2020年浙江省高中竞赛试题和解答

、选择题 1 ?集合A A . Ap|B c . A 解：因为 2.当o A . f 2(x) 2020年浙江省高中竞赛试题和解答

〔本大题总分值

1,x ,B

1 时，f(x)

C . f(x) 解：当0 x 又因为 3 ?设 解: f(x 2

) f(x 2) f(x) f 2(x) 1 时"lgx 2^2 x 2x x lg x lg x 2lg x (2 f (x)在［0,1］上有定义, 1) 函数f (x a)

时,

4. P 为三角形 ABC 一定为( A .直角三角形;

解：因为PB B x

2

x x 2 0

B .

An

B y y 2 D . A

B

y y 1,或x 2 , 因此有

36分，每题6分〕

x x 那么以下大小关系正确的选项是〔

R , 2或

y

B

x)x 2lg x

要使函数

那么以下正确的选项是〔

,正确答案为 A .

f(x 2) f 2(x) f(x) f(x 2)

f(x 2) f(x) f 2(x)

x 2

f 2(x)

lg x 0 ?因此 f (x)

f(x a) f(x

f (x a)的定义域为

[a,1 a]

应有 a 1 a ，即a

ABC 内部任一点〔不包括边

界〕

a,1 f(x 2)

f 2(x).

选C .

a)有定义，那么

a].当a 0时,

a 的取值范畴为

应有a 1 a ，即

，且满足

因此，选B .

(PB P A)(PB ^A 2P C) 0,

那么△

等边三角形；C .等腰直角三角形；D .等腰三角形

B, PB PA 2P C C B CA ，因此条件可改写为AB (CB C A)

0 .容

易得到此三角形为等腰三角形. 因此选D .

5. x x 2 a 2 b 2 1 x a 2 2ab b 2是偶函数，那么函数图象与 y 轴交点的纵坐标的最

大值是〔

2 2 由条件可知, a2b2

cos , b sin ,那么

2 2

2ab b cos 2sin cos sin2cos2 sin2 , 2 .因此选A.

6.圆锥的轴截面SAB是边长为底面内〔包括圆周〕?假设AM

2的等边三角形,

丄MP，那么

O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥P点形成的轨迹的长度为〔〕

A. ..7

解：建立空间直角坐标系. A(0,-1,0),

/3

B(0,1,0), S(0,0,、、3) , M (0,0, ) , P(x,y,0) ?因此有

2

A M (0,1,-^),MP

2 (x, y, 込由于AM丄MP，因此2

(0,1, (x,y, f)

0,即y;，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为

因此选

二、填空题〔此题总分值54分，每题9分〕

7. cos(、1 x2 5x 7 x2 5x 6)=

2

解：依照题意要求，x5x 6 0 , 0 5x

7 1 ?因此有x25x 7 1?因此cos(. 1 x2 5x 7 ,x2 5x 6) cos0 因此答案为1.

a

&设a,b,c,d为非负实数，满足一

b c d -,那么C

3 .

1 0 ,函数图象与y轴交点的纵坐标为a 2ab b .令

解：明显a0，由于

a

b c d

1

b c

b c

a d

因此有

9?设f(x) f(x) f(」) x

解: f(x) f(l)

x

1 1

1 4lgx 1 8lgx

，有

a b c

，故

1

1 8 lgx

3 .

2

10.设实系数一元二次方程

x ax 2b 2 0有两个相异实根，其中一根在区间 (0,1)内，另

12 .在边长为1的正三角形 ABC 的边AB 、AC 上分不取D 、E 两点，使沿线段 顶点A 正好落在边BC 上. AD 的长度的最小值为

t

X 。 X 。

-1,

sin t cos 的两个

根，

即为方程

t 2 (cos

sin )t sin

cos

x 0(cos sin ) 0

的两个根. 因此

sin cos (si n

cos ),

即 sin cos sin cos 0.

b 4

根在区间(1,2)内，那么 仝上 的取值范畴是

a 1

解：依照题意，设两个相异的实根为

x 1,x 2

，且0 x 1 1 x 2 2，那么 3， 0 x-i x 2 2b 2

2.

因此有

3 a

1,1 i b 2，也即有

1

1

2 a 1

丄” 1 b 4 3

1 3

故有一

，即取值范畴为

2 a 1

2

2 2

11.,

R , 直线

- x

sin sin

sin

的交点在直线 y

x 上, 那么sin

cos

1 J

4

3 b

4 2 .

y 1与 x

y 1

cos 1与

cos sin

cos cos

sin

cos

，且 sin ,cos 为方程

DE 折叠三角形时,

解:设 AD x, ADE

,作厶ADE 关于DE 的对称图形, A 的对称点 G 落在BC 上.在厶DGB

中，亠

sin

3 sin(2 -)

■ 3 2si n(2 -)

当sin(2 1 x 1 x 2

a 解：由可知，可设两直线的交点为

(x 0,

3)

1

时，即 x min 2 3 3.

、解答题〔此题总分值60分，每题20分.解承诺写出文字讲明，证明过程或演算步骤. 〕

又因为ABP 为等腰直角三角形，因此有 AB=AP ,

代入椭圆方程，即得动点 P 的轨迹方程(x 6) ( y 6) 1。 ...... 〔 20分〕

9 25 解法二： 设B(X 1,y 1),P(x,y), AB r ，那么以A 为圆心，r 为半径的圆的参数方程为

x 6 rcos y r sin

6 r cos

, ............ 〔10 分〕

y 1 r sin

6 r sin r cos

〔15 分〕

此即为P 点的轨迹方程.

2 2 x y

13 .椭圆 C : —2 2 1〔 a a b 4 25

b 0〕，其离心率为-，两准线之间的距离为 25。〔 1〕求a,b 之

5

2 值；〔2〕设点A 坐标为(6, 0), A , B , P 按顺时针方向排列〕， B 为椭圆C 上的动点，以A 为直角顶点，作等腰直角△ ABP 〔字母 求P 点的轨迹方程。

解：〔1〕设c 为椭圆的焦半径，那么 - -,— a 5 c 25 4

〔5分〕 因此有a = 5, b = 3.

〔2〕解法一：设B 点坐标为(s,t) , P 点坐标为 (x, y).因此有

因为A B

AB (s 6, t ), AP (x 6, y)。

，因此有(s 6, t)(x 6, y) (s 6)(x 6) ty (A1 )

由〔A1丨推出s 从而有y 2 (s 6)2 t 2 (x 2

6),即 s 6 6) (s 2 2

6)2龄 ，代入 〔不合题意，舍去〕或

(A2 ) 〔A2〕， 〔10 分〕

得 t 2 (x 6)2

〔15 分〕 设AB 与x 轴正方向夹角为 ,B 点的参数表示为

x 6 0 r cos(90 ) x

P 点的参数表示为 '，即 y rsi n( 90 ) y

从上面两式，得到 X 1 6 y

y 1 x 6

又由于B 点在椭圆上，可得 (X 6)2 (y 6)2 1

25 〔20 分〕

1 解：设非负等差数列

a n 的首项为a 0 ,公差为d 0 .

14.求解不等式.x 2 a

解：〔I 〔1〕 因此 〔2〕 现在有 〔II

〕

因此 〔4

〕 因此 综合 x 1

1

。 〕x 1情形.现在不等式为 ,x 2

a x 2 .因此有 x 2 a x 2 0时, a 1时，有1 x 当a 0时, 2 ;当0 当a 4时，空集. a 1时，有x 2 ;

x 1情形.现在不等式为x 2 a 因此有 〔5分〕

当1 a 4时，有x 2 ;当a 4时，

〔 10 分〕

.x

x 2

x 2 当a 1〕一 0时，有0 a 0 「

0 a 0时， 〔4〕可得 2

x x 2

x

0时，有x R ;当0 15?设非负等差数列 a n 〔1〕假设 m,n,

p

〔2〕假设

a 503

的公差 x 2

a 0时, 4时，有

1时，有 a x 1 ；当a 1时，空集.

空集. d 0，记S n 为数列 ，且m n 2p ，那么丄

2007

1

1005,那么 n1S 2008

。

〔15 分〕

a n 1 S n

a

4时，x 1.…〔20分〕

4

的前n 项和，证明:

2 S p ;

〔1〕因为 m n 2p ，因此 m 2 n 2 2p 2, p 2

mn

, a

m a

n

2a p

-

事实上，A

1 2 2008

102007 1 102006 2 III 10 2007

2008 )

2008 1

102007 2

1 02006 3 III 10 2008

〔10 分〕

从而有(a p ) a m ?n . 因为S n

―吨 n&

，因此有

2 2

n(n 1) m(m 1), S n S m (m n)a i

d 2 2

n m 2p ,

2 pa

d

........

2

2

2pa 1 2p 22p d 2S p

n(a i a n )m(a i a m

) mn a 2

a(a a) aa

a 1

a i (a m a n ) a m a n

2 2 4

2007

1

2007 2007

—

1005 2008. ............................

.............. 〔 20分〕

n 1 S n

S

I004

1004

四、附加题〔本大题总分值 50分?解承诺写出文字讲明，证明过程或演算步骤.

选考B 卷的学生

选做本大题，不计入总分.〕

16 ?设1, 2,|||, 2008为2018个整数，且1 i 9〔i 1,2^1,2008丨.假如存在某个

k {1,2,川,2008}，使得2018位数k k ；||| 2008 1川k 1被101整除，试证明：对一切

i i 1川2008 1川i 1均能被

101

整除?

〔5分〕

S n S m

2

p 4

2 a

1

2qa p

a p a p

2

P@1 a p )

2

2

S p

因此

1

S m

1 S m &

2S p 2 S n S m S

n

S p S p S p

〔10 分〕

2007

1

1 1

1 1

〔2 ]

n1 S n

S 1

S

2007

S ?

S 2006

2*1003 1 2007

S 1004

S 1004

IO

1 1

S 003

S 1005

1

S 004

〔15 分〕

又因为 S 1004 1004a 1

10042003d

1004( a 1 502d)

1004 a 503

1004 1005

，因此有

i {1,2j||,2008} , 2018 位数

解：依照条件，不妨设

k = 1, 即卩2018位数1

2008被101整除，只要能证明 2018位数

2008 1能被101整除.

〔5分〕

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ivaq.html