得N＝3 N r(3) 水不从杯子里流出的临界情况是水的重力刚好都用来提供向心力。即 υ2mg＝m 解得v＝10m/s r 课堂练习 1、火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定。若在某转弯处规定行驶速度为v，则下列说法中正确的是 （ ） ①当以速度v通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力 ②当以速度v通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力 ③当速度大于v时，轮缘挤压外轨 ④当速度小于v时，轮缘挤压外轨 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 答案：A 2、用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法正确的是 （ ） A．小球在圆周最高点时所受向心力一定是重力 B．小球在圆周的最高点时绳子的拉力不可能为零 C．小球在圆周最低点时拉力一定大于重力 D．若小球刚好在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点速率是gl 答案：CD 精锐教育网站：www.1smart.org

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中小学1对1课外辅导专家 3、如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是 （ ） A．a处为拉力，b处为拉力 B．a处为拉力，b处为推力 C．a处为推力，b处为拉力 D．a处为推力，b处为推力 答案：AB 4、市内公共汽车在到达路口转弯前，车内广播中就要播放录音：“乘客们请注意，前面车辆转弯，请拉好扶手”，这样可以 （ ） A．提醒包括坐着和站着的全体乘客均拉好扶手，以免车辆转弯时可能向前倾倒 B．提醒包括坐着和站着的全体乘客均拉好扶手，以免车辆转弯时可能向后倾倒 C．主要是提醒站着的乘客拉好扶手，以免车辆转弯时可能向转弯的外侧倾倒 D．主要是提醒站着的乘客拉好扶手，以免车辆转弯时可能向转弯的内侧倾倒 答案：C 5、一根长l=0.625 m的细绳，一端拴一质量m=0.4 kg的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动，求： （1）小球通过最高点时的最小速度; （2）若小球以速度v=3.0 m/s通过圆周最高点时，绳对小球的拉力多大？若此时绳突然断了，小球将如何运动? 分析与解答：（1）小球通过圆周最高点时，受到的重力G=mg必须全部作为向心力F向，否则重力G中的多余部分将把小球拉进圆内，而不能实现沿竖直圆周运动.所以小球通过圆周最高点的条件应为F向≥mg，当F向=mg时，即小球受到的重力刚好全部作为通过圆周最高点的向心力，绳对小球恰好不施拉力，如图所示，此时小球的速度就是通过圆2v0周最高点的最小速度v0，由向心力公式有：mg=m l2v0解得：G=mg=m lv0=gl?10?0.625m/s=2.5 m/s. （2）小球通过圆周最高点时，若速度v大于最小速度v0，所需的向心力F向将大于重力G，这时绳对小球要施拉力F，v2如图所示，此时有F+mg=m lv23.02解得：F=m-mg=(0.4×-0.4×10)N=1.76 N l0.625精锐教育网站：www.1smart.org - 12 -

中小学1对1课外辅导专家 v2若在最高点时绳子突然断了，则提供的向心力mg小于需要的向心力m，小球将沿切线方向飞出做离心运动（实l际上是平抛运动）。 课堂小结 1、向心力的来源：要从力的方面认真分析，搞清谁来提供物体做圆周运动所需的向心力，能提供多大的向心力，是否可以变化。 2、合外力与向心力的关系：从运动的物理量本身去认真分析，看看物体做这样的圆周运动究竟需要多大的向心力。如果供需双方正好相等，则物体将做稳定的圆周运动；如果供大于需，则物体将偏离圆轨道，逐渐靠近圆心；如果供小于需，则物体将偏离圆轨道，逐渐远离圆心；如果外力突然变为零，则物体将沿切线方向做匀速直线运动。 3、圆周运动中向心力的特点： （1）匀速圆周运动：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故只存在向心加速度，物体受到外力的合力提供向心力。可见，合外力大小不变，速度方向始终与速度方向垂直且指向圆心，是物体做匀速圆周运动的条件。 （2）变速圆周运动：速度大小发生变化，向心加速度和向心力都会相应变化。求物体在某一点受到的向心力时，应使用该点的瞬时速度。在变速圆周运动中，合外力不仅大小随时间改变，其方向也不沿半径指向圆心。合外力沿半径方向的分力提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向；合外力沿轨道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小。 、 课后练习题： 1、如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是 （ ） A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力 B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零 C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力 gL 答案：CD 2、若地球表面的重力加速度为g0，以第一宇宙速度在圆轨道上运动的人造地球卫星的周期为T0，则在离地球表面不同高度运动的人造地球卫星的周期、加速度为( ) A．周期不能大于T0 B．周期不能小于T0 C．加速度不会大于g0 D．加速度不会小于g0 精锐教育网站：www.1smart.org

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中小学1对1课外辅导专家 答案：BC 3、如图所示，小球m从A点以l0m／s的初速度沿固定的竖直圆弧轨道A滑下，并始终没有脱离圆弧轨道，到达C点速度仍为10m／s．现让小球以5m／s的 速度仍从A点滑下，则到达C点时，小球的速度 （ ） A．仍为5m/s B．小于5m／s C．大于5m／s D．无法判断 答案：C 4、 如图3所示，从光滑的1/4圆弧槽的最高点滑下的小滑块，滑出槽口时速度方向为水平方向，槽口与一个半球顶点相切，半球底面为水平，若要使小物块滑出槽口后不沿半球面下滑，已知圆弧轨道的半径为R1，半球的半径为R2，则R1和R2应满足的关系是 ( ) A．R1?R2 B．R1?R22 R22 C．R1?R2 D．R1? 答案：D 5、一个航天飞行器甲在高空绕地球做匀速圆周运动，若它沿与运动方向相反的方向发射一枚火箭乙，则( ) A．甲和乙都可能在原高度绕地球做匀速圆周运动 B．甲可能在原高度绕地球做匀速圆周运动，乙不可能在原高度做匀速圆周运动 C．乙可能在原高度绕地球做匀速圆周运动，甲不可能在原高度做匀速圆周运动 D．甲和乙都不可能在原高度绕地球做匀速圆周运动 答案：C 6、如图所示，质量为m的小球在竖直面内的光滑圆形轨道内侧做圆周运动，通过最高点且刚好不脱离轨道时的速度为v，则当小球通过与圆心等高的A点时，对轨道内侧的压力大小为 （ ） A．mg B．2mg 精锐教育网站：www.1smart.org - 14 -

中小学1对1课外辅导专家 C．3mg D．5mg 答案：C 7、如图．半圆形的光滑轨道槽竖直放置．质量为m的小物体由顶端从静止开始下滑．则物体在经过槽底时，对槽底的压力大小为( ) A．2mg B.3mg C．mg D．5mg 答案：B 8、两质量相等的小球A和B，A球系在一根不可伸长的细绳的一端，B球系在一根原长小于细绳的橡皮绳一端，两绳的另一端都固定在O点，不计两绳质量．现将两球都拉到如图所示的水平位置上，让两绳均拉直（此时橡皮绳为原长），然后无初速释放，当两球通过最低点时，橡皮绳与细绳等长，小球A和B速度分别为vA和vB，那么 A．下落时A、B都克服绳的拉力做了功 B．下落时重力对小球A、B所做的功不相等 C．在最低点时vA?vB D．在最低点时vA?vB 答案：D 9、下图是上海锦江乐园新建的“摩天转轮”，它的直径达98米；世界排名第五。游人乘坐时，转轮始终不停地匀速转动，每转一周用时25分钟，每个箱轿共有6个座位。 试判断下列说法中正确的是（ ） A.每时每刻，每个人受到的合力都不等于零 B．每个乘客都在做加速度为零的匀速运动 C．乘客在乘坐过程中对座位的压力始终不变 精锐教育网站：www.1smart.org

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中小学1对1课外辅导专家 D．乘客在乘坐过程中的机械能始终保持不变 答案：A 10、如图所示，内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则 （ ） Ａ．球A的角速度一定大于球B的角速度 Ｂ．球A的线速度一定大于球B的线速度 Ｃ．球A的运动周期一定小于球B的运动周期 Ｄ．球A对筒壁的压力一定大于球B对筒壁的压力 答案：B 11、如图所示，用细绳系着一个小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，不计空气阻力，关于小球受力有以下说法，正确的是 （ ） A.只受重力 B.只受拉力 C.受重力.拉力和向心力 D.受重力和拉力 答案：D 12、质量为100 t的火车在轨道上行驶，火车内外轨连线与水平面的夹角为α＝37°，如图所示，弯道半径R＝30 m，重力加速度取l0m／s．求： (1)当火车的速度为v1=10 m／s时，轨道受到的侧压力多大?方向如何? 2精锐教育网站：www.1smart.org - 16 -

中小学1对1课外辅导专家 (2)当火车的速度为v2＝20 m／s时，轨道受到的侧压力多大?方向如何? 【解析】：当火车正常行驶时，轮与轨道间无侧向压力．火车只受轨道与轨道表面垂直的支持力作用和火车的重力作用．如右图所示．其做圆周运动的圆心在水面内，将FN1分解则有： v2Gv2Fcosα?G,FN1sinα?m所以sinα?m N1RcosαR 3 得v?Rgtanα?30?10?m/s?15m/s4 （1）由于10 m／s<15 m／s，故火车应受到轨道沿轨道斜面向上的侧压力作用．火车受力如右图所示．其做圆周运动的圆心仍在水平面内，将FN2及FN2′分解有 2?G?Fcosα?Fsinαv1N2N2 ?2cosα?mFN2sinα?FNR 2?2sinαG?FNv1?2cosα?m?2sinα即?sinα?FNG?FN FN2?,cosαRcosα 1 ?2??106NFN3 (2)由于20m／s>15m／s．故火车应受到轨道沿轨道斜面向下的侧压力作用，火车受力如右图所示．其做圆周运动的圆心仍在水平面内，，将FN3及FN3′分解有 Fcosα?G?F?sinα2N3N3v2?cosα?m FN3sinα?FN2?sinαRG?FN3 FN3?cosα 2 G?F?sinαvN3?cosα?m3?sinα?FN3 cosαR ?FN3?4.7?105N 13、过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R1?2.0m、R2?1.4m。一个质量为m?1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以v0?12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L1?6.0m。小球与水平轨道间的动摩擦因数??0.2，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取g?10m/s2，计算结果保留小数点后一位 数字。试求 （1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小； （2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距L应是多少； 精锐教育网站：www.1smart.org

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中小学1对1课外辅导专家 （3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R3应满足的条件；小球最终停留点与起点A的距离。 答案：（1）10.0N；（2）12.5m(3) 当0?R3?0.4m时， L??36.0m；当1.0m?R3?27.9m时， L???26.0m 解析：（1）设小于经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v1根据动能定理 -?mgL1?2mgR1?1212mv1?mv0 ① 22 小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律 2v1 F?mg?m ② R1由①②得 F?10.0N ③ （2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v2，由题意 2v2 mg?m ④ R2 ??mg?L1?L??2mgR2?1122mv2?mv0 ⑤ 22由④⑤得 L?12.5m ⑥ （3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论： I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v3，应满足 2v3 mg?m ⑦ R3 ??mg?L1?2L??2mgR3?由⑥⑦⑧得 R3?0.4m 1212mv3?mv0 ⑧ 22II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R3，根据动能定理 ??mg?L1?2L??2mgR3?0?解得 R3?1.0m 精锐教育网站：www.1smart.org

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12mv0 2 中小学1对1课外辅导专家 为了保证圆轨道不重叠，R3最大值应满足 ?R2?R3??L??R3-R2? 222解得 R3=27.9m 综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件 0?R3?0.4m 或 1.0m?R3?27.9m 当0?R3?0.4m时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L′，则 -?mgL??0?12mv0 L??36.0m 2当1.0m?R3?27.9m时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L〞，则 L???L??2?L??L1?2L??26.0m

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