普通高中数学课程标准

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普通高中数学课程标准

普通高中数学课程标准研制组

2002年11月

第一部分 前言

数学是研究空间形式和数量关系的科学，也是研究模式与秩序的科学。数学是描述、探索自然和社会规律的科学语言和研究工具，数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础，并在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥越来越大的作用。数学的应用越来越广泛，正在不断地渗透到社会生活的方方面面，它与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。数学是人类文化的重要组成部分，数学素质已成为公民所必须具备的一种基本素质。

数学教育应该体现数学的价值和特点，并把当今数学发展所体现的理念适当地反映到新的高中数学课程中。

一、课程性质

高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程。它是参加社会生产、处理日常生活的基础，也是学习高中物理、化学、技术等课程和进一步学习的基础，对于认识数学的科学和文化价值，形成理性思维、发展智力，培养学生的创新意识和应用意识有积极作用。

高中数学课程有助于培养学生抽取事物的数、形属性的敏锐意识，利用抽象模式、结构研究事物的思维方式，借助符号和逻辑系统进行严密演绎的探索习性；可以对学生进行美感熏陶，培养学生的审美意识；为学生的终生发展，形成科学的世界观、价值观奠定基础，对提高全民族素质具有重要作用。

二、课程的基本理念

通过国际比较，剖析我国数学教育发展的历史与现状，从时代需求、国民素质、个性发展、全球意识等各个方面综合思考，形成了《普通高中数学课程标准》（以下简称《标准》）的基本理念。

1．构建共同基础，提供发展平台

高中教育属于基础教育。高中数学课程应具有基础性，它包括两方面的含义：

一.在义务教育阶段之后，为我国公民适应现代生活和未来发展提供更高水平的数学基础，使他们获得更高的数学素养；二.为进入高一级学校的学生提供必要的数学准备。高中数学课程由必修课程和选修课程组成，必修课程应当满足所有

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学生共同的数学需求；为有不同需求的学生提供了选修课程，它仍然应是学生发展所需要的基础性数学课程。

2．提供多样课程，适应个性选择

与义务教育阶段不同，高中数学课程应具有多样性与选择性，使不同的学生在数学上得到不同的发展。

《标准》应为学生提供多层次、多种类的选择，以促进学生的个性发展和对未来人生规划的思考。《标准》应为学生提供选择和发展的空间，学生可以在适当的指导下进行自主选择，初步选择以后还可以进行适当的转换、调整。同时，高中数学课程也应给学校和教师留有一定的选择空间，他们可以根据自身的条件和学生的基本需求，制定课程发展计划，不断地丰富和完善供学生选择的课程。

3．有利于形成积极主动、勇于探索的学习方式

学生对数学概念、结论、技能的学习不应只限于接受、记忆、模仿和练习，《标准》还提倡自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主观能动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。同时，《标准》设立“数学探究”、“数学建模”等学习活动，进一步为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯，发展创新意识。

4．有利于提高学生的数学思维能力

提高学生的数学思维能力是数学教育的基本目标之一。人们在学习数学和运用数学解决问题时,不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、演绎证明、反思建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，它们有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式做出思考和判断，数学思维能力在形成理性思维能力中发挥着独特的作用，有助于学生不迷信权威、不感情用事、不含糊马虎。《标准》自始至终力求体现有利于提高学生数学思维能力这一基本理念。

5．发展学生的数学应用意识

20世纪下半叶以来，数学应用的巨大发展是数学发展的显著特征之一。当今知识经济时代，数学正在从幕后走向台前，数学和计算机技术的结合使得数学能够在许多方面直接为社会创造价值，同时，也为数学发展开拓了广阔的前景。我国的数学教育（包括大学数学教育）在很长一段时间里对于数学与实际的联系未能给予充分的重视，因此，高中数学在数学应用和联系实际方面需要大力加强。近几年来，我国大学、中学数学建模的实践表明，开展数学应用的教学活动符合社会需要，有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于增强学生的应用意识。高中数学课程应提供一些基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，开展“数学建模”的学习活动，设立数学应用的专题课程。《标准》力求使学生体验数学在解

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决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，感受数学的实用价值，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。

6．用发展的眼光认识“双基”

我国数学教学具有重视基础知识教学、基本技能训练和能力培养的传统，新世纪的高中数学课程应发扬这种传统。与此同时，随着时代的发展，特别是数学的广泛应用和现代信息技术的发展对社会各个领域的影响，数学课程设置和实施应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，形成符合时代要求的新的“双基”。例如，为了适应信息时代发展的需要，高中数学课程应增加算法的内容，把最基本的数据处理、统计知识作为新的数学基础知识和基本技能。同时，应删减繁琐计算、人为技巧化的难题和枝微末节的内容。

7．返璞归真，注意适度的形式化

形式化是数学的基本特征之一。在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求。但是，数学教学不能过度地形式化，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。数学的现代发展也表明，全盘形式化是不可能的。因此，数学教学应该“返璞归真”，根据不同教学内容的要求，努力揭示数学的本质。数学课程“要讲推理，更要讲道理”，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论的形成过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。

8．体现数学的文化价值

数学是人类文化的重要组成部分，不同的民族有不同的数学传统。数学课程应适当介绍数学的历史、应用和发展趋势；数学对推动社会发展的作用；数学的社会需求；社会发展对数学发展的推动作用；数学科学的思想体系；数学的美学价值；数学家的创新精神。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用；逐步形成正确的数学观。为此，《标准》提倡在高中数学课程内容中体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对“数学文化” 的学习要求，设立“数学史选讲”、“现实社会中的数学”等专题选修课程。

9．注重信息技术与数学课程的整合

现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等产生深刻的影响。《标准》提倡实现信息技术与课程内容的有机整合，注意把算法融入到数学课程的各个相关部分。提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合。鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。。

10．建立合理、科学的评价机制

数学课程的重大改变必将引起评价体系的深刻变化，评价改革应当与数学课程改革同步进行，包括评价理念、评价体制、评价内容、评价形式的改革。评价应在公平、公正的原则下，既要关注学生学习的结果，也要关注他们学习的过程；

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既要关注学生数学学习的水平，也要关注他们在数学活动中所表现出来的情感态度的变化。评价应建立多元化的目标，关注学生个性与潜能的发展。例如，过程性评价应关注对学生理解数学概念、数学思想等过程的评价，关注对学生提出、分析、解决问题等过程的评价，特别对于数学建模、数学探究等学习活动，建立相应的过程评价内容和方法。

评价的改革是这次基础教育改革的重要组成部分，应进一步解放思想，创建适合高中课程改革需要的新的评价制度。

三、课程设计思路

在《标准》制定的过程中，力求将数学课程改革的基本理念与课程框架设计、课程内容确定、课程实施建议有机地结合起来。

高中数学课程框架

1．课程框架

高中数学课程由6个系列课程构成，分别是A，B，C，D，E，F系列。A，B，C系列由若干个模块组成，每个模块2个学分(36学时)；D，E，F系列由专题组成，每个专题1学分（18学时），每2个专题组成1个模块。

课程结构如图所示：

注：上图中

成1个模块。 代表模块；

代表专题，其中2个专题组

6个系列的高中数学课程分为必修课程和选修课程两部分。

2．必修课程

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必修课程是每个学生都必须学习的数学内容，包括 A1， A2， A3，A4，A5五个模块。

A1：集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）；

A2：空间几何初步、解析几何初步；

A3：算法初步、统计、概率；

A4：基本初等函数II（三角函数）、解三角形、数列；

A5：平面向量、三角恒等变换、不等式。

3．选修课程

对于选修课程，学生可以根据自己的兴趣和对未来发展的愿望进行选择。选修课程由B，C，D，E，F系列课程组成。

◆B系列课程：由B1，B2两个模块组成。

B1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用；

B2：统计案例、推理与证明、数系扩充与复数的引入、框图。

◆C系列课程：由C1，C2，C3三个模块组成。

C1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何；

C2：导数及其应用、数系的扩充与复数的引入；

C3：计数原理、统计、概率。

◆D系列课程（文化系列课程）：由D1，D2，D3，D4等4个专题组成。 D1：数学史选讲；

D2：现实社会中的数学；

D3：中学数学思想方法；

D4：数学问题集锦。

◆E系列课程（应用系列课程）：由E1，E2，E3，E4等4个专题组成。 E1：优选法与实验设计；

E2：统筹法与图论；

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E3：风险与决策；

E4：数字电路设计与代数运算。

◆F系列课程（拓展系列课程）：由F1，F2，F3，F4，F5，F6，F7，F8，F9，F10等10个专题组成。

F1：几何证明； F2：不等式；

F3：参数方程与极坐标； F4：矩阵与变换；

F5：数列与差分； F6：尺规作图与数域扩充；

F7：欧拉公式与闭曲面分类； F8：初等数论初步；

F9：对称变换与群； F10：球面几何与非欧几何。

4．关于课程设置的说明

◆课程设置的原则与意图

必修课程内容确定的原则是：满足未来公民的基本数学需求；为学生进一步的学习提供必要的数学准备。

选修课程内容确定的原则是：为学生进一步学习、获得较高数学修养奠定基础；满足学生的兴趣和对未来发展的愿望。

B系列课程是为那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的，C系列课程则是为那些希望在理工、经济等方面发展的学生设置的。B，C系列是选修课中的基础性内容。

D系列课程是数学文化系列课程。是为扩展学生的数学视野，提高学生对数学文化价值的认识，并借此向社会普及数学科学而设计的。E，F系列选修课程是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生设计的，所涉及的内容都是数学的基础性内容。D，E，F系列课程中的专题今后还将逐步地予以扩充。对于D，E，F系列课程，学生可根据自己的兴趣、志向自由选择。

◆设置了数学建模、数学探究、数学文化内容

具体要求如下：

高中数学课程要求把数学探究、数学建模的思想渗透在各模块内容之中，并在高中阶段至少安排一次数学建模、一次数学探究活动。高中数学课程要求把数学文化内容与各模块的内容有机结合。

◆模块的逻辑顺序

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（1）A系列课程是B，C系列课程的基础。D，E，F系列课程不依赖于其他系列的课程，可以与其他系列课程同时开设，这些专题的开设可以不考虑先后顺序。

（2）A系列课程中，A1是A2，A3 ，A4和A5的基础，A2，A3 ，A4和A5的开设可以不考虑先后顺序；

（3）在A系列课程的基础上，可分别学习B，C两个系列的课程。B系列课程依B1，B2顺序开设。C系列课程中，C1是 C2和C3的基础，C2和C3的开设可以不

考虑先后顺序。

◆课程资源的建设与开发

学校应首先保证A，B，C系列课程的开设和质量。对于D，E，F系列课程中的专题，在满足学生基本选择需求的前提下，可以根据学校自身的情况逐步丰富和完善，教师也可以自身的条件制定在开设课程方面个人发展计划。鼓励学校开放办学，开发校外课程资源。

学生的6种最基本的选择和课程组合的基本建议

学生的志向与自身条件不同，不同高校、不同专业对学生数学方面的要求也不同，甚至同一专业对学生数学方面的要求也不一定相同。据此，学生可以选择不同的课程组合。课程组合的基本建议如下：

（1）学生完成10学分的必修课，即可达到高中毕业的最低数学要求。他们还可以任意选修其它的数学课程。

（2）学生完成10学分的必修课，在选修课程中任选1个模块获得2学分，即可达到高职、艺术、体育类的高等院校的数学要求。

（3）学生完成10学分的必修课，在选修课程中选修B1，B2，获得4学分，

在其他选修课程中选修1个模块获得2学分，总共取得16个学分，即可达到人文社会科学类高等院校的数学要求。

（4）对数学有兴趣、并希望获得较高数学素养的学生，可在（3）的基础上，在E，F系列中选修2个模块获得4学分，总共取得20个学分，经过考试可成为升学或其他需要的依据和参考。

（5）学生完成10学分的必修课，在选修课程中选修C1，C2，C3，获得6学分，

在其他选修系列课程中选修1个模块（两个专题）获得2学分，另外在E，F系列中选修1个模块（两个专题）获得2学分，总共取得20个学分，即可达到理工、经济类高等院校的数学要求。

（6）对数学有兴趣、并希望获得较高数学素养的学生，可在（5）的基础上，再在E，F系列中选修2个模块（4个专题）获得4学分，总共取得24个学分，经过考试可成为升学或其他需要的依据和参考。

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课程的组合具有一定的灵活性，不同的组合可以相互转换。学生做出选择之后，可以根据自己的意愿和条件向学校申请调整，经过测试获得相应的学分即可转换。

《标准》中使用的主要行为动词

本《标准》的目标要求包括知识技能、过程与方法、情感态度价值观三个方面，所涉及的行为动词水平大致分类如下。

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第二部分 课程目标

高中数学课程的总目标是： 在9年义务教育数学课程的基础上，使学生获得作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。

具体目标如下：

1.获得必要的数学基础知识和基本技能理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解它们产生的背景、应用和在后继学习中的作用，体会其中的数学思想和方法；

2.提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力；

3.在以上基本能力基础上，初步形成数学地提出、分析和解决问题的能力，数学表达和交流的能力，逐步地发展独立获取数学知识的能力；

4.发展数学应用意识和创新意识力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式做出思考和判断；

5.提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度；

6.具有一定的数学视野，初步认识数学的应用价值、科学价值和文化价值，逐步形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，从而进一步树立辩证唯物主义世界观。

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第三部分 内容标准

一、必修课程

必修课程是整个高中数学课程基础，包括5个模块，共10学分，是所有学生都要学习的内容。它的内容的确定遵循两个原则：一是满足未来公民的基本数学需求，二是为学生进一步的学习提供必要的数学准备。

5个模块的内容为：

A1：集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）；

A2：空间几何初步、平面解析几何初步；

A3：算法、统计、概率；

A4：基本初等函数II（三角函数）、解三角形、数列；

A5：平面向量、三角恒等变换、不等式。

A1是学习这五个模块的基础，其他各个模块的教学顺序，以及数学知识之间的局部交叉，应考虑数学知识的内在联系，视实际教学情况，可以进行合理的调整与安排。

必修课程的呈现力求展现由具体到抽象的过程，努力体现数学知识中蕴涵的基本思想方法，体现数学知识的发生过程和实际应用，而不在技巧、难度上做过高的要求，要保证基本知识的掌握与基本技能的形成。

A1

在本模块中，学生将学习集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）。

集合论是德国数学家康托在19世纪末创立的，集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容。高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言来刻画函数，函数的思想方法将贯穿于高中数学课程的始终。学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。学生还将学习利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系。

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内容与要求

1．集合（4课时）

（1）集合的含义与表示

①通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。

②针对不同的具体问题，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）加以描述。

③会用集合语言对已经学习过的某些数学对象加以描述，感受集合语言的意义和作用。

（2）集合间的基本关系

①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。

②在具体情境中，了解全集与空集的含义。

（3）集合的基本运算

①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。 ②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。 ③能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

2．函数概念与基本初等函数I（32课时）

（1）函数

①通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数。

③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

④通过已学过的函数特别是二次函数，理解这些函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；知道奇偶性的含义。

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⑤学会运用函数图象理解和研究函数的性质（参看例1）。

（2）指数函数

①通过具体实例（如：细胞的分裂，考古中所用的C14的衰减，药物在人体

内残留量的变化），了解指数函数模型的实际背景，体会引入有理指数幂的必要性。

②理解有理指数幂的含义，知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

③理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。

④在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型（参看例2）。

（3）对数函数

①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然（常用）对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。 ②通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。

③知道指数函数y=ax 和对数函数y=logax互为反函数。（a>1,a≠1）

（4）幂函数

通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x,y=x2, y=x3, y=x-1, y=x1/2 的图象，了解它们的变化情况。

（5）函数与方程

①结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。

②根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

（6）函数模型及其应用

①利用计算工具，对比指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

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②收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用。

（7）实习作业

根据某个主题，收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物（开普勒、伽里略、笛卡尔、牛顿、莱布尼兹等）的有关资料或现实生活中的函数实例，采取小组合作的方式写一篇有关函数概念形成、发展或应用的文章，在班级中进行交流。有关要求参见数学文化的要求。

说明与建议

1．集合是一个不加定义的概念，教学中应结合学生的生活经验和已有知识，列举丰富的实例，使学生理解集合的含义。学习集合语言最好的方法是使用，在教学中要创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，以便学生在实际使用中逐渐熟悉“自然语言”、“集合语言”、“图形语言” 各自的特点，进行相互转换并掌握集合语言。在关于集合之间的关系和运算的教学中，使用Venn图是重要的。

2．函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质。函数概念的引入，一般有两种方法，一种方法是：先学习映射，再学习函数；另一种方法是：通过具体实例，体会数集之间的对应，即函数。考虑到多数高中学生的认知特点，为了有助于他们在对函数概念本质的理解，建议采用后一种方式，从学生已掌握的具体函数和对函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念。再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解。

3．在教学中，应强调对于函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题。

4．指数幂的教学，应在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的基础上，结合实例，引入有理指数幂及其运算性质，然后借助“用有理数逼近无理数”的思想，直观地描述实数指数幂的意义及其运算性质，可以让学生利用计算器或计算机的实际操作，感受这一“逼近”过程。

5．反函数的处理，只要求以具体函数为例进行解释，例如可通过比较同底的指数函数和对数函数，说明指数函数y=ax和对数函数y=logax（a>1,a≠1）互为反函数。淡化对反函数的形式化定义，不要求一般地讨论反函数的定义，也不要求求已知函数的反函数。

6．在函数应用的教学中，教师要引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。

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7．应注意鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题，如利用计算器、计算机画出指数函数、对数函数等的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质，求方程的近似解等。

参考案例

例1 如图，直线和圆，当从开始在平面上绕点匀速旋转（旋转角度不超过90o）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，它的图象大致是（ ）。

例2 家用电器（如冰箱等）使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层。臭氧含量呈指数函数型变化，满足关系式始量。 ，其中是臭氧的初

（1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？

（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？

A2

在本模块中，学生将学习空间几何初步、平面解析几何初步。

几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形与空间性质。三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的几何直觉、运用图形语言进行交流的能力、空间想象能力与一定的推理论证能力是高中阶段数学必修课程的一个基本要求。在空间几何初步部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体等为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；最后对有关平行、垂直的性质与判定用数学语言进行严格的表述，并对某些结论进行论证。学生还将了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。

平面解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。在本模块中，学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。

内容与要求

1．空间几何初步（18课时）

（1）空间几何体

①利用实物模型、计算机软件观察大量立体图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描绘现实生活中简单物体的结构。

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②能画出简单立体图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的视图，会用材料将上述的视图复原为立体模型，并会用斜二侧法画出它们的直观图。

③通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解立体图形的不同表示形式。

④完成实习作业，如画出校舍某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。

⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。

（2）点、线、面之间的位置关系

① 借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下公理。

公理：

◆如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 ◆过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

◆如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 ◆平行于同一条直线的两条直线平行。

◆空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 ②以空间几何的上述定义和公理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：

◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 ◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 ◆ 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：

◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。

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◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。 ◆垂直于同一个平面的两条直线平行。

◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 ③能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

2．平面解析几何初步（18课时）

（1）直线与方程

①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。 ②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率计算公式。

③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。

④根据确定直线位置的几何量，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。

⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。

⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。

（2）圆与方程

①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。

②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。 ③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

（3）在平面解析几何的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。

（4）空间直角坐标系

①通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置。

②通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。

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说明与建议

1．空间几何教学的重点是帮助学生逐步形成空间想象能力。本部分内容的设计遵循从整体到局部、具体到抽象的原则，教师应提供丰富的实物模型或利用计算机软件呈现的空间几何体，帮助学生认识空间几何体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。应在义务教育阶段有关三视图学习的基础上，帮助学生运用平行投影与中心投影，进一步掌握在平面上表示立体图形的方法和技能。（参看例1）

2．几何教学应注意引导学生通过对实际模型的认识，将自然语言转化为图形语言和符号语言。教师可以将长方体内的点、线、面关系作为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中点、线、面之间的位置关系；通过对图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题。（参看例2）

3．空间几何的教学中，要求对有关线面平行、垂直关系的性质定理进行逻辑论证；对相应的判定定理只要求直观感知、操作确认，在选修课程C系列中将用向量方法加以论证。

4．有条件的学校应在教学过程中恰当地使用现代信息技术展示空间图形，提高学生的几何直觉，为几何证明的教学提供生动的支持。教师可以指导和帮助学生运用空间几何知识选择课题，进行探究。

5．在平面解析几何的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿于平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。

参考案例

例1 如图是一个奖杯的三视图，请你画出它的直观图，并求出这个奖杯的体积。

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例2 观察自己的教室，说出观察到的点、线、面之间的位置关系，并说明理由。

A3

在本模块中，学生将学习算法、统计、概率。

算法是数学的重要组成部分，是计算理论、计算机理论和技术的基础。随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。在本模块中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。

现代社会是信息化的社会，人们常常需要收集数据，根据所获得的数据提取有价值的信息，并作出合理的决策。统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据。随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的模型，同时为统计学的发展提供了理论基础。因此，统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识。在本模块中，学生将在义务教育阶段学习统计与概率的基础上，通过实际问题情境，学习随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法，体会用样本估计总体及其特征的思想；通过解决实际问题，较为系统地经历数据收集与处理的全过程，体会统计思维与确定性思维的差异。学生将结合具体实例，学习概率的某些基本性质和简单的概率模型，加深对随机现象的理解，能通过实验、计算器（机）模拟估计简单随机事件发生的概率。 内容与要求

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1．算法（12课时）

（1）算法的含义、程序框图

①通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如：二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。

②通过模仿、操作、探索，经历设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中（如：三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。

（2）基本算法语句

经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，体会算法的基本思想。

（3）通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强民族自豪感。

2．统计（16课时）

（1）随机抽样

①能从现实世界或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。

②结合具体问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。

③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。

④能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。

（2）用样本估计总体

①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图（参看例1）。

②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。 ③能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释。

④在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布、用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。

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⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题；能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异。

⑥形成对数据处理过程进行初步评价的意识，了解新闻媒介、广告等公布的数据可能带来的误导。

（3）变量的相关性

①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。

②经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程，知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。

3．概率（8课时）

（1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。

（2）通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。

（3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

（4）了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义（参看例2）。

（5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。

说明与建议

1．算法在高中数学课程中是一个新的内容，其思想是非常重要的。但算法并不神秘，例如运用消元法解二元一次方程组、求最大公因数等的过程就是一种算法。为了有条理地、清晰地表达算法，往往需要将解决问题的过程整理成程序框图；为了能在计算机上实现，还需要将自然语言或程序框图翻译成计算机语言。本模块重要的是使学生体会算法的思想，提高逻辑思维能力。不应将此部分内容简单处理成程序语言的学习和程序设计。

2．算法教学必须通过实例进行，使学生在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构和语句。有条件的地方，应鼓励学生尽可能上机尝试。

3．算法除作为本模块的内容之外，应该在其他有关内容中注意渗透算法思想，鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题。

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4．教师应引导学生体会统计的作用和基本思想，统计的特征是通过部分的数据来推测全体数据的性质。学生应体会统计思维与确定性思维的差异，注意到统计结果的随机性，统计推断是有可能犯错误的。

5．统计是为了从数据中提取信息，教学时应引导学生根据实际问题的需求选择不同的方法合理地选取样本，并从样本数据中提取需要的数字特征。不应把统计处理成数字运算和画图表。对统计中的概念（如“总体”、“样本”等）应结合具体问题进行描述性说明，不应追求严格的形式化定义。

6．统计教学必须通过案例来进行。教学中应通过对一些典型案例的处理，使学生经历较为系统的数据处理全过程，在此过程中学习一些数据处理的方法，并运用所学知识、方法去解决实际问题。例如在学习线性相关的内容时，教师可以鼓励学生探索用多种方法确定线性回归直线。在此基础上，教师可以引导学生体会最小二乘法的思想，根据给出的公式求线性回归方程。对感兴趣的学生，教师可以鼓励他们尝试推导线性回归方程。（参看例3）

7．概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义。教师应通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验，正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性，并尝试澄清日常生活遇到的一些错误认识。（如：“中奖率为1/1000的彩票，买1000张一定中奖。”

8．古典概型的教学应让学生通过实例理解古典概型的特征：实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性。让学生初步学会把一些实际问题化为古典概型。教学中不要把重点放在“如何计数”上。

9．应鼓励学生尽可能运用计算器、计算机来处理数据、进行模拟活动，更好地体会统计思想和概率的意义。例如，可以利用计算器产生随机数来模拟掷硬币的试验等。

参考案例

例1 下面某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的比较图： 甲 乙

34 20

35 30

36 22

38 26

37 28

根据上图对两名运动员的成绩进行比较。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ivgj.html