电磁场部分考试题二

作业2

一、分析题

1、麦克斯韦方程组高度概括了宏观电磁现象的基本规律，请写出麦克斯韦方程组的微分和积分形式，并根据微分形式的麦克斯韦方程组，简述时变电磁场的基本特性。

答：麦克斯韦方程组的积分形式：

????B?E?dl????dS??tl??s?D?dS?qS??? ???D???H?dl?????J??t??dS?s??l? ?B?dS?0S麦克斯韦方程组的微分形式：

??B?0??D???D?B??E=??t ?t

每个方程的物理意义：

??H?J?(a) 安培环路定理，其物理意义为分布电流和时变电场均为磁场的源。 (b) 法拉第电磁感应定律，表示时变磁场产生时变电场，即动磁生电。 (c) 磁场高斯定理，表明磁场的无散性和磁通连续性。 (d)高斯定理，表示电荷为激发电场的源。

在实变电磁场中，磁场和电场都是空间和时间的函数；变化的磁场会产

生电场，变化的电场会产生磁场,电场和磁场相互依存，构成统一的电磁场。 2、斜入射的均匀平面波可以分解为哪两个正交的线极化波？

答：斜入射的均匀平面波都可以分解为两个正交的线极化波:一个极化方向与入射面垂直，称为垂直极化波；另一个极化方向在入射面内，称为平行极化波。 3、导行波的传播模式是哪三种，各自的纵向场量、电磁场的分布有什么特点？

答：由传输线所引导的，能沿一定方向传播的电磁波称为“导行波”。导行波的

电场E或磁场H都是x、y、z三个方向的函数。导行波可分成以下三种类型： (A) 横电磁波（TEM波）：

TEM波的特征是：电场E和磁场H均无纵向分量，亦即：Ez?0 , Hz?0。电场E和磁场H，都是纯横向的。TEM波沿传输方向的分量为零。所以，这种波是无法在波导中传播的。

(B) 横电波（TE波）：

TE波即是横电波或称为“磁波”（H波），其特征是Ez?0,而Hz?0。亦即：电场E是纯横向的，而磁场H则具有纵向分量。 (C) 横磁波（TM波）：

TM波即是横磁波或称为“电波”(E波)，其特征是Hz?0，而Ez?0。亦即：磁场H是纯横向的，而电场E则具有纵向分量。 4、阐述分离变量法的具体内容。

答：把待求的位函数表示为几个未知函数的乘积，其中每一个未知函数仅是一个坐标变量的函数，代入偏微分方程进行变量分离，将原偏微分方程分离为几个常微分方程，然后分别求解这些常微分方程，并利用边界条件确定其中的待定常数，从而得到位函数的解。

静电学的一般问题是求出给定边界条件的泊松方程满足的解。只有在界面的形状相对简单的几何表面，可以得到解析解，并在不同的具体情况下有不同的解决方案。

事实上，静电场是由带电体激发的。如平行板电容器通过带电电荷确定两导体板电场电容器内的电极；其特点是在一些导体的表面上只有自由电荷的出现，在空间中别的自由电荷分布不存在。

即有：若是将区域V的边界由这些导体表面确定，那么在V内部自由电荷密度??0，因此泊松方程（Poisson equation）可化为较简单的拉普拉斯方程（Laplasse equation）

?2??0

因此，这种题目的解法是在边界条件下求拉普拉斯方程满足的解。

二、计算题

5、设有一点电荷q位于坐标系的原点，在此电荷产生的电场中任意一点的电位移矢量D?qr，其中r?xex?yey?zez，求该电位移矢量的散度及穿过以原34?r点为球心，R为半径的球面的电通量。 解：

??????D?dSS由于球面的法线方向与D的方向一致，所以

??????SD?dS?q??SdS4?R2

q2??4?R?q.24?R

6、设?(x,y,z)?3x2y?y3z2求在点M(1,－2,1)处的??。 解： ? ? = =6xy?e+

?3x?3yz?222?xe?2yz3?ye

z =?12?e?9?xe?16?ye

z7、某同轴电缆填充有两层介质，内导体半径为a，外导体半径为c，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数和电导率分别为?1，?1和?2、?2。设内、外导体加电压U。求：两导体之间的电流密度和电场强度的分布。

解：设同轴电缆中单位长度的径向电流为I ,则由

?S??J?dS?I, ??IJ?e?(a???c)可得电流密度

2π?

??I?介质中的电场 E?J?e(a???b)1? ?12π?1?

??J?E2??e?I2π?2??2(b???c) b??c??IbIcU?E?d??E?d??ln()?ln()0由于 ?a1?b22π?1a2π?2b

2π?1?2U0得到

I? ?2ln(ba)??1ln(cb)

则得到两种介质中的电流密度和电场强度为

??J?e??1?2U0(a???c)?[?2ln(ba)??1ln(cb)]??E1?e?

?2U0?[?2ln(ba)??1ln(cb)](a???b)

??E2?e??1U0(b???c)?[?2ln(ba)??1ln(cb)]

?0角。

势；线感应

8、单匝矩形线圈置于时变场B?eyB0sin?t中，如图所示。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量n与y轴成求：线圈静止时的感应电动圈以速度?绕x轴旋转时的电动势。 解：

a) 线圈静止时，穿过线圈的磁通为

???B?dS?eyB0sin??t??nab?B0absin??t?cos?0

S由式（2.59），故感应电动势为

????ddt???abB0cos??t?cos?0

b) 线圈以角速度?绕x轴旋转时，法向单位矢量n的方向随时间变化。在t时刻，n与y轴的夹角???0??t,所以

???B?dS?eyB0sin??t??nab?B0absin??t?cos??0??t?

S故感应电动势为

????ddt???abB0cos??0?2?t?

9、如图所示，无限长中空导体圆柱的内、外半径分别为a和b，沿轴向通以恒定的均匀电流，电流的体密度为J，导体的磁导率为?。试求空间各点的磁感应强度B。

解： 以圆柱轴线上任一点为圆心，在垂直于轴线平面内作一圆形闭合回路，设其半径为r。由对称性可知，磁场在垂直于轴线的平面内，且与圆周相切。

当 r?a 时，由安培环路定理得：H1?0,B1?0

a?r?b 时，由环路定理得：2?rH2?J?(r2?r12)

J(r?a)?(r?a)J 所以 H? ， B?2r2r?(r?a)?(r?a)???JeJ?r 向量式为 B?2r2r22当 r?b 时，2?rH3?J?(b?a)

当

222222222222所以

向量式为

H3?0J(b?a)?0(b?a)J ， B3?2r2r222222B3??(b?a)2r???Je?(b?a)0222r2J?r

10、半径为a的无限长直导线通有电流I，试计算导体内外的磁场强度。

解：在错误！未找到引用源。

H=错误！未找到引用源。 在错误！未找到引用源。 H=错误！未找到引用源。

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