2011年苏州市中考数学专题复习指导

2011年苏州市数学中考 复习专题指导 苏州市教育科学研究院 主编：陈兆华 殷容仪 编撰人员： 丁银杰 朱建军 李强 杨文 沈健 陈凤霞 陈伟华 柏黎平 赵大男 徐解清 高建东 龚辉 2010-11-28 －第1页，共29页－ 目录

一．数式运算、因式分解、分式、数的开方 ................................................ 2 二．方程（组）、不等式（组）及其应用 ...................................................... 9 三．函数及其应用 .......................................................................................... 19 四．图形与图形的变换 ..................................................错误！未定义书签。 五．三角形及其全等、相似 ..........................................错误！未定义书签。 六．四边形 ......................................................................错误！未定义书签。 七．解直角三角形 ..........................................................错误！未定义书签。 八．圆 ..............................................................................错误！未定义书签。 九．概率与统计 ..............................................................错误！未定义书签。 初三数学复习方法指导 ..................................................错误！未定义书签。 专题一 运动型问题 ......................................................错误！未定义书签。 专题二 探究性问题 ......................................................错误！未定义书签。 专题三 应用性问题 ......................................................错误！未定义书签。

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一．数式运算、因式分解、分式、数的开方

杨文 园区星港学校

【近四年江苏省十三大市中考数式运算、因式分解、分式、数的开方的分值与比率】(仅供参考)

南京市 苏州市 无锡市 常州市 镇江市 扬州市 泰州市 南通市 盐城市 淮安市 宿迁市 徐州市 连云港市 合计 平均

【课标要求】 1．因式分解

(1)了解因式分解的意义，了解因式分解与整式乘法的联系与区别． (2)掌握因式分解的基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法． (3)巧用运用因式分解求代数式的值． 2．分式

(1)了解分式、有理式、最简分式、最简公分母的概念． (2)掌握并运用分式的基本性质、约分、通分．

(3)掌握分式的加、减、乘、除、乘方的运算法则及其混合运算(化简、求值)． 3．数的开方

(1)理解平方根、算术平方根、立方根的意义．会用根号表示数的平方根、立方根． (2)掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念；掌握二次根式的性质．

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2007年 分值(分) 10 12 11 5 9 4 9 6 9 17 12 2 7 113 9.42 比率(%) 8.33 9.60 8.46 4.17 7.50 2.67 6.00 4.00 6.00 11.33 8.00 1.33 4.67 6.84 2008年 分值(分) 5 11 15 7 12 15 9 8 11 8 16 5 15 137 11.42 比率(%) 4.17 8.46 11.54 5.83 10.00 10.00 6.00 5.33 7.33 5.33 10.67 3.33 10.00 8.17 2010年 分值(分) 比率(%) 12 14 12 10 9 10 5 14 13 10 3 6 13 131 10.08 10.00 9.33 9.23 8.33 7.50 6.67 3.33 9.33 8.67 6.67 2.00 5.00 8.67 7.29 【09年江苏省中考数学为全省统一命题，分值为8分，比率约为5.33%】

(3)熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，要求掌握分母为一项或两项的无理式

的分母有理化，会用它们进行有关实数的简单四则运算． 【课时分布】

本单元在第一轮复习时大约需要4个课时，下表为内容及课时安排(仅供参考)．

课时数 １ 1 1 1 【知识回顾】 1． 知识脉络

2．基础知识

(1)因式分解：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式． (2)因式分解的常用方法：

①提公因式法：ma?mb?mc?m(a?b?c)． ②公式法：a?b?(a?b)(a?b)，

a?2ab?b?(a?b)，a?b?(a?b)(a?ab?b)（补充）

22222内 容 因式分解 分式 二次根式 单元测试与评析 提公因式法 实 际 问 题 平方根 数的开方 立方根 约分 分式 分式的基本性质 通分 分式的加减 因式分解 公式法 十字相乘法 分式的乘除 二次根式 化简 计算 3322③十字相乘法：（补充） (3)分式的概念：

①形如

AB(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式；

整式和分式统称为有理式；

②分式有意义的条件：分母不为零。如果分母为零，分式就没有意义．

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分式的值等于零的条件：分子等于零并且分母不为零． (4)分式的基本性质：

AB?A?MB?M,AB?A?MB?M(其中M是不为零的整式)．利用分式的基

本性质进行分式的约分和通分．

(5)分式的运算：分式的运算和分数的运算相仿． (6)平方根与立方根：

如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，记作±a．正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根是0；负数没有平方根.正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0．非负数a的算术平方根记作a．

如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，记作3a．

(7)二次根式的概念：

①形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．

②最简二次根式：一个二次根式的被开方数的因数是整数，因式是整式且被开方数中不含能开方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式．

③同类二次根式：当二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．

④把分母中的根号化去，叫做分母有理化．常用方法： 1a?1?a??aa?aa (a＞0).

1a?b1?(a?(a?b)(b)a?b)?a?a?bb ( a＞0,b＞0,a≠b) .

(8)二次根式的性质：

a≥0(a≥0)；(a)2＝a(a≥0)；a2＝a；

ab＝a2b(a≥0，b≥0)；

ab＝

ab(a≥0，b＞0)．

(9)二次根式的运算:二次根式的加减法只需对同类二次根式进行合并．

二次根式的乘除法是二次根式性质的逆向运用． 二次根式运算结果必须要化为最简二次根式．

3．能力要求

例1 把下列各式分解因式：

(1)m?4m； (2)8x?y (3)2x?8xy?8xy； (4)3x?3x?6

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3223332

(5)xy2?2xy?2y?4

【分析】因式分解的一般思维方法是：先看是否有公因式可提，再看能否用公式，二次三项式一般可以考虑用十字相乘法，对于项数为四项或四项以上的，考虑用分组分解法． 【解】(1)原式＝m?m2?4?＝m?m?2??m?2?．

(2)原式＝?2x??y3＝?2x?y??4x2?2xy?y2?．

3(3)原式＝2x?x2?4xy?4y2?＝2x?x?2y?．

2(4)原式＝3?x2?x?2?＝3?x?2??x?1?.

(5)原式＝?xy2?2xy???2y?4?＝xy?y?2??2?y?2?

＝?y?2??xy?2?．

【说明】因式分解时要注意以下几点:

① 提公因式的关键是找出公因式(即多项式中各项系数的最大公约数与各项相同因式的最低次幂的积)，公因式可以是单项式，也可以是多项式；当多项式中某一项是公因式时，提取后还有因数1留下防止漏项；

② 运用公式的关键是熟悉公式的结构特点，了解公式中a、b的广泛含义，才能准确、迅速解题；

③ 二次三项式一般考虑十字相乘法；

④ 对学有余力的同学可以拓展：运用分组分解法的原则是：分组后，组内有公因式可提或能用公式或十字相乘，然后组与组之间又可以有公因式可提或能用公式或十字相乘； ⑤ 因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止．

例2 (1) 要使分式

22xx?3有意义，则x须满足的条件为 ．

(2) 若分式

b?1b?2b?32的值为0，则b的值是 ．

(3)要使二次根式a?1在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是 . (4) 要使式子

a?1a?1在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是 .

【分析】(1)分母不为零时，分式有意义．

(2)分式的值为零，必须满足分子为零，分母不为零． (3)二次根式有意义,被开方数不小于0.

(4)二次根式有意义,被开方数不小于0；分母不为零时，分式有意义．

【解】(1)x?3．

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(2)∵b2?1?0且b2?2b?3?0， ∴ b?1． (3) ∵a?1≥0, ∴a≥?1.

(4)∵a?1≥0, ∴a≥?1；∵a?1?0 ，∴a?1.∴a≥?1且a?1.

【说明】(1)、(2)题：分式的分母不为零时，分式有意义；特别是分式为零时，分子为零而忽略分母不为零的条件．第(3)题二次根式a，不要忘记a≥0的条件．第（4）题不要忘了分母不为零的条件．

例3 (1)化简：(a?aa?1)?a?2aa?4522?a?1a?3a?22．

(2)先化简，再求值：?x?2???x?3?，其中x???x?2?2x?422?3．

2a?1?1?a?（3）先化简：?a?，然后给a选择一个你喜欢的数代入求值． ??2a?a?a?【分析】在进行分式的加减乘除混合运算中，要注意运算顺序，先算乘除、再算加减，有括号先算括号里面的．对于分子、分母是多项式的分式，应先把分子、分母因式分解，然后再约分化简;分式的化简求值，需先将所给分式按计算的方法进行化简，再把条件代入求值，有时可能对条件也要化简．

a?a?a(a?2)(a?2)a?1a【解】(1)原式＝． ???a?1a(a?2)(a?1)(a?2)a?1x?4?5x?222(2)原式＝?x?32?x?2?＝

?x?3??x?3?x?2?2?x?2?x?3=2?x?3?，

∴当x? （3）原式＝

2?3时，原式＝22 a?2a?1a2?1?a22a?a＝

?a?1?2a?a?a?1??1?a??1?a?=1?a

（a取?1，1，0以外的任何数，计算正确均可得分）

【说明】分式的计算(或化简)主要依据分式的约分和通分，运算时要注意观察式子的特点，灵活运用运算法则，防止盲目繁琐的运算；若分式的分子、分母是多项式时，可考虑先进行因式分解．分式的计算是考查学生因式分解、通分、约分等运算能力的经典题型，是中考的重要题型之一，复习中要重视．

例4 已知y?x?2，x?3y??1，则x?4xy?3y的值为 ········( ) A．?1

B．2

C．?3

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22D．?4

【分析】可以解方程组求出x、y的值，再求代数式的值．如果能发现所求代数式可以因式分解，再整体代入则更为简单．

【解】x2?4xy?3y2＝(x?y)(x?3y)＝(?2)3(?1)＝2， 故选B．

【说明】代数式求值问题条件多样、形式多样、技巧性较强，因此解题时需要同学们有扎实的基础、敏锐的观察力、灵活善变的思维和过硬的计算能力．本题主要考查运用因式分解进行变形，再进行求值，要求学生能够巧用因式分解来解题．

例5 (1)在二次根式①12，②23，③

23，④27中与3是同类二次根式的是

···············································································································( )．

A．①③ (2) 化简：18?92B．②③

?3?360C．①④

?(3?2)?(1?2)．

2D．③④

【分析】(1)解答本题的关鍵是能正确化简题中的四个二次根式，然后根据被开方数是否相同来选择与3是否为同类二次根式．

(2)二次根式的混合运算要注意运算的顺序及化简的法则．

【解】(1)∵12?23,23?22,23?136,27?33．

∴与3是同类二次根式的是①④，故答案选项C．

923232(2) 解：18??3?32?(1?2?1?6?(3?2)?0(1?2)

2?32??32?2)?1?|1?2?1?2|

2?1?322?1

【说明】最简二次根式、同类二次根式是本节内容两个重要概念，正确理解这两个概念，是进行二次根式加减运算的前提，因此在总复习时，应加强二次根式的化简的习题训练．

例６ (1) 先化简，再求值：

a?1a?111?222?a?2a?1a?a322,其中a?12?3．

(2)已知a?11?2,b?，求代数式ab?ab的值．

3【分析】(1)化简本题时可先利用公式a分母因式分解约分化简．

?|a|??a(a?0)来化去根号，然后通过分子、

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(2)由于a、b均为可化简的二次根式，应先将a、b进行化简。而多项式的次数较高，

且可以因式分解，因此，容易想到转化的思想方法，把比较复杂的计算问题简单化． 【解】(1)∵a?12?3?2?3,1a?2?3,∴a?1?1?3?0,

∴原式＝

(a?1)(a?1)a?1?|a?1|a(a?1)11?2?a?1?(a?1)a(a?1)11?2?a?1a?1?4?1?5

(2)∵a???1?2,b???1?2，

∴a?b??2,ab??1，

∴a3b?ab3?ab(a2?b2)?ab[(a?b)2?2ab]??(4?2)??6．

【说明】(1)本题是分式和二次根式的综合计算问题，难点是要判断a-1的正负性．另外，值得注意的是化简结果a?1a?1后求值的方法，告诫学生不要用通分这种繁琐的方法去求值．

(2)本题考查学生数学方法是：分母有理化、因式分解、配方法；运用数学思想是：转化思想、整体思想．教师在复习时要适量地进行有关数学思想和数学方法的渗透. 【复习建议】

1．复习概念时不要死记硬背，要抓住概念中的关键词语，并对相近概念进行辨析，如二次根式与最简二次根式，这样有利于由此及彼的掌握概念，加深理解的效果，以达到巩固概念的目的．

2．复习性质、公式、法则时，要注意运用的条件，并重视对典型例题的变式训练，熟练掌握运算方法，培养学生的观察能力，提高运算能力和解题技巧；并注意知识间的联系，如分式、二次根式的计算或化简时常常用到因式分解,例如：对例3、4中代数式的处理. 3．对于立方和(差)公式、十字相乘法、分母有理化等补充内容，要求学生掌握和简单应用，但不必加深．

4．数学思想方法：(1)转化思想，如例6；(2)整体思想，如例4、例6．

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二．方程（组）、不等式（组）及其应用

沈健 吴江市同里中学

【近四年江苏省十三大市中考方程(组)、不等式（组）及其应用的分值与比率】(仅供参考)

南京市 苏州市 无锡市 常州市 镇江市 扬州市 泰州市 南通市 盐城市 淮安市 宿迁市 徐州市 连云港市 合计 平均 2007年 分值(分) 20 17 19 17 17 17 10 16 11 22 22 14 24 226 18．84 2008年 2010年 比率(%) 13．33 20．00 13．85 16．67 12．50 16．00 13．33 20．67 14．00 16．00 20．67 10．83 18．00 17．14 比率(%) 分值(分) 16．67 13．60 14．62 14．17 14．17 11．33 6．67 10．67 7．33 14．67 14．67 9．33 16．00 13．55 19 17 18 18 21 21 34 20 7 22 12 17 16 242 20．17 比率(%) 分值(分) 15．83 13．08 13．85 15．00 17．50 14．00 22．67 13．33 4．67 14．67 8．00 11．33 10．67 14．51 16 26 18 20 15 24 20 31 21 24 31 13 27 286 23．83 【09年江苏省中考数学为全省统一命题，分值为20分，比率为13．33%】

（一）方程（组）及其应用 【课标要求】

1．能够根据具体问题中的数量关系，列出方程(组)，解决简单的问题，体会方程(组)是刻画现实世界的一个有效的数学模型．

2．经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程．

3．会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程(方程中分式不超过两个)、*可化为一元二次方程的分式方程、*简单的三元一次方程组、*简单的二元二次方程组(一个二元一次方程和一个二元二次方程组成)．

4．理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程． 5．*掌握一元二次方程的根的判别式及一元二次方程的根与系数的关系． 6．能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．

【课时分布】

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方程(组)及其应用这一部分在第一轮复习时大约需要5个课时，下表为内容及课时安排(仅供参考) 课时数 1 １ １ 2 内 容 一元一次方程、二元(三元)一次方程组、分式方程 一元二次方程、分式方程(换元法)、二元二次方程组 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 方程(组)的应用、方程(组)单元测试 【知识回顾】 1．知识脉络

一元一次方程 实际问题 方 程 一元二次方程 二元一次方程 二元一次方程组 三元一次方程组 方程组的应用 () 分 式 方 程 2．基础知识 (1)方程的有关概念

含有未知数的等式叫做方程．能使方程两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．只含有一个未知数的方程的解，也叫做根．求方程的解的过程叫做解方程． (2)一元一次方程

①只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax?b?0?a?0?．

②一元一次方程的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． (3)二元一次方程(组)

①含有两个未知数，且未知项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程．

②含有两个未知数，且未知项的次数都是1，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做二元一次方程组．方程组里各个方程的公共解叫做这个方程组的解．求方程组的解的过程叫做解方程组．

③二元一次方程组解法：基本思想是消元，基本方法是代入消元法、加减消元法． *(4)三元一次方程(组)

①含有三个未知数，且未知项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程． ②含有三个未知数，且未知项的次数都是1，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做三元一次方程组．

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③三元一次方程组的解法：基本思想是消元，通过消元把三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程，基本方法是代入消元法和加减消元法． (5)一元二次方程

①只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．它的一般形式为ax2?bx?c?0(a?0)，其中ax2,bx分别叫做二次项，一次项；a,b,c分别叫做二次项系数，一次项系数，常数项．

②一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法． ③一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的根的判别式(??b2?4ac)，当??0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当??0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当??0时，一元二次方程没有实数根．以上结论，反之亦成立．注：当?≥０时，一元二次方程有两个实数根．

*④一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程ax2?bx?c?0(a,b,c是已知数，

a?0)的两根为x1、x2，则x1?x2??ba,x1?x2?ca．

(6)分式方程

①分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

②分式方程的解法：其基本思想是将分式方程转化为整式方程，其方法是运用等式性质在方程两边同乘以最简公分母．解分式方程必须要验根．有时也可采用换元法． *(7)二元二次方程(组)

①含有两个未知数，且未知项的最高次数是２的整式方程叫做二元二次方程． ②含有两个未知数，且未知项的最高次数是２，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做二元二次方程组．

③二元二次方程组的解法：基本思想是消元和降次，基本方法是代入消元法和加减消元法．

(8)列方程(组)解应用题的一般步骤

①审清题意，找出等量关系；②设未知数；③列出方程(组)；④解方程(组)； ⑤检验方程(组)的根；⑥作答．

（二）不等式（组）及其应用 【课标要求】

1．能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质． 2．会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集．会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集．

3．能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题．

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【课时分布】

不等式（组）部分在第一轮复习时大约需要3个课时． 下表为内容及课时安排（仅供参考）． 课时数 １ 2

【知识回顾】

内 容 不等式的基本性质、不等式（组）的解法 不等式（组）的应用、不等式（组）单元测试与评析 1.知识脉络

不等式的性质 实 际问题不等式（组） 一元一次不等式 一元一次不等式组 不等式组的应用

(2.基础知识

⑴不等式的有关概念

①用不等号表示不等关系的式子叫做不等式． ②使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．

③一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集． ④求不等式的解集的过程，叫做解不等式． ⑵不等式的性质 ①不等式的性质1

不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号方向不变． 如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，a－c＞b－c． ②不等式的性质2

不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号方向不变． 如果a＞b，并且c＞0，那么ac＞bc．

③不等式的性质3

不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号方向改变． 如果a＞b，并且c＜0，那么ac＜bc． ⑶一元一次不等式

①只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的最高次数是1．像这样的不等式叫做一元一次不等式．

②解一元一次不等式的方法与解一元一次方程的方法类似,基本步骤是:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．特别要注意当系数化为1时,不等式两边同乘以（或

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) 除以）同一个负数,不等号的方向必须改变．

③一元一次不等式的解集在数轴上直观表示如下图:

aaaax＜a x＞a x≤a x≥a

数轴上表示解集时,要注意“空心圈”和“实心点”的区别． ⑷一元一次不等式组

①几个未知数相同的一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组． ②解一元一次不等式组，通常可以先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出解集的公共部分． ③由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集在数轴上直观表示有四种情况:若a

a a b b x?a,x?a,??③’?的解集是a?x?b，如下图：④’?无解，如下图：

x?b.x?b.???x?a,?x?b.?x?a,?x?b.的解集是x?b，如下图： ②’?的解集是x?a，如下图：

a b a b ⑸由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集有如下规律: 同大取大；同小取

小；大小小大取中间；大大小小题无解．

⑹不等式(组)的应用

解不等式(组)在实际问题中的应用，关键是使学生能从实际问题中抽象出数量关系，列出不等式（组），建立不等式模型，通过转化为纯数学问题来解决实际应用问题．在列不等式时还要密切关注题中的不等关系，如“至少”，“至多”，“不大于”，“不小于”等等． 3．能力要求

例1 解下列方程(组)、不等式（组）： (1)x2?6x?16； (2)

xx?2?2?3(x?2)x；

?x?3(x?1)≤7， ①?x?y?1?0, ①?(3) ? * (4) ?2?5x21??x. ②?y?x?2x?1. ②?3?

【分析】(1)本题有配方法、因式分解法、公式法等多种解法，选用因式分解法较为适宜；(2)直接去分母，可以化为整式方程，但通过观察方程结构特点，采用换元法较为简便；(3) 解一元一次不等式组要先分别求出每个不等式的解集，再找出它们的公共部分．不等式①中，去括号、移项合并同类项，当系数化为1时要注意不等号方向要改变；不等式②中，去分母时要注意每一项都要乘以3，不要漏乘；（4）该二元二次方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成，一般用代入消元法，本题的几何意义是求抛物线与直线的交点坐标． 【解】(1)x2?6x?16?0，∴(x?8)(x?2)?0,∴x1?8,x2??2．

－第13页，共29页－

(2)设y=

xx?2，则原方程可化为：y?2?xx3y，去分母整理得：y2?2y?3?0， 解得：

， ∴?3或??1， ∴x1?3,x2?1，经检验：x1?3,x2?1是y1?3,y2??1x?2x?2原方程的根．

(3) 解不等式①，得x??2.

解不等式②，得x??1.

2在同一条数轴上表示不等式①、②的解集，如图2-1.

-3-2-1-1201图2-12

∴原不等式组的解集是?2?x??（4）由①，得x?y?1.③

12.

把③代入②，得y?(y?1)2?2(y?1)?1，即y2?y?2?0. 解得 y1?2，y2??1.

当y1?2时，x1?3；当y2??1，x2?0. ∴原方程组的解是??x1?3,?y1?2; ??x2?0,?y2??1.

【说明】(1)解分式方程的关键在于确定最简公分母转化为整式方程，由于可能产生增根，所以必须检验；(2)在解方程(组)时，若能先观察方程(组)的结构特征，运用整体代入、换元等数学思想方法可以使解题简便．

例2 （1）关于x的方程

2x?ax?1＝1的解是正数，则a的取值范围是（ ）

A.a＞－1 B.a＞－1且a≠0 C.a＜－1 D.a＜－1且a≠－2 (2) 已知关于x的不等式组??x?a≥0，?5?2x?1只有四个整数解，则实数a的取值范围是＿＿.

【分析】(1)若将字母a看作是一个常数，那么就可以按照解一般的解分式方程步骤进行，只是在求得其解以后，不能忘记：一是必须检验，保证不是增根，即x≠1，二是解是正数，

－第14页，共29页－

对此要进行讨论.（2）考虑关于x的不等式组?式的解集，再利用数轴帮助确定a的取值范围.

?x?a≥0，?5?2x?1只有四个整数解，可先求出不等

【解】（1）去分母，得2x+a＝x－1，解得x＝－1－a，

因为方程的解是正数，所以－1－a＞0，解得a＜－1， 又因为x－1≠0，即x≠1，所以－1－a≠1，解得a≠－2， 综上，a的取值范围是a＜－1且a≠－2.故应选D.

?x≥a，(2) 解不等式，得?因为该不等式组有解，所以该不等式组解集为

x?2.?a≤x＜2.

因为只有四个整数解，所以此解集可在数轴表示如2-2，

所以由数轴可得实数a的取值范围是－3＜a≤－2. 【说明】（1）既属于分式方程，也属于含有字母系数的

-3 -2 -1 0 1 2 3 图

图2-2 方

程，求解时除了要检验外，还要注意对字母的范围加以讨论，否则容易出现错误；（2）发挥了数轴的作用，才得以使求解的难度降下来，事实上，利用数轴，也易于理解，避免错误.

例3 关于x的方程kx2+(k+2)x+（1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

【分析】（1）利用根的判别式列式即求，但应注意题中的隐含条件；（2）若存在，则可依题意，并利用一元二次方程根与系数的关系，构造出方程求得k，此时，利用根的判别式加以验证，若能满足其大于等于0，即存在，否则就不存在. 【解】（1）因为关于x的方程kx2+(k+2)x+

所以Δ＝(k+2)2－4k3

k4k4k4＝0有两个不相等的实数根.

＝0有两个不相等的实数根，

＞0，且k≠0，解得k＞－1，且k≠0，

所以k的取值范围是k＞－1，且k≠0. （2）不存在符合条件的实数k. 理由：设方程kx2+(k+2)x+

k4＝0的两根分别为x1、x2，

k?2k14由根与系数关系，得x1+x2＝－

k?2k，x1·x2＝

，又

1x1+

1x2＝0，

则有－＝0，解得k＝－2.由（1）知，k＝－2时，Δ＜0，即原方程无实解.

所以不存在符合条件的k的值.

－第15页，共29页－

【说明】本题是一道一元二次方程根的判别式及根与系数关系的综合应用题，求解时必须灵活运用两者的关系.

例4 （1）将一批重490吨的货物分配给甲、乙两船运输，现甲、乙两船已分别运走共任务数的

5737，，在已运走的货物中，甲船比乙船多运30吨，求分配给甲、乙两船的任

务数各是多少吨？

（2）自编一道应用题，要求如下： ①是路程应用题.三个数据100，②只要编题，不必解答.

【分析】（1）弄清题意，找出甲、乙两船共运输的货物、已运走的货物之间的数量关系，列出相应方程（组）；（2）提供三个数据，根据路程问题中的路程、时间、速度三者关系编拟应用题.

【解】（1）设分配给甲船的任务数是x吨，分配给乙船的任务数是y吨，则

?x?y?490,?x?210,? 解之得 ?3?5y?280.x?y?30.??7?725，

15必须全部用到，不添加其他数据.

（2）已知甲、乙两人走的路程之和为100km，且甲走的路程的甲、乙两人各走了多少千米？（答案不唯一，符合题意即可）

25等于乙走的路程的

15，求

【说明】本题集常规应用题与创新题的特点于一身，体现了传统与时尚的统一.（1）要求能找出等量关系，列出方程（组）求解；（2）让学生自行编题，考查学生的逆向思维，对学生提出了较高要求，需一定的分析和应变能力，但学生可发挥的空间较大，体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”的新理程理念.

例5 已知：关于x的一元二次方程mx2?(3m?2)x?2m?2?0(m?0)． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1?x2）．若y是关于m的函数，且

y?x2?2x1，求这个函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤2m．

【分析】（1）只需说明△>0，但要说清理由，注意书写格式；（2）利用因式分解法或公式法解一元二次方程，判断两根大小，从而建立函数关系式；（3）画出函数图像，找出交点，求出m 的取值范围.

【解】 ⑴ ?mx2?(3m?2)x?2m?2?0是关于x的一元二次方程，

?3 ??[?(m2 ?2)]m?4m(2?m2?)m?24?m．? 4(?2)－第16页，共29页－

?当m?0时，(m?2)2?0，即??0．?方程有两个不相等的实数根．

x? ⑵ 解：由求根公式，得

2m2m?2m(3m?2)?(m?2)． y 4 3 2 1 y?2m(m?0) 2m ?x?或x?1．

2m?2m?2(m?1)m?1．

y?(m?0) m ?m?0，? ?x1?x2，

?x1?1，x2?2m?2m．

?2?1?2m-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 图2-3 ．

?y?x2?2x1? 即y?2m(m?0)2m?2m为所求．

⑶ 在同一平面直角坐标系中分别画出 y?2m(m?0与)y?2m(m?0)的图象．如图

2-3.

由图象可得，当m≥1时，y≤2m．

【说明】本题是一道代数综合题，综合了一元二次方程、一次函数、反比例函数，用函数的观点看不等式等知识.对考生要求较高，体现了数形结合、转化等数学思想.

例6 如图2-4，已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E在AC上．(E与A、C均不重合)

(1)若点F在AB上，且EF平分Rt△ABC的周长，设AE= x，用含x的代数式表示S?AEF，并写出x的取值范围；

(2)若点F在折线ABC上移动，试问是否存在直线EF将Rt△ABC的周长与面积同时平分，若存在直线EF，则求出AE的长；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）作出三角形的高，根据条件，利用相似用含x的代数式表示相关线段；（2）分情况讨论，列方程，但应考虑周全，舍去不符合题意的解. 【解】（1）过F作FH⊥AC于H .

在 Rt△ABC中，AC = 3， BC = 4，∴AB = 5， ∴△ABC的周长为3 + 4 +5 =12.

∵EF平分△ABC的周长，且AE = x ，∴AF = 6 － x . ∵FH∥BC，∴△AFH∽△ABC， ∴

FHBC?AFAB455142212??x?(6?x)??x?x(0?x?3)； 2555－第17页，共29页－

H，

FH?6?x，FH?4(6?x)，

∴S?AEF（2）若点F在AB上，则S?AEF=?6?2666?2625x?2125x=3，

解得 x1?，x2?，因为0?x?3，

图2-4 所以x?6?2；

1若点F在BC上，则（3?x)(3?x)?3，解得x1?2x1?3时，3+x?4，所以点F不在BC上.

， 3，x2??3（舍去）

答：点F在AB上，AE=

6?26.

【说明】本题结合几何知识考察一元二次方程相关知识，根据题意建立方程，解题后必须考虑x的取值是否符合相关几何图形的条件.渗透透数形结合、分类讨论等数学思想和方法，把一元二次方程、二次函数、相似三角形等知识有机融合，具有较强的综合性．

【复习建议】

1．正确理解课标要求，通过复习使学生进一步理解和掌握解方程(组)、不等式（组）的基本方法、基本技能，掌握重点、突破难点、注意易错点，提高基本运算能力．感悟方程(组)与不等式（组）之间的联系．解不等式组时要注意数形结合思想的应用，培养学生养成结合数轴求解集的习惯.[见例1、例2]

2．列方程(组)、不等式（组）解实际问题的关键是如何找到能够表示题目全部含义的数量关系，考查学生收集和处理信息的能力．在复习时要注意联系社会关注的热点问题的应用题，重视情境问题的分析，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，逐步培养数学建模能力．[见例4]

3．加强方程(组)、不等式、函数和几何知识的综合运用训练，做到有关知识点的相互联系和融会贯通．[见例5、例6]

4．复习中要注重渗透数形结合、转化，分类讨论等数学思想和方法，使学生在解题中体会其重要作用．[见例2（2）、例5、例6]

5．根据实际情况，对课标以外的内容作适当的补充和加强．［见例1(4)、例3］

－第18页，共29页－

三．函数及其应用

李强 昆山市兵希中学

【近四年江苏省十三大市中考函数及其应用的分值与比率】(仅供参考)

南京市 苏州市 无锡市 常州市 镇江市 扬州市 泰州市 南通市 盐城市 淮安市 宿迁市 徐州市 连云港市 合计 平均 2007年 分值(分) 18 18 12 25 17 24 26 43 38 25 24 23 28 321 26.75 比率(%) 15.00 14.40 9.23 20.83 14.17 16.00 17.33 28.67 25.33 16.67 16.00 15.33 18.67 18.97 2008年 分值(分) 23 25 11 18 20 26 25 46 31 15 27 25 28 320 26.67 比率(%) 19.17 19.23 8.46 15.00 16.67 17.33 16.67 30.67 20.67 10.00 18.00 16.67 18.67 18.93 2010年 分值(分) 31 26 34 33 34 36 45 44 21 37 38 31 38 448 34.46 比率(%) 25.83 20.00 26.15 27.50 28.33 24.00 30.00 29.33 14.00 24.67 25.33 25.83 25.33 24.62 注：【09年江苏省中考数学为全省统一命题，分值为37分，比率为24.7%】

【课标要求】

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律 2.函数

(1)通过简单实例，了解常量、变量的意义．

(2)能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例． (3)能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析．

(4)能确定函数(尤其是实际问题)中自变量的取值范围，并能根据自变量与函数值的对应关系求值．

(5)能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系． (6)结合对函数关系的分析，尝试对变量之间的变化规律进行初步预测． 3.一次函数

(1)结合实际问题体会一次函数的意义，归纳一次函数的一般形式. (2)理解正比例函数的意义及与一次函数的隶属关系．

－第19页，共29页－

(3)根据已知条件熟练运用待定系数法确定一次函数表达式．

(4)会利用描点法画一次函数的图象，根据一次函数的图象和解析式y＝kx＋b(k≠0)探索并理解其性质(k＞0或k＜0时，图象的变化情况)．

(5)能利用一次函数的图象求二元一次方程组的近似解． (6)能运用一次函数解决实际问题． 4.反比例函数

(1)结合具体情境体会反比例函数意义，归纳反比例函数的一般形式. (2)能由已知条件运用待定系数法确定反比例函数表达式． (3)能利用描点法画出反比例函数的图象，根据图象和解析式y?质(k＞0或k＜0时，图象的变化情况)． (4)能用反比例函数解决某些实际问题． 5.二次函数

(1)通过对实际问题情境的分析确定二次函数的一般表达式,并体会二次函数的意义． (2)会用描点法画出二次函数的图象，能利用函数的图象认识二次函数的性质． (3)会确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴并掌握图像的变化情况.

(4)能根据已知条件利用二次函数解析式的三种形式（一般式、顶点式、交点式）通过待定系数法确定函数关系式.

(5)能理解并掌握二次函数与二次方程、二次不等式的关系.

(6)能在实际问题中列出二次函数关系式并运用其性质解决简单的实际问题． (7)会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．

【课时分布】

函数部分在第一轮复习时大约需要9课时，下表为内容及课时安排(仅供参考)．

课时数 １ 1 １ １ 2 3

【知识回顾】 1．知识脉络

kx(k≠0)探索并理解其性

内 容 变量与函数、平面直角坐标系 一次函数的图象和性质 一次函数的应用 反比例函数的图象和性质及应用 二次函数的图象和性质 二次函数的应用 函数单元测试与评析 平面直角坐标系－第20页，共29页－ 一次函数的图象与性质 实际问题函数反比例函数图象与性质函数的应用

2.基础知识

(1)一次函数的函数关系式：y＝kx＋b (k、b是常数，k≠0) (2)一次函数的图象、性质

①当b＝0时，是正比例函数y＝kx (k是常数，k≠0)．图象是过原点的一条直线．当k＞0时，图象过第一、第三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象过第二、第四象限，y随x的增大而减小．

②当b≠0时，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是过点(0，b)的一条直线．当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小．图象经过的象限由k、b的符号决定． (3)反比例函数的解析式：y＝

kx (k≠0)

kx(4)反比例函数的图象、性质：反比例函数y＝ (k≠0)的图象是双曲线,当k＞0时，图象在

第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，图象在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． (5)二次函数的解析式

① 一般式：y＝ax2＋bx＋c (a≠0)，其中a，b，c是常数．

②顶点式：y＝a(x－h)2＋k (a≠0)，其中(h，k)是抛物线的顶点坐标．

③交点式：＝a(x－x1)(x－x2) (a≠0)，其中(x1，0)，(x2，0)是抛物线与x轴的交点坐标．(此解析式不具有一般性，通常将结果化为一般式)

(6)二次函数的图象：函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的图象是对称轴平行于y 轴的抛物线 (7)二次函数的性质：设y＝ax＋bx＋c (a≠0)

① 开口方向：当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下. ② 对称轴：直线x＝?③ 顶点坐标(?b2ab2a2

.

2，

4ac?b4a).

b2ab2a④ 增减性：若a＞0，则当x＜?而增大；若a＜0，则当x＜?而减小.

时，y随x的增大而减小；当x＞?时，y随x的增大而增大；当x＞?b2ab2a时，y随x的增大时，y随x的增大

⑤ 二次函数最大(小)值：（注意自变量的取值范围）.

－第21页，共29页－

若a＞0，则当x＝?若a＜0，则当x＝?3．能力要求

b2ab2a时，y最小值＝时，y最大值＝

4ac?b4a4ac?b4a2. ．

2例1 如图3-1，夜晚小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间的函数关系的图像大致为（ ） 【分析】本题考查利用图像

法来表示函数.要求学生先根据生活经验对图像进行定性分析：知道影子应先变短，再变长；再利用图形的相似对图像进行定量分析：确定y与x是成分段的一次函数关系，而非二次函数关系. 【解】选 A

【说明】本例以实际生活为背景，用分段函数来描述实际问题，在加强对函数图象的识图能力和分析问题能力的考查的同时，也引导同学们平时关注学科间相关知识的渗透．这样的题目，既突出了函数的基础性功能，又突出了它的应用性功能，对改进和完善中考数学命题具有积极的启示作用．复习时应加强学生对生活常识的积累和识图能力的培养.

例2 如图3-2，四边形OABC是面积为4的正方形，函数y?B.

kx 图3-1

?x?0?的图象经过点

(1)求k的值；

(2)将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻到正方形MABC′、NA′BC.设线段MC′、NA′与函数y?kx折，得分别段

求线?x?0?的图象交于点E、F，EF所在直线的解析式.

【分析】题（1）只需求出点B坐标，再利用待定法即可求出k的值，题（2）根据反比例函数解析翻折的性质求出点E、F的坐标，从而可得直线解析式. 【解】（1）∵四边形OABC是面积为4的正方形，

∴OA?OC?2. 2?. ∴点B坐标为?2，系数

图3-2

式及

∴k?xy?2?2?4.

－第22页，共29页－

（2）∵正方形MABC′、NA′BC由正方形OABC翻折所得， ∴ON?OM?2OA?4，

∴点E横坐标为4，点F纵坐标为4. ∵点E、F在函数y?4x的图像上，

1?. ∴当x?4时，y?1，即E?4，4?. 当y?4时，x?1，即F?1，?4m?n?1，?m?n?4.设直线EF解析式为y?mx?n，将E、F两点坐标代入，得?∴m??1，n?5.

∴直线EF的解析式为y??x?5.

【说明】本例是一道一次函数与反比例函数的综合题，这是中考最为常见的题型.复习时要求学生能根据图形的性质求出一些特殊点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式，进而再利用所求得的解析式或函数图像来解决一些问题.

例3 因南方早情严重，乙水库的蓄水量以每天相同的速度持续减少.为缓解旱情，北方甲水库立即以管道运输的方式予以支援.下图是两水库的蓄水量y（万米3）与时间x（天）之间的函数图象．在单位时间内，甲水库的放水量与乙水库的进水量相同（水在排放、接收以及输送过程中的损耗不计）．通过分析图象回答问题：

（1）甲水库每天的放水量是多少万立方米？ （2）在第几天时甲水库输出的水开始注入乙水此时乙水库的蓄水量为多少万立方米？ （3）求直线AD的函数解析式．

【分析】（1）根据图表信息即可得出，（2）根据图息求出线段AB的解析式，（3）根据在单位时间内，库的放水量与乙水库的进水量相同（水在排放、接及输送过程中的损耗不计）求出点D的坐标就可得AD的函数解析式。

【解】（1）甲水库每天的放水量为(3000－1000)÷5＝400（万米/天） （2）甲水库输出的水第10天时开始注入乙水库 设直线AB的解析式为：y＝kx＋b ∵B (0,800)，C (5,550)

?b?800??5k?b?5503

下列

库？

表信甲水

图3-3

收以直线

∴k＝－50 b＝800

－第23页，共29页－

∴直线AB的解析式为：yAB＝－50x＋800 当x＝10时，y＝300

∴此时乙水库的蓄水量为300（万米3）

（3）∵甲水库单位时间的放水量与乙水库单位时间的进水量相同且损耗不计

∴乙水库的进水时间为5天

∴乙水库15天后的蓄水量为：300＋(3000－1000) －50×5＝2050(万米) ∴A(0,300)，D(15,2050) 设直线AB的解析式为： y＝k1x＋b1

?10k1?b1?300 ∴k1＝350 b1＝－3200 ??15k1?b1?20503

∴直线AD的解析式为：yAD＝350x－3200

【说明】本题是有关图表信息的一次函数的实际应用，要求学生能够从已知条件和函数图象中获取有价值的信息，利用待定系数法确定函数关系式．教师复习时必须让学生认真“读清”题意，“读懂”图表，理清条件发生的过程和各个量之间的关系，增强学生自觉运用函数模型解决现实生活中数学问题的意识和能力．

例4 如图3-4，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y．

(1)求y关于x的函数关系式；

(2)若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值少？ (3)若y?多少？

12m是多

，要使△DEF为等腰三角形，m的值

图3-4

应为

【分析】⑴设法证明y与x这两条线段所在的两个三角形相似，由比例式建立y关于x的函数关系式；⑵将m的值代入⑴中的函数关系式，配方化成项点式后求最值；⑶逆向思考，当△DEF是等腰三角形，因为DE⊥EF，所以只能是EF=ED，再由⑴可得Rt△BFE≌Rt△CED，从而求出m的值. 【解】⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=Rt∠，

∴在Rt△BFE中， ∠1+∠BFE=90°，

又∵EF⊥DE ∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠BFE，∴Rt△BFE∽Rt△CED ∴

BFCE?BECD即

yx?8?xm∴y?28x?xm2

⑵当m=8时， y?8x?x8，化成顶点式: y??18?x?4?2?2，

∴当x=4时，y的值最大，最大值是2.

－第24页，共29页－

⑶由y?12m，及y?8x?xm2得x的方程: x2?8x?12?0，得， x1?2;x2?6，

∵△DEF中∠FED是直角，

∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED， 此时， Rt△BFE≌Rt△CED， ∴当EC=2时，m=CD=BE=6; 当EC=6时，m=CD=BE=2.

即m的值应为6或2时， △DEF是等腰三角形.

【说明】本题是一道函数与几何相结合的综合题，要求学生在几何图形中建立函数关系式，并能根据二次函数解决最值问题.复习时要让学生注意运用“相似法”、“面积法”与“勾股法”等建立有关等式，从而转化为函数关系式，然后利用函数的有关性质来解决问题.

例5 如图3-5，已知二次函数y?ax?4x?c的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得ABP的周长最小． 请求出点P的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法可求出二次函数的解析（2）要使△ABP的周长最小，只要PA?PB最小，利对称性，先在坐标系中作出点P的位置，然后再利用函数的解析式求出点P的坐标；

2??0?a?(?1)?4?(?1)?c,【解】（1）根据题意，得?2???5?a?0?4?0?c.2y A O x △

式，

B 用轴一次

图3-5

解得

?a?1, ?c??5.? ∴二次函数的表达式为y?x2?4x?5．

（2）令y=0，得二次函数y?x2?4x?5的图象与x轴的另一个交点坐标C（5, 0）.

由于AB?OA2?OB2?26，

A y O x=2 C x 所以要使△ABP的周长最小，只要PA?PB最小, 由于点A与点C关于对称轴x?2对称，连结

BC

交对称轴于点P，则PA?PB= BP+PC =BC，根据两点之间，线段最短，可得PA?PB的最小值为BC.

因而BC与对称轴x?b??5,?0?5k?b.P B ?2的交点P就是所求的点. 设直线BC的解析式为y?kx?b，根据题意， 可得? 解得??k?1,?b??5. .

图3-6

所以直线BC的解析式为y

?x?5－第25页，共29页－

因此直线BC与对称轴x?x?2,?2的交点坐标是方程组??y?x?5的解，解得??x?2,?y??3.

所求的点P的坐标为（2，-3）.

【说明】本题是一道利用待定系数法求函数解析式并次函数轴对称性相结合的常见综合题．复习时要求学熟练掌握待定系数法求函数的解析式，并能根据解析出某些特殊点的坐标．

例6 已知二次函数y所示，有下列5个结论： ①abc?0与二生能式求

?ax?bx?c(a?0)2的图像

图3-7

如图

②b?a?c ③4a?2b?c?0 ④2c?3b

（填序号）．

⑤

其中正确的结论有 a?b?m(am?b)(m?1的实数）【分析】利用抛物线开口向下、对称轴的位置、与y轴交点的位置分别判断a、b、c的符号，

4a?2b?c的符号，结合根据抛物线上的点(?1,a?b?c)、（2，4a?2b?c)的位置判断a?b?c、?b2a?1得出2c?3b，因为当x＝1的函数值y＝a＋b＋c是最大值，即a?b?c?am?bm?c2

(m?1的实数）,可知⑤成立.

【解】由图像可知a?0、b?0、c?0

当x＝－1时，y?a?b?c?0（＊） 当x＝2时，y?4a?2b?c?0 将?b2a?1代入（＊）式得出2c?3b2

y最大?a?b?c?am?bm?c(m≠1的实数)

∴正确的结论是③,④,⑤.

【说明】本例是一道利用函数图像来确定代数式取值范围的数形结合题，主要考查了二次函数的解析式y＝ax2＋bx＋c中a，b，c，对称轴x＝?b2a的位置与二次函数的图象的关系．通

常能够利用函数的图象确定符号的有：a，b，c，b2－4ac，a＋b＋c，a－b＋c，2a＋b等．同时根据系数的符号能确定抛物线的大致位置或经过的象限．复习时要让学生明确函数图像的位置与函数解析式中各字母及有关代数式的关系，学会“读”图，能利用函数图像来确定某些特殊代数式的取值范围、求方程解及不等式的解集等.

例7 如图3-8，四边形ABCO是平行边形，AB=4，OB=2，抛物线过A、B、C点，与x轴交于另一点D．一动点P以每个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A动，运动到点A停止，同时一动点Q从点

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四三秒1运D出

图3-8

发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止． （1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？

（3）当t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似？ 【分析】（1）小题在于求出点A、B、C的坐标，（2）小题需要把握动点的运动规律，用t的代数式表示出动点的运动路程，并通过分析得到四边形POQE是等腰梯形应满足的条件，（3）小题有较大的难度，要搞清以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似的各种情况，并能考虑到动点P可以运动到原点的左侧．

【解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OC=AB=4．

∴A（4，2），B（0，2），C（－4，0）．

∵抛物线y=ax+bx+c过点B，∴c=2．

1?a??,??16a?4b?2?0,?16由题意，有? 解得?

16a?4b?2?2.1??b?.??42

图3-7

∴所求抛物线的解析式为y??116x?2141x?2．

（2）将抛物线的解析式配方，得y??16?x?2?2?214．

∴抛物线的对称轴为x=2．∴D（8，0），E（2，2），F（2，0）．

欲使四边形POQE为等腰梯形，则有OP=QE．即BP=FQ． ∴t=6－3t，即t=

32．

（3）欲使以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，

∵∠PBO=∠BOQ=90°，∴有

BPOB?OQBO或

BPOB?BOOQ，即PB=OQ或OB2=PB2QO．

①若P、Q在y轴的同侧．当PB=OQ时，t=8－3t，∴t=2． 当OB2=PB2QO时 ，t(8－3t)=4，即3t2－8t+4=0． 解得t1?2，t2?23．

②若P、Q在y轴的异侧．当PB=OQ时，3t－8=t，∴t=4．

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当OB=PB2QO时，t(3t－8)=4，即3t－8t－4=0．解得t?22

4?273．

∵t=

4?273＜0．故舍去，∴t=

4?273．

综上所述，当t=2或t=

23或t=4或t=4?273秒时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、

B、O为顶点的三角形相似．

【说明】本题是函数与几何动点问题相结合的综合性考题．解决这类问题的关键是善于利用函数的解析式把图形中的一些特殊点求出，再用动点的运动时间t的代数式把相关线段的长表示出来，然后寻找到等量关系列出方程。这类题的难点在于要弄清运动过程中的几种不同情况，要做到不重复、不遗漏，这样才能完满地解决问题．复习时对基础较扎实的学生要加强动态意识的培养和“分类讨论思想”的渗透及训练．

【复习建议】

1.抓好双基，对学过的知识进行重新分析．加深对函数概念的理解，从解析式、图象、性质、确定关系式的方法及应用等多个方面对一次函数、反比例函数、二次函数进行对比复习，找出他们的共性和各自的特殊性，将知识系统化、规律化.复习时结合图像加强对相关性质与重要结论的理解与掌握，注重渗透“数形结合”的思想.

2.用待定系数法确定函数关系式是中考重点内容，引导学生从题目给出的图象、表格、图形等信息中挖掘已知条件,针对不同的条件进行强化训练．

3.加强一次函数、反比例函数、二次函数的联系，加强函数与方程、不等式、概率、几何等知识的联系，不断提高探究能力、综合运用知识的能力．

4.强化函数的建模训练，提高用运函数的图象和性质解决实际问题及跨学科问题的能力． 5.要充分利用函数图象的直观性，让学生结合题意解读函数图象，做到能“看图说话”，说出所能发现的结论，并能够整合各知识模块运用其进行分析推理进而解决问题． 6.加强热点问题的专题训练，强化学生的应试能力．

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