课时学案 - 用三角函数模型刻画周期变化规律(例4)
更新时间:2024-03-30 17:06:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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课时学案——用三角函数模型刻画周期变化规律(例4)
江苏 韩文美
【课前准备】 1.课时目标
(1)利用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题,关键是从实际问题中抽象出三角函数模型;
(2)明确所给问题是否具有周期现象,能否用三角函数来刻画;认真分析实际问题的意义,如自变量的范围.
2.基础预探 (1)________作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.
(2)我们可以利用搜集到的数据,作出相应的________,通过观察散点图关进行函数拟合而获得具体的________,最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.
(3)实际问题通常涉及复杂的数据,因此往往需要使用________或________. 【知识训练】
1.函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数( )
A.(C.(
π3π,) 22 B.(π,2π)
3π5π,) D.(2π,3π) 222.如图为一半径为3米的水轮,水轮圆心O距离水面2米,已知水轮每分钟旋转4圈,水轮上的点P到水面距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2,则有( )
A.A=3,ω=
2?2?1515 B.A=3,ω= C.A=5,ω= D.A=5,ω=
2?2?1515
π是方程2cos(x+α)=1的解,其中α∈(0,2π),则α=_________. 34.若f(x)具有性质:
ππ①f(x)为偶函数,②对任意x∈R,都有f(-x)=f(+x),则f(x)的解析式可
44以是_______.(只写一个即可)
π5.求下列函数的单调区间: y=-|sin(x+)|.
46.单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离ycm和时间xs的函数关系为y=6sin
3.若x=(2πx+
π). 6(1)单摆开始摆动(x=0)时,离开平衡位置多少厘米? (2)单摆摆动到最右边时,离开平衡位置多少厘米? (3)单摆来回摆动一次需要多少时间? 【学习引领】
三角函数能够模拟许多周期现象,在解决实际问题中有着广泛的应用.特别,三角函数在物理中有比较多的应用,物理中的单摆运动、波的传播、交流电等内容都可以用三角函数来分析和理解.特别是如果某种变化着的现象具有周期性,那么它就可以借助三角函数来描述.可以利用三角函数的相应理论来解答生产、科研和日常生活中的实际问题.
注意结合三角函数的图象与性质加以处理简单的实际问题,关键是体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型.掌握数形结合的数学思想.解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样,先建模,再讨论变量的性质,最后作出结论并回答问题.注意三角函数中的变量的特定的取值等.
【典例导析】
题型一:变换问题中的三角函数模型
例1.估计某一天的白昼时间的小时数D(t)的表达式是:D(t)=
k2?sin(t-79)2365+12,其中t表示某天的序号,t=0表示1月1日,依次类推,常数k与某地所处的纬度有关.
(1)在波士顿,k=6,试画出函数当0≤t≤365时的图象; (2)在波士顿哪一天白昼时间最长?哪一天最短? (3)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时.
思路导析:结合给出的三角函数表达式作出相应的函数图象,并结合具体的问题,结合
函数图象来分析与判断实际问题.
解析:(1)先用“五点法”作出f(t)=3sin(t-79)=0及sin
t f(t) 2?2?(t-79)的简图,如下图,由sin3653652?(t-79)=2π,可解得t=79及t=444,列表如下: 36579 0 170 3 262 0 353 444 -3 0 若t=0,f(0)=3sin
2?(-79)≈3sin(-1.36)=-2.9, 365因为f(x)的周期为365,所以f(365)=-2.9,
将f(t)在[0,365]上的图象向上平移12个单位,就得到D(t)的图象;
(2)白昼时间最长的一天,即D(t)取最大值的一天,此时t=170,对应的是6月20日(闰年除外);类似地,t=365时,D(t)取最小值,即12月20日白昼最短;
(3)D(t)>10.5,即3sin365],∴49<t<292,
由于292-49=243,所以约有243天的白昼时间超过10.5小时.
点评:理解题意,建立数学模型,将实际问题转化为数学问题,用相关的数学知识解答,是解决实际问题的关键,也是三角函数实际应用的表现之一.
变式练习1:如图所示,一个摩天轮半径为10米,轮子的底部在地面上2米处,如果此摩天轮每20秒转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心O高度相同)时开始计时.
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式;
(2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米?
2?2?1(t-79)+12>10.5,sin(t-79)>-,t∈[0,3653652
题型二:拟合问题中的三角函数模型
例2.在股票市场上,投资者常参考股价(每一股的价格)的某条平滑均线(记作MA)的变化情况来决定买入或卖出股票.股民老韩在研究股票的走势图时,发现一只股票的MA均线近期走得很有特点:如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系xOy,则股价y(元)和时间x的关系在ABC段可近似地用解析式y=asin(ωx+φ)+b(0<φ<π)来描述,从C点走到今天的D点,是震荡筑底阶段,而今天出现了明显的筑底结束的标志,且D点和C点正好关于直线l:x=34对称.老韩预计这只股票未来的走势如图中虚线所示,这里DE段与ABC段关于直线l对称,EF段是股价延续DE段的趋势(规律)走到这波上升行情的最高点F.
现在老韩决定取点A(0,22),点B(12,19),点D(44,16)来确定解析式中的常数a,b,ω,φ,并且已经求得ω=
?. 72(Ⅰ)请你帮老韩算出a,b,φ,并回答股价什么时候见顶(即求F点的横坐标);
(Ⅱ)老韩如能在今天以D点处的价格买入该股票5000股,到见顶处F点的价格全部卖出,不计其它费用,这次操作他能赚多少元?
思路导析:通过在ABC段可近似地用解析式y=asin(ωx+φ)+b(0<φ<π)来描述的关系进行待定系数法运算,计算相应的参数值,并结合对称性解决相应的解析式问题和函数值问题.
解析:(Ⅰ)由于C、D关于直线l对称,则C点坐标为(2×34-44,16),即(24,16),
??22?asin??把A、B、C的坐标代入解析式y=asin(ωx+φ)+b,得?19?asin(??16?asin(??②?①,得a[sin(
??b ①???)?b②
6?3??)?b③?+φ)-sinφ]=-3, 6???③?①,得a[sin(+φ)-sinφ]=-6,则有2 [sin(+φ)-sinφ]=sin(+φ)-sinφ,
363展开有cosφ+3sinφ=
33cosφ+sinφ,
22即(1-
3333)cosφ=(-3)sinφ=3(-1)sinφ,故tanφ=-,
2223?5?=,代入②,得b=19,再由①,得a=6, 665?所以a=6,b=19,φ=,
6?5?于是,ABC段的解析式为y=6sin(x+)+19,
726?5?由对称性得,DEF段的解析式为y=6sin[(68-x)+]+19,
726?5??故(68-xF)+=,解得xF=92,即当x=92时,股价见顶; 7262而0<φ<π,则φ=π-
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,yF=6+19=25 ,故这次操作老韩能赚5000×(25-16)=45000元. 点评:在解决拟合三角函数模型问题中,往往通过待定系数法,根据已经点的坐标的关系解决相应的方程组先求解对应的参数值,再根据实际问题求解相应的三角函数问题.
变式练习2:下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)
日期 日期位置1月1日 1 2月28 日 59 3月21 日 80 4月27 日 117 5月6 日 126 6月21 日 172 8月13 日 225 9月20 日 263 10月25日 298 12月21日 355 序号x 白昼时间y(小时) 5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4 (I)以日期在365天中的位置序号x为横坐标,白昼时间y为纵坐标,在给定坐标系中画出这些数据的散点图;
(Ⅱ)试选用一个形如y=Asin(ωx+φ)+t的函数来近似描述一年中白昼时间y与日....期位置序号x之间的函数关系;[注:①求出所选用的函数关系式;②一年按365天计算] (Ⅲ)用(Ⅱ)中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时?
【随堂练习】
1.方程sinx=lgx的实根个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2
2.函数f(x)=x-sinx(x∈R)的部分图象是( )
?
3.为了使y=sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值,则ω的最小值是( )
A.98π 4.y=
B.
197π 2 C.
199π 2 D.100π
sinx的最大值是_________,最小值是_________.
2?sinx5.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作y=f(x),下表是某日各时的浪高数据. t(小时) 0 y(米) 3 6 9 12 15 18 21 24 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测,y=f(x)的曲线可近似看成是函数y=Acosωt+b(A>0)根据以上数据,函数的解析式为 .
6.设x∈[0,值.
【课后作业】
? a (a≤b)
1.定义新运算a*b为:a*b=? ,例如1*2=1,3*2=2,则函数f(x)=sinx*cosx
?b (a>b)
π],f(x)=sin(cosx),g(x)=cos(sinx),求f(x)、g(x)的最大2
的值域为( )
A.[-1,
2222] B.[0,] C.[-1,2] D.[-,] 2222
2.水平地面上发射的炮弹,初速度大小为v0,发射角为θ,重力加速度为g,则炮弹
上升的高度y与飞行时间t之间的关系式为( )
A.y=v0t B.y=v0sinθ·t-3.y=
12
gt C.y= v0sinθ·t D.y= v0cosθ·t 22?cosx(0<x<π)的最小值是________.
sinx4.如图,一广告气球被一束入射角为α的平行光线照射,其投影是长半轴长为5 m的椭圆,则制作这个广告气球至少需要的面料为 m2.
5.f(x)是定义在[-2π,2π]上的偶函数,当x∈[0,π]时,y=f(x)=cosx,当x∈(π,2π]时,f(x)的图象是斜率为的部分.
2,在y轴上截距为-2的直线在相应区间上ππ); 3(2)求f(x),并作出图象,写出其单调区间. (1)求f(-2π),f(-
?sinx(sinx?cosx),6.已知函数f(x)=?
cosx(cosx?sinx).?(1)画出f(x)的图象,并写出其单调区间、最大值、最小值;
(2)判断f(x)是否为周期函数.如果是,求出最小正周期.
答案:
【课前准备】 2.基础预探 (1)三角函数;(2)散点图,函数模型;(3)计算机,计算器; 【知识训练】
1.C;解析:根据各选项,依次排除A、B、D;
2.A;解析:周期T=15,ω=3.
2?2?=; T154ππππ;解析:∵x=是方程2cos(x+α)=1的解,∴2cos(+α)=1,即cos(+33337π5π4π1πππα)=,又α∈(0,2π),∴+α∈(,),∴+α=,∴α=;
23333334.f(x)=a或f(x)=cos4x或f(x)=|sin2x|等;解析:开放性问题,只要写出满足条件的函数即可;
5.解析:y=-|sin(x+kπ+
ππππ)|的图象的增区间为[kπ-,kπ+],减区间为[kπ+,44443π],k∈Z. 4y??-44O5?4x 6.解析:(1)当x=0时,y=6sin(2π×0+
ππ)=6sin=3,即此时离开平衡位置3厘米; 66(2)单摆摆动到最右边时,此时y取得最大值,即离开平衡位置6厘米; (3)由于T=
2??=1,那么f=
1=1,即单摆来回摆动一次需要1s. T【典例导析】
变式练习1:解析:(1)以O为坐标原点,以OP所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,设摩天轮上某人在Q处,则在t秒内OQ转过的角为
所以t秒时,Q点的纵坐标为
2ππt=t, 2010πt, 10πt +12(米); 10ππ1(2)令y=10sint +12≤12,则sint ≤-,
10105故在t秒时此人相对于地面的高度为y=10sin
由于0≤t≤20,可得10.64≤t≤19.36,则19.36-10.64=8.72,
故约有8.72秒此人相对于地面的高度不超过10米. 变式练习2:解析:(I)画散点图见下面:
(Ⅱ)由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为y=Asin(ωx+φ)+t, 由图形知函数的最大值为19.4,最小值为5.4,即ymax=19.4,ymin=5.4, 由19.4-5.4=14,得A=7;由19.4+5.4=24.8,得t=12.4;
2?2?2??323?=,当x=172时,x+φ=,则φ=-, T36536573022?323?所以y=7sin(x-)+12.4(1≤x≤365,x∈N*);
3657302?323?1?2?323?5?(Ⅲ)由y>15.9得sin(x-)>,则有 365730273066365365323365?5323解得+ 1242?64又T=365,则ω= ∴该地大约有121天(或122天)白昼时间大于15.9小时. 【随堂练习】 1.C;解析:根据函数y=sinx与y=lgx的图象加以分析与判断,其两图象的交点有3个,故其方程的实根有3个; 2.D;解析:当x→+∞时,函数值y→+∞,当x→-∞时,函数值y→-∞,仅选项D满足; 3.B;解析:49 11972π197π×T≤1,即×≤1,∴ω≥; 44?212?sinx?224.,-1;解析:y==1-,当sinx=-1时,得ymin=-1;当sinx=1 2?sinx2?sinx31时,得ymax=; 31?1cost+1;解析:根据表格中数据可知y的极差是1.5-0.5=1,则A=,由2262??此可以判断b=1,结合数据可知周期为T=2×(9-3)=24,则ω==; T65.y= π]上,y=cosx是单调递减的,且cosx∈[0,1],而y=sinx2是单调递增的,且sinx∈[0,1], ∴f(x)=sin(cosx)∈[0,sin1],g(x)=cos(sinx)∈[cos1,1], ∴f(x)的最大值是sin1,g(x)的最大值是1. 【课后作业】 6.解析:∵在x∈[0, 3?? 1.A;解析:当sinx≤cosx时,即2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z)时,f(x)=sinx∈[- 441,23?2? ],当sinx>cosx时,即2kπ+ 2 ]; 2 函数f(x)的值域为[-1, 2.B;解析:根据实际问题结合选项加以分析与判断; 3.3;解析:y可视为点A(-sinx,cosx),B(0,2)连线的斜率kAB,而点A的轨?x???sinx,3迹?x∈(0,π)是单位圆在第二、三象限的部分(如下图),易知当A(-, ?y?cosx,2?1)时,ymin=kAB=3; 2y'B(0,2)AO-11x' 4.100πcos2α;解析:由图知:2R=10cosα,R=5cosα,则S=4πR2=100πcos2α; 5.解析:(1)当x∈(π,2π]时,y=f(x)= 2x-2, π又f(x)是偶函数,∴f(-2π)=f(2π)=2, 又x∈[0,π]时,y=f(x)=cosx,∴f(- ππ1)=f()=; 233?2?π?,??πx?2x???2π,?(2)y=f(x)=?cosxx???π,π?, ?2?x?2x??π,2π?.π?y212?--?-1O-2??x2 单调区间为[-2π,-π),[0,π),[-π,0],[π,2π]. 6.解析:(1)实线即为f(x)的图象: y=sinx1y2?-?-cosxy=O-1?2?x 单调增区间为[2kπ+ ππ5π,2kπ+],[2kπ+,2kπ+2π](k∈Z), 424ππ5π],[2kπ+,2kπ+](k∈Z), 424单调减区间为[2kπ,2kπ+f(x)max=1,f(x)min=- 2; 2(2)f(x)为周期函数,T=2π.
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