九年级数学上册反比例函数知识点总结及反比例函数练习题

第十三讲 反比例函数

⑴理解反比例函数的概念和性质，会用待定系数法求反比例函数的解析式。 课程目标 ⑵树立数形结合的数学思想，能完成解析式和图像位置、性质之间的转化。 ⑶综合运用多种数学思想，逐步形成数学应用和建模的意识。 ⑴掌握反比例函数的概念及性质，确定反比例函数的解析式。 课程重点 ⑵理解函数图像的含义，学习从图像中获取信息解决问题的能力。 ⑶能运用反比例函数的知识，解决实际应用的问题。 ⑴掌握反比例函数图像的几何意义，渗透数形结合的数学思想。 课程难点 ⑵运用类比和转化思想，解决实际问题及代几综合题。 反比例函数是八年级下的内容，经常与一次函数结合考查，也是中考出题的热点篇章。本身蕴含诸多数学思想：方程思想、数形结合思想、分类讨论思教学方法建议 想、数学建模思想等等。本讲中的每道例题及搭配课堂训练题都是一个考点的小专题。限于课堂容量，部分简单及非典型题将在课后作业中出现，建议教师根据学生情况选择性讲授作为补充。 A类 选材程度及数量 B类 C类 （ 3 ）道 （ 2 ）道 （ 2 ）道 （ 2 ）道 （ 10 ）道 （ 10 ）道 课堂精讲例题 （ 2 ）道 搭配课堂训练题 （ 2 ）道 课后作业 （ 10 ）道 第一部分 知识梳理

一、反比例函数的解析式

1．反比例函数的概念

一般地，函数y??1k（k是常数，k?0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以x写成y?kx的形式。自变量x的取值范围是x?0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2．反比例函数解析式的确定 由于在反比例函数y?k中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的x一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

二、反比例函数的图像及性质

1．反比例函数的图象

反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x?0，函数y?0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

2．反比例函数的性质 反比例函数 k的符号 k>0 y 图像 O x ①x的取值范围是x?0， y的取值范围是y?0； 性质 ②当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x 的增大而减小。 ①y?y?k(k?0) xk<0 y O x ①x的取值范围是x?0， y的取值范围是y?0； ②当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x 的增大而增大。 k(k?0)的图象是轴对称图形，对称轴为y??x(k＞0)或 xy?x(k＜0) 对称性 ②y?③y?k(k?0)的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）； xkk和y??(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x轴对称， xx也关于y轴对称． 3．反比例函数中反比例系数的几何意义

k(k≠0) 上任意一点作x轴、y轴的垂线段，所得矩形(如图)面积为k。 xk②过双曲线y?(k≠0) 上任意一点作任一坐标轴的垂线段，连接该点和原点，所得三

x①过双曲线y?角形（如图）的面积为 ③双曲线y?k2． k(k≠0) 同一支上任意两点P1、P2与原点组成的 三角形（如图）的面积x=直角梯形P1P2Q2Q1的面积． PBOyACQ x第二部分 例题与解题思路方法归纳 【例题1】 已知函数y??m?1?x是（ ） A．2 B．﹣2 C．±2

D．?m2?5是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值

1 2〖难度分级〗A类 〖试题来源〗2010年凉山州中考数学试题 〖选题意图〗对于反比例函数y?1k(k?0)。由于?x?1，所以反比例函数也可以写成

xx（1）ky?x?1（k是常数，k≠0）的形式，有时也以xy=k（k是常数，k≠0）的形式出现。＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．本题需要理解好反比例函数定义中的系数和指数，同时需要掌握反比例函数的性质，这样才能防止漏解或多解。

〖解题思路〗根据反比例函数的定义m﹣5=﹣1，又图象在第二、四象限，所以m+1＜0，两式联立方程组求解即可．

〖参考答案〗解：∵函数y??m?1?xm2?52

是反比例函数，且图象在第二、四象限内，

?m2?5??1∴?，解得m=±2且m＜﹣1，∴m=﹣2．故选B． ?m?1＜0

【课堂训练题】

1．（2000?甘肃）已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣2成反比例，且当x=1时，y=﹣1；当x=3时，y=5．求y与x的函数关系式． 〖难度分级〗A类

〖参考答案〗解：设y1=k1x（k1≠0），y2=错误！未找到引用源。 ∴y=k1x+错误！未找到引用源。 ∵当x=1时，y=﹣1；当x=3时，y=5， ∴??k1?k2??1?k1?1，∴?。

?3k1?k2?5?k2?22。 x?2k1k2k1k与y?2，如果存在函数y?（k1k2＞0）则称函数

xxx∴y?x?2．定义：已知反比例函数y?y?k1k2x为这两个函数的中和函数。

（1）试写出一对函数，使得它的中和函数为y?y随x的增大而增大。 （2）函数y?求当y?

2

，并且其中一个函数满足：当x＜0时，x

?3?12k和y?的中和函数y?的图象和函数y=2x的图象相交于两点，试xxx

k

的函数值大于y=2x的函数值时x的取值范围。 x

〖难度分级〗B类

〖参考答案〗解：（1）∵试写出一对函数，使得它的中和函数为错误！未找到引用源。， 并且其中一个函数满足：当x＜0时，y随x的增大而增大．

∴答案不唯一，如错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。等； y=

?3 x（2）∵错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。的中和函数错误！未找到引用源。，

6??y?联立方程组?x，

??y?2x

解之得两个函数图象的交点坐标为（3，23）（?3，?23），结合图象得到当y?的函数值大于y=2x的函数值时x的取值范围是x＜?3或0＜x＜3． 【例题2】如图所示是反比例函数y?kx2n?4的图象的一支，根据图象回答下列问题： x（1）图象的另一支在哪个象限？常数n的取值范围是什么？ （2）若函数图象经过点（3，1），求n的值；

（3）在这个函数图象的某一支上任取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），如果a1＜a2，试比较b1和b2的大小．

〖难度分级〗B类

〖试题来源〗2010年肇庆市中考数学试题

〖选题意图〗本题主要考查反比例函数图象的性质和待定系数法求函数解析式的方法，需要熟练掌握．

〖解题思路〗（1）根据反比例函数图象的性质，这一支位于第一象限，另一支一定位于第三象限；

（2）把点的坐标代入反比例函数求出n值，即可求出函数解析式；

（3）根据反比例函数图象的性质，当k＞0时，在每个象限内，函数值y随x增大而减小。 〖参考答案〗解：（1）图象的另一支在第三象限．由图象可知，2n﹣4＞0，解得：n＞2 （2）将点（3，1）代入y?（3）∵2n﹣4＞0，

∴在这个函数图象的任一支上，y随x增大而减小， ∴当a1＜a2时，b1＞b2． 【课堂训练题】 1．如图是反比例函数y?2n?42n?4得：1?，解得：n=错误！未找到引用源。； x3m?5的图象的一支． x（1）求m的取值范围，并在图中画出另一支的图象；

把N（6，错误！未找到引用源。）代入y=错误！未找到引用源。中，得k=9． （2）∵k=9，∴y=错误！未找到引用源。．

当x=2时，y=错误！未找到引用源。．∴MP=错误！未找到引用源。﹣错误！未找到引用源。=3．

∴S△APM=错误！未找到引用源。×2×3=3．

【例题5】如图，A、B两点在函数y=错误！未找到引用源。（x＞0）的图象上． （1）求m的值及直线AB的解析式；

（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．

〖难度分级〗B类

〖试题来源〗2009年北京市高等中学招生考试

〖选题意图〗 本题考查了一次函数和反比例函数的图象性质，综合性较强，体现了数形结合的思想．

〖解题思路〗（1）将A点或B点的坐标代入y=错误！未找到引用源。求出m，再将这两点的坐标代入y=kx+b求出k、b的值即可得到这个函数的解析式； （2）画出网格图帮助解答．

〖参考答案〗解：（1）由图象可知，函数错误！未找到引用源。（x＞0）的图象经过点A（1，6）， 可得m=6．

设直线AB的解析式为y=kx+b．

∵A（1，6），B（6，1）两点在函数y=kx+b的图象上，

?k?b?6?k??1∴?，解得?．

6k?b?1b?7??∴直线AB的解析式为y=﹣x+7；

（2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数是3．

【课堂训练题】

1．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x﹣5交x轴于A，交y轴于B，点P（0，﹣1），D是线段AB上一动点，DC⊥y轴于点C，反比例函数错误！未找到引用源。的图象经过点D．

（1）若C为BP的中点，求k的值．

（2）DH⊥DC交OA于H，若D点的横坐标为x，四边形DHOC的面积为y，求y与x之间的函数关系式．

〖难度分级〗B类

〖参考答案〗解：（1）∵B点是直线y=﹣x﹣5与y轴的交点， ∴x=0，y=﹣5，即B点坐标为（0，5），

∵点P（0，﹣1），C为BP的中点，∴C点的坐标为（0，﹣3），

∴D点纵坐标为﹣3，即﹣3=﹣x﹣5，x=﹣2，∴D点坐标为（﹣2，﹣3）， ∵D在反比例函数y=错误！未找到引用源。的图象上，∴k=（﹣2）×（﹣3）=6． （2）∵D点的横坐标为x，∴其纵坐标为﹣x﹣5， ∵D点在第三象限，∴x＜0，﹣x﹣5＜0， ∴y=|x|?|﹣x﹣5|=﹣x?（x+5）=﹣x﹣5x．

2．（2006?北京）在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x绕点O顺时针旋转90°得到直线l，直线l与反比例函数错误！未找到引用源。的图象的一个交点为A（a，3），试确定反比例函数的解析式． 〖难度分级〗A类

2

〖参考答案〗解：依题意得，直线l的解析式为y=x． 因为A（a，3）在直线y=x上，则a=3． 即A（3，3）．

又因为A（3，3）在y=错误！未找到引用源。的图象上，可求得k=9， 所以反比例函数的解析式为y=错误！未找到引用源。．

3．（2009?兰州）如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=错误！未找到引用源。的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；

（3）求方程kx+b﹣错误！未找到引用源。=0的解（请直接写出答案）； （4）求不等式kx+b﹣错误！未找到引用源。＜0的解集（请直接写出答案）． 〖难度分级〗B类

〖参考答案〗解：（1）∵B（2，﹣4）在函数y=错误！未找到引用源。的图象上，∴m=﹣8． ∴反比例函数的解析式为：y=﹣错误！未找到引用源。． ∵点A（﹣4，n）在函数y=﹣错误！未找到引用源。的图象上， ∴n=2，∴A（﹣4，2），

∵y=kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），

??4k?b?2?k??1∴?，解之得：?．

2k?b??4b??2??∴一次函数的解析式为：y=﹣x﹣2．

（2）∵C是直线AB与x轴的交点，∴当y=0时，x=﹣2． ∴点C（﹣2，0）， ∴OC=2．

∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=错误！未找到引用源。×2×2+错误！未找到引用源。×2×4=6． （3）x1=﹣4，x2=2． （4）﹣4＜x＜0或x＞2．

【例题6】 水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：

观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间都满足这一关系．

（1）写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；

（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？

（3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？ 〖难度分级〗C类

〖试题来源〗2009年衢州市中考数学试题

〖选题意图〗 现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

〖解题思路〗（1）根据图中数据求出反比例函数，再分别将y=40和x=240代入求出相对应的x和y；

（2）先求出8天销售的总量和剩下的数量m，将x=150代入反比例函数中得到一天的销售量y，错误！未找到引用源。即为所需要的天数；

（3）求出销售15天后剩余的数量除2得到后两天每天的销售量y，将y的值代入反比例函数中即可求出x．

〖参考答案〗解：（1）∵xy=12000，函数解析式为错误！未找到引用源。， 将y=40和x=240代入上式中求出相对应的x=300和y=50， 故填表如下：

；

（2）销售8天后剩下的数量m=2104﹣（30+40+48+50+60+80+96+100）=1600， 当x=150时，错误！未找到引用源。=80．∴错误！未找到引用源。=1600÷80=20，

所以余下的这些海产品预计再用20天可以全部售出． （3） 1600﹣80×15=400，400÷2=200，

即如果正好用2天售完，那么每天需要售出200千克． 当y=200时，错误！未找到引用源。=60．

所以新确定的价格最高不超过60元/千克才能完成销售任务． 【课堂训练题】

1．(2008 四川省巴中市) 为预防“手足口病”，某 校对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段， 室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时 间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例． 现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空 气含药量为8mg．据以上信息解答下列问题： （1）求药物燃烧时y与x的函数关系式． （2）求药物燃烧后y与x的函数关系式．

（3）当每立方米空气中含药量低于1.6mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以回教室？ 〖难度分级〗C类

〖参考答案〗解：（1）设药物燃烧阶段函数解析式为y?k1x(k1?0)，

44．?此阶段函数解析式为y?x

55k（2）设药物燃烧结束后的函数解析式为y?2(k2?0)，

x由题意得：8?10k1，k1?由题意得：8?

k280 k2?80．?此阶段函数解析式为y?10，x80?1.6 x

（3）当y?1.6时，得

x?0，1.6x?80，x?50

?从消毒开始经过50分钟后学生才可回教室．

2．(2009 辽宁省大连市) 甲、乙两车间生产同一种零件，乙车间比甲车间平均每小时多生产30个，甲车间生产600个零件与乙车间生产900个零件所用的时间相等，设甲车间平均每小时生产x个零件，请按要求解决下列问题：

（1）根据题意，填写下表：

车间 甲车间 乙车间 零件总个数 600 900 平均每小时生产零件个数 x ________ 所用时间 600 x________ （2）甲、乙两车间平均每小时各生产多少个零件？ 〖难度分级〗C类

〖参考答案〗解：（1） x?30，（2）根据题意，得

900； x?3600900，解得 x?60． ?xx?30x?30?90．经检验x?60是原方程的解，且都符合题意．

答：甲车间每小时生产60个零件，乙车间每小时生产90个零件．

【例题7】问题情境：已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？ 数学模型：

设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式 为y=2（x+错误！未找到引用源。）（x＞0）．

探索研究：（1）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先

探索函数y=x+错误！未找到引用源。（x＞0）的图象和性质．①填写下表， 画出函数的图象；

x … y … … 1 2 3 4 … ②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；

③求函数y=ax+bx+c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数y=x+错误！未找到引用源。（x＞0）的最小值． 解决问题：（2）用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案． 〖难度分级〗C类

〖试题来源〗2011年南京市中考数学试题（有改动）

〖选题意图〗本题主要考查对完全平方公式，反比例函数的性质，二次函数的最值，配方法

2

的应用，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用学过的性质进行计算是解此题的关键．

〖解题思路〗（1）①把x的值代入解析式计算即可；②根据图象所反映的特点写出即可；③根据完全平方公式（a+b）=a+2ab+b，进行配方即可得到最小值；

2

2

2

?222

（2）根据完全平方公式（a+b）=a+2ab+b，进行配方得到y?2[?x???可求出答案．

a???2a]，即x??2〖参考答案〗解：（1）①故答案为：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，2，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。． 函数y=x+错误！未找到引用源。的图象如图：

②答：函数两条不同类型的性质是：当0＜x＜1时，y 随x的增大而减小，当x＞1时，y 随x的增大而增大；当x=1时，函数y=x+错误！未找到引用源。（x＞0）的最小值是2．

1③解：y?x??x当x??x?2?1????2?x?1?2?x?1??x????x?xx????21???2，

x??21?0，即x=1时，函数y=x+错误！未找到引用源。（x＞0）的最小值是2， x答：函数y=x+错误！未找到引用源。（x＞0）的最小值是2． （2）答：矩形的面积为a（a为常数，a＞0），

当该矩形的长为a时，它的周长最小，最小值是4a． 【课堂训练题】

1．已知：A（a，y1）．B（2a，y2）是反比例函数y?（1）比较y1与y2的大小关系； （2）若A、B两点在一次函数y??k

（k＞0）图象上的两点． x

4x?b第一象限 3的图象上（如图所示），分别过A、B两点作x轴的垂 线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，且S△OAB=8， 求a的值；

（3）在（2）的条件下，如果3m=﹣4x+24， 3n?〖难度分级〗C类

32，求使得m＞n的x的取值范围． x

〖参考答案〗解：（1）∵A、B是反比例函数y=错误！未找到引用源。（k＞0）图象上的两点，∴a≠0，

当a＞0时，A、B在第一象限，由a＜2a可知，y1＞y2， 同理，a＜0时，y1＜y2；

（2）∵A（a，y1）、B（2a，y2）在反比例函数y=错误！未找到引用源。（k＞0）的图象上， ∴AC=y1=错误！未找到引用源。，BD=y2=错误！未找到引用源。，∴y1=2y2．

又∵点A（a，y1）、B（2a，y2）在一次函数y=﹣错误！未找到引用源。a+b的图象上，∴y1=﹣错误！未找到引用源。a+b，y2=﹣错误！未找到引用源。a+b，

∴﹣错误！未找到引用源。a+b=2（﹣错误！未找到引用源。a+b），∴b=4a，∵S△AOC+S梯

形ACBD

=S△AOB+S△BOD，

又∵S△AOC=S△BOD，∴S梯形ACBD=S△AOB，

∴错误！未找到引用源。（[﹣错误！未找到引用源。a+b）+（﹣错误！未找到引用源。a+b）]?a=8，∴a=4，∵a＞0，∴a=2．

（3）由（2）得，一次函数的解析式为y=﹣错误！未找到引用源。x+8，反比例函数的解析式为：y=错误！未找到引用源。，

A、B两点的横坐标分别为2、4，且m=﹣错误！未找到引用源。x+8，n=错误！未找到引用源。，

因此使得m＞n的x的取值范围就是反比例函数的图象在一次函数图象下方的点中横坐标的取值范围，从图象可以看出x＜0或2＜x＜4．

2．如图，点P是反比例函数错误！未找到引用源。（k1＞0，x＞0）图象上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数错误！未找到引用源。（k2＜0且|k2|＜k1，）的图象于E、F两点．

（1）图1中，四边形PEOF的面积S1= （用含k1、k2的式子表示）； （2）图2中，设P点坐标为（2，3）．

①点E的坐标是（ ，错误！未找到引用源。），点F的坐标是（错误！未找到引用源。， ）（用含k2的式子表示）；

②若△OEF的面积为错误！未找到引用源。，求反比例函数错误！未找到引用源。的解析式．

2

〖难度分级〗C类

〖参考答案〗解：（1）∵P是点P是反比例函数y?∴S矩形PBOA=k1，

∵E、F分别是反比例函数y?k1（k1＞0，x＞0）图象上一动点， xk2（k2＜0且|k2|＜k1，）的图象上两点， x∴S△OBF=S△AOE=错误！未找到引用源。|k2|，

∴四边形PEOF的面积S1=S矩形PBOA+S△OBF+S△AOE=k1+|k2|， ∵k2＜0，

∴四边形PEOF的面积S1=S矩形PBOA+S△OBF+S△AOE=k1+|k2|=k1﹣k2．

（2）①∵PE⊥x轴，PF⊥y轴可知，P、E两点的横坐标相同，P、F两点的纵坐标相同， ∴E、F两点的坐标分别为E（2，错误！未找到引用源。），F（错误！未找到引用源。，3）； ②∵P（2，3）在函数y=错误！未找到引用源。的图象上，∴k1=6，

∵E、F两点的坐标分别为E（2，错误！未找到引用源。），F（错误！未找到引用源。，3）； ∴PE=3﹣错误！未找到引用源。，PF=2﹣错误！未找到引用源。，

∴S△PEF=错误！未找到引用源。（3﹣错误！未找到引用源。）（2﹣错误！未找到引用源。）=错误！未找到引用源。，

∴S△OEF=（k1﹣k2）﹣错误！未找到引用源。 =（6﹣k2）﹣错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。， ∵k2＜0， ∴k2=﹣2．

∴反比例函数错误！未找到引用源。的解析式为y=﹣错误！未找到引用源。．

第三部分 课后自我检测试卷

A类试题：

1．（2010?丽江）反比例函数y=错误！未找到引用源。和一次函数y=kx﹣k在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

2．已知点M（﹣3，y1），N（1，y2），P（3，y3）均在反比例函数y=﹣错误！未找到引用源。的图象上，试比较y1，y2，y3的大小关系是 。 3．（1）点（3，6）关于y轴对称的点的坐标是 ．

（2）反比例函数错误！未找到引用源。关于y轴对称的函数的解析式为 ． （3）反比例函数错误！未找到引用源。（k≠0）关于x轴对称的函数的解析式是 ． 4．在学习了函数y=ax+b，y=ax，错误！未找到引用源。之后，几个同学讨论归纳了它们的特性，得出了以下结论：

①当a＞0时，三种函数都经过第一，三象限； ②函数y=ax+b，y=ax中自变量x可以是任意实数； ③当a＜0时，函数y=ax+b，y=ax随x增大而减小；

④当a＞0时，函数错误！未找到引用源。，y随x增大而减小．

试判断哪几个结论是准确的，然后将错误的结论中选择一个说明理由并改正．

5．如图，点A是反比例函数y=错误！未找到引用源。的图象上任意一点，延长AO交该图象于点B，AC⊥x轴，BC⊥y轴，求Rt△ACB的面积．

6．（2010?贵港）已知点P（1，2）在反比例函数y=错误！未找到引用源。的图象上． （1）当x=﹣2时，求y的值； （2）当1＜x＜4时，求y的取值范围．

7．已知：反比例函数y??m?3?xm?2的图象是双曲线． （1）求m的值；

（2）若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在双曲线上，试比较y1，y2，y3的大小关系．

8．已知y=y1+y2，y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，当x=0时，y=﹣3，当x=1时，y=﹣1． （1）求y的表达式； （2）求当x??

9．如图所示，在平面直角坐标系中，A是反比例函数y=错误！未找到引用源。（x＞0）图象上一点；作AB垂直x轴于B点，AC垂直y轴于C点，正方形OBAC的面积为16． （1）求该反比例函数的解析式；

（2）若点P在反比例函数的图象上，连PO、PC且S△PCO=6．求P点的坐标．

1时y的值． 2

10．已知反比例函数错误！未找到引用源。（k为常数）的图象过点（2，2）． （Ⅰ）求这个反比例函数的解析式；

（Ⅱ）当﹣3＜x＜﹣1时，求反比例函数y的取值范围；

（Ⅲ）若点A（x1，y1），B（x2，y2）是这个反比例函数图象上的两点，且x1＜0＜x2，试比较y1，y2的大小，直接写结果．

B类试题：

?a?1(a≤b)?11．(2010 内蒙古鄂尔多斯市) 定义新运算：a?b??a，则函数y?3?x的

??(a?b且b?0)?b图象大致是（ ）．

y

2 3 x O ?1

A．

y 2 3 O ?1 B．

x y 2 3 O ?1 C．

x y 2 3 O ?1 D．

x 12．(2010 湖北省黄石市) 如图，反比例函数y?k1(k?0)与一次函数y?x?b的图象x2相交，于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB交y轴于C，当x1?x2?2且AC?2BC时，

k、b的值分别为( )

14，b?2 B．k?，b?1 291141 C．k?，b? D．k?，b?

3393 A．k?

13．两个反比例函数错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。在第一象限内的图象如图所示，点P在错误！未找到引用源。的图象上，PC⊥x轴于点C，交错误！未找到引用源。的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交错误！未找到引用源。的图象于点B，当点P在错误！未找到引用源。的图象上运动时，以下结论： ①△ODB与△OCA的面积相等； ②四边形PAOB的面积不会发生变化； ③PA与PB始终相等；

④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．

其中一定正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．

36

，y?在第一象限内的图象，如图，点P1，P2，P3，…，P2005xx36在反比例函数y?，y?图象上，它们的横坐标分别为x1，x2，x3，…，x2005，纵坐标

xx14．两个反比例函数y?

分别为1，3，5，…，共2005个连续奇数，过点P1，P2，P3，…，P2005分别作y轴的平行

线，与y?3的图象交点，依次是Q1（x1，y1），Q1（x2，y2），Q1（x3，y3），…，Q1（x2005，xy2005），y2005= ．

15．（2009?天津）已知图中的曲线是反比例函数y?m?5（m为常数）图象的一支． x（Ⅰ）这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m的取值范围是什么；

（Ⅱ）若该函数的图象与正比例函数y=2x的图象在第一象内限的交点为A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当△OAB的面积为4时，求点A的坐标及反比例函数的解析式．

16．函数y?

6

的图象如图所示． x

（1）Pn（x，y）（n=1，2，…）是第一象限内图象上的点，且x，y都是整数．求出所有的点Pn（x，y）；

（2）若P（m，y1），Q（﹣3，y2）是函数错误！未找到引用源。图象上的两点，且y1＞y2，求实数m的取值范围．

17. 如图，正方形ABCD的顶点C在反比例函数y?k?x＞0?上，把该正方形ABCD绕其x顶点C顺时针旋转180°得四边形A′B′CD′，A′D′边恰好在x轴正半轴上，已知A（﹣1，6）． （1）求k的值； （2）若A′B′与y?k?x＞0?交于点E，求△BCE的面积． x

18．（2009?肇庆）如图，已知一次函数y1=x+m（m为常数）的图象与反比例函数y2?为常数，k≠0）的图象相交点A（1，3）．

（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B的坐标； （2）观察图象，写出使函数值y1≥y2的自变量x的取值范围．

k（kx

19.（2009?广安）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=错误！未找到引用源。的图象相交于点

A（﹣1，2）、点B（﹣4，n）

（1）求此一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积．

20．将x?31代入反比例函数y??中，所得函数值记为y1，又将x=y1+1，代入函数中，4x所得函数值记为y2，再将x=y2+1代入函数中，所得函数值记为y3，…，如此继续下去． （1）完成下表：

y1 y2 y3 y4 y5 ?4 3（2）观察上表规律，请你猜想y2011的值为 ．

C类试题：

21．如图，已知△OP1A1、△A1P2A2、△A2P3A3、…均为等腰直角三角形，直角顶点P1、P2、P3、…在函数y=错误！未找到引用源。（x＞0）图象上，点A1、A2、A3、…在x轴的正半轴上，则点P2011的横坐标为 _________ ．

22．已知点P是x轴正半轴的一个动点，过点P作x轴的垂线PA交双曲线y=错误！未找到引用源。于点A， 连接OA．

（1）如图甲，当点P在x轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面积大小是否变化答： （请填“变化”或“不变化”）。若不变，请求出Rt△AOP的面积=错误！未找到引用源。；若改变，试说明理由（自行思索，不必作答）；

（2）如图乙，在x轴上的点P的右侧有一点D，过点D作x轴的垂线交双曲线于点B，连接BO交AP于C，设△AOP的面积是S1，梯形BCPD的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1 S2（请填“＞”、“＜”或“=”）．

23．（2011?宁波）正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比例函数y=错误！未找到引用源。（x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y=错误！未找到引用源。（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为（ ， ）。

24．（2011浙江省嘉兴，19，8分）如图，已知直线y1??2x经过点P（?2，a），点P关

于y轴的对称点P′在反比例函数y2?（1）求点P′的坐标；

（2）求反比例函数的解析式，并直接写出当y2<2时自变量x的取值范围．

y k（k?0）的图象上． xP 1O 1P?y2?x k x

y1??2x

25．如图，双曲线y=错误！未找到引用源。（k＞0，x＞0）图象上有两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），

且x1＜x2，分别过P1和P2向x轴作垂线，垂足为B、D．过P1和P2向y轴作垂线，垂足

为A、C．

（1）若记四边形AP1BO和四边形CP2DO的面积分别为S1和S2，周长为C1和C2，试比较S1和S2，C1和C2的大小；

（2）若P是双曲线y=错误！未找到引用源。（k＞0，x＞0）的图象上一点，分别过P向x轴、y轴垂线，垂足为M、N．试问当P点落在何处时，四边形PMON的周长最小？

26．（2010?湛江）病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为4毫克，已知服药后，2小时前每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间x（小时）成正比例，2小时后y与x成反比例（如图所示）．根据以上信息解答下列问题． （1）求当0≤X≤2时，y与x的函数关系式； （2）求当x＞2时，y与x的函数关系式；

（3）若每毫升血液中的含药量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？

27．（2010?泰州）保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1月的利润为200万元．设2009年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该从2009年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．

（1）分别求该化工厂治污期间及改造工程顺利完工后y与x之间对应的函数关系式．

（2）治污改造工程顺利完工后经过几个月，该厂利润才能达到200万元？ （3）当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？

28．（2010?达州）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题：

（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围； （2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？

（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？

29．（2009?河池）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？

30．(2007 江苏省盐城市) 如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x（cm），观察弹簧秤的示数y（Ｎ）的变化情况．实验数据记录如下：

x（cm） y（Ｎ） 10 30 15 20 20 15 25 30 12 10 y（牛顿） （1）把上表中(x，y)的各组对应值作为点的坐标，在坐标系 35 30 中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的 25 20 图象，猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式； 15 10 5 （2）当弹簧杆的示数为24N时，弹簧秤与O点的距离

0 5 10 15 20 25 30 35 是多少cm？随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧

秤上的示数将发生怎样的变化？

x(cm)

第十三讲课后自我检测试卷参考答案

A类试题：

1．解：当k＜0时，﹣k＞0，反比例函数y=错误！未找到引用源。的图象在二，四象限，一次函数y=kx﹣k的图象过一、二、四象限，选项C符合；

当k＞0时，﹣k＜0，反比例函数y=错误！未找到引用源。的图象在一、三象限，一次函数y=kx﹣k的图象过一、三、四象限，无符合选项．故选C． 2． y1＞y3＞y2．

3．解：（1）由于两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数； 则点（3，6）关于y轴对称的点的坐标是（﹣3，6）；

（2）由于两反比例函数关于y轴对称，比例系数k互为相反数；则k=﹣3， 即反比例函数y?

3

关于y轴对称的函数的解析式为y=﹣错误！未找到引用源。； x

k

（k≠0）关于x轴对称的函数的解析式为：y=﹣错误！未找到引用源。． x

（3）由于两反比例函数关于x轴对称，比例系数k互为相反数； 则反比例函数y?

故答案为：（﹣3，6）、y=﹣错误！未找到引用源。． 4．解：（1）正确的结论：①②③；

（2）错误理由：当a＞0时，只有x1＞x2＞0或x2＜x1＜0时，y1＜y2， 而x2＜0＜x1时，y1＞y2；

改正：当a＞0时，在同一象限内，函数y?

a

，y随x增大而减小． x

5．解：设点A的坐标为（x，y），则点B坐标为（﹣x，﹣y），所以AC=2y，BC=2x， 所以Rt△ACB的面积为错误！未找到引用源。AC?BC=错误！未找到引用源。×2x?2y=2xy=2|k|=24．

6．解：（1）∵点P（1，2）在反比例函数y=错误！未找到引用源。的图象上，∴2=错误！未找到引用源。，∴k=2，∴y=错误！未找到引用源。， 当x=﹣2时，y?2??1； ?2（2）∵当x=1时，y=2；当x=4时，y=错误！未找到引用源。；

又∵反比例函数y=错误！未找到引用源。在x＞0时，y值随x的增大而减小， ∴当1＜x＜4时，y的取值范围为错误！未找到引用源。＜y＜2． 7．解：（1）根据题意，易得若反比例函数y=（m﹣3）x必有m﹣2=﹣1，解可得m=1；

（2）由（1）可得，反比例函数的解析式为y=错误！未找到引用源。；

m﹣2

的图象是双曲线，

根据题意，易得y1=1，y2=2，y3=﹣2； 比较可得y3＜y1＜y2．

8．解：（1）∵y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例， ∴y1=k1（x﹣1），y2=错误！未找到引用源。， ∵y=y1+y2，当x=0时，y=﹣3，当x=1时，y=﹣1．

??3??k1?k2?∴?， 1?1?k2?2?∴k2=﹣2，k1=1，

∴y=x﹣1﹣错误！未找到引用源。；

（2）把x=﹣错误！未找到引用源。代入（1）中函数关系式得，y=﹣错误！未找到引用源。． 9．解：（1）∵AB⊥x轴，AC⊥y轴，∴A点的坐标x=OB，y=OC， 又∵正方形OBAC的面积=OB×OC=16，即xy=k=16， ∴反比例函数的解析式为y=错误！未找到引用源。． （2）由（1）可得OC=4，设P点坐标为（x，y）， ∵S△PCO=6，∴x=3，

代入反比例函数的解析式中得y=错误！未找到引用源。，∴P点坐标为（3，错误！未找到引用源。）．

10．解：（Ⅰ）∵反比例函数过点（2，2），∴2?∴这个反比例函数的解析式为：y?

5?k，∴k=1 24； x

（Ⅱ）∵5﹣k=4＞0∴y随x的增大而减小． 当x=﹣3时，y??4， 34； 3当x=﹣1时，y=﹣4． ∴y的取值范围为?4＜y＜?（Ⅲ）当x1＜0＜x2时，y1＜y2．

B类试题：

1x?3）?3?（?11．解：根据新定义运算可知，y?3?x??3，

?（x＜3，x?0）??x

（1）当x≥3时，此函数解析式为y=2，函数图象在第一象限，以（3，2）为端点平行于x轴的射线，故可排除C、D；

（2）当x＜3时，此函数是反比例函数，图象在二、四象限，可排除A．故选B． 12．解：∵AC=2BC，∴A点的横坐标是B点横坐标的两倍． ∵点A、点B都在一次函数y?1x?b的图象上， 2∴可设B（m，错误！未找到引用源。m+b），则A（﹣2m，﹣m+b）． ∵|x1﹣x2|=2，∴m﹣（﹣2m）=2，∴m=错误！未找到引用源。． 又∵点A、点B都在反比例函数y?

k

（k＞0）的图象上， x

∴错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。+b）=（﹣错误！未找到引用源。）（﹣错误！未找到引用源。+b），∴b=错误！未找到引用源。；

∴k=错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。）=错误！未找到引用源。．故选D．

13．解：由反比例函数系数k的几何意义判断各结论：

①△ODB与△OCA的面积相等；正确，由于A、B在同一反比例函数图象上，则两三角形面积相等，都为错误！未找到引用源。．

②四边形PAOB的面积不会发生变化；正确，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化．

③PA与PB始终相等；错误，不一定，只有当四边形OCPD为正方形时满足PA=PB． ④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．正确，当点A是PC的中点时，k=2，则此时点B也一定是PD的中点．故一定正确的是①②④． 14．解：根据已知给出的条件，连续代入便寻找出规律，

当y分别为1，3，5，…2005时，x1，x2，x3，…，x2005分别为6，2，错误！未找到引用源。，…，错误！未找到引用源。，

再将x1，x2，x3，…，x2005分别代入错误！未找到引用源。

得：y1，y2，y3，…，y2005分别为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，…，错误！未找到引用源。， 故y2005=错误！未找到引用源。．

15．解：（Ⅰ）这个反比例函数图象的另一支在第三象限． ∵这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限，

∴m﹣5＞0，解得m＞5．

（Ⅱ）如图，由第一象限内的点A在正比例函数y=2x的图象上， 设点A的坐标为（x0，2x0）（x0＞0），则点B的坐标为（x0，0）

∵S△OAB=4，∴错误！未找到引用源。x0?2x0=4，解得x0=2或﹣2（负值舍去） ∴点A的坐标为（2，4）．

又∵点A在反比例函数y=错误！未找到引用源。的图象上， ∴4=错误！未找到引用源。，即m﹣5=8．

∴反比例函数的解析式为y=错误！未找到引用源。．

16．解：（1）因为Pn（x，y）是第一象限内的图象上点，且x，y都是整数． 所以x只能取1，2，3，6．

当x=1时，y=6；当x=2时，y=3；当x=3时，y=2；当x=6时，y=1； 所以所有的点分别为P1（1，6），P2（2，3），P3（3，2），P4（6，1）； （2）当P（m，y1）在第一象限时，均有y1＞y2，此时m＞0， 当P（m，y1）在第三象限时，当m＜﹣3时有y1＞y2， 所以实数m的取值范围为：m＞0或m＜﹣3．

17．解：（1）由于正方形ABCD绕其顶点C顺时针旋转180°得四边形A′B′CD′， 则DD'=2CD'，BB'=2BC；又A（﹣1，6），则C（2，3）． 将C点坐标代入函数关系式求得k=2×3=6．

（2）由（1）中正方形的性质可得A'（5，0），则xE=5，

代入函数关系式求得yE=错误！未找到引用源。，即A'E=错误！未找到引用源。．

则B'E=3﹣错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，BC=3，S△BCE=错误！未找到引用源。×3×错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=2.7．

18．解：（1）由题意，得3=1+m，解得：m=2．∴一次函数的解析式为y1=x+2． 由题意，得3=错误！未找到引用源。，解得：k=3． ∴反比例函数的解析式为y2=错误！未找到引用源。． 由题意，得x+2=错误！未找到引用源。，解得x1=1，x2=﹣3． 当x2=﹣3时，y1=y2=﹣1， ∴交点B（﹣3，﹣1）．

（2）由图象可知，当﹣3≤x＜0或x≥1时，函数值y1≥y2．

19．解：（1）将点A（﹣1，2）代入y=错误！未找到引用源。中，2=错误！未找到引用源。；∴m=﹣2．

∴反比例函数解析式为y=﹣错误！未找到引用源。．

将B（﹣4，n）代入y=﹣错误！未找到引用源。中，n=﹣错误！未找到引用源。；∴n=错误！未找到引用源。．

∴B点坐标为（﹣4，错误！未找到引用源。）． 将A（﹣1，2）、B（﹣4，错误！未找到引用源。）的坐标分别代入y=kx+b中，

1???k?b?2k????2． 得?1，解得??4k?b???b?52??2?∴一次函数的解析式为y=错误！未找到引用源。x+错误！未找到引用源。； （2）当y=0时，错误！未找到引用源。x+错误！未找到引用源。=0，x=﹣5； ∴C点坐标（﹣5，0），∴OC=5．

S△AOC=错误！未找到引用源。?OC?|yA|=错误！未找到引用源。×5×2=5． S△BOC=错误！未找到引用源。?OC?|yB|=错误！未找到引用源。×5×错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。．

5S△AOB=S△AOC﹣S△BOC=5?=错误！未找到引用源。．

420．解：（1）x=错误！未找到引用源。时，y1=﹣错误！未找到引用源。，x=﹣错误！未找到引用源。+1=﹣错误！未找到引用源。；

x=﹣错误！未找到引用源。时，y2=3，x=3+1=4； x=4时，y3=﹣错误！未找到引用源。，x=﹣错误！未找到引用源。+1=错误！未找到引用源。； x=错误！未找到引用源。时，y4=﹣错误！未找到引用源。，x=﹣错误！未找到引用源。+1=﹣错误！未找到引用源。；

x=﹣错误！未找到引用源。时，y5=3；

（2）按照（1）的规律，我们发现，y的值三个一循环2011÷3=607.33，y2011=y1=﹣错误！未找到引用源。．故答案为：（1） y1 y2 y3 ﹣错误！未找到引用源。 y4 ﹣错误！未找到引用源。 y5 ?4 34 33 3 （2）?C类试题：

21．解：分别过P1、P2、P3作x轴的垂线，垂足为H1、H2、H3， 则△OP1H1，△A1P2H2，△A2P3H3为等腰直角三角形， 设OH1=P1H1=a，则a=4，解得a=2（舍去负值）， 即P1的横坐标为2，设A1H2=P2H2=b，则（4+b）b=4， 解得b?2?1?2（舍去负值）， 即P2的横坐标为4?b?21?2， 设A2H3=P3H3=c，则（2a+2b+c）c=4， 即42?cc?4，

解得c?2?2?3（舍去负值）， 即P3的横坐标为2a?2b?c?22?3， …P2011的横坐标为22010?2011．

2

??????????

22．解：（1）由于点A位于反比例函数的图象上，所以S△AOP=错误！未找到引用源。|k|=错误！未找到引用源。．

故当点P在x轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面积不变，值总等于错误！未找到引用源。． （2）由（1）知S△AOP=S△BOD，而S梯形BCPD＜S△BOD，所以S1＞S2． 23．解：作P1⊥y轴于C，P2⊥x轴于D，P3⊥x轴于E，P3⊥P2D于F，如图， 设P1（a，错误！未找到引用源。），则CP1=a，OC=错误！未找到引用源。， ∵四边形A1B1P1P2为正方形，

∴Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D， ∴OB1=P1C=A1D=a，

∴OA1=B1C=P2D=错误！未找到引用源。﹣a，

∴OD=a+错误！未找到引用源。﹣a=错误！未找到引用源。，

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