《因式分解 - 待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳

《因式分解---待定系数法、换元法、添

项拆项法》知识点归纳

知识体系梳理 ◆

添项拆项法

有的多项式由于“缺项”，或“并项”因此不能直接分解。通过进行适当的添项或拆项后利用分组而分解的方法称为添项、拆项法。

一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的。 ◆

待定系数法

有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。然后再把积乘出来。用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。 ◆ 换元法

所谓换元，即对结构比较复杂的代数式，把其中某些部分看成一个整体，用新的字母代替（即换元），则能使复杂

的问题简单化、明朗化，象这种利用换元来解决复杂问题的方法，就叫

。换元法在减少代数式的项数、降低多项式结构复杂程度等方面都有着独到的作用。 （1）、使用换元法时，一定要有

意识，即把某些相同或相似的部分看成一个 。

（2）、换元法的种类有：单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、特殊值换元和几何换元。

（3）、利用换元法解决问题时，最后要让原有的数或式“回归”。 ★★

典型例题、方法导航 ◆

方法一：添项拆项法 【例1】分解因式：

分析：此多项式是三次三项式，缺项不能直接分解。可考虑添项拆项法分解。从它的最高次项看是三次，因此我们可以猜想它最多可分解成三个一次二项式的积，即 ，再看常数项可分解成±1、±2，因此我们可猜想分解的结果可能是或或,但的中间项是,因此是不可能的，因此只可能是前面两种的其中一种。下面请看：

解：

其结果是我们猜想中的第一种。此题还有其他分解方法吗？在注意到分解结果中有和的因式，因此还有其他更多的分解方法。 方法二： 方法三： 方法四： 方法五： 方法六：

（余下过程同学自己完成）

方法点金：拆项、添项法分解因式的关键是通过拆项、添项达到分组或运用公式的目的，一般可考虑添多项式中所缺的项，或考虑常数项可分解的因数有关的因式。 ◎变式议练一： 分解下列各式的因式 （1） （2） （3） ◆

方法二：待定系数法 【例2】分解因式： 解：

设：

展开后左右两边比较系数求出、即可。 分解结果：

【例3】已知多项式能被整除，请分解前者的因式。 分析：设，利用多项式的恒等求出、即可。 ◎变式议练二：

、已知是的一个因式，则 ；

2、用待定系数法分解因式： 【例4】在实数范围内分解因式 （1） （2） （3）

◎变式议练三： 求的算术平方根。 ◆

方法三：换元法 ◆

直接换元法

【例】用换元法分解因式： 方法点金：设，

注意：换元法分解因式最后要回归。

◎变式议练四

、用换元法分解因式： 2、用换元法分解因式：

方法点金：当两括号中的二次项，一次项的系数对应成比例可考虑用换元法分解因式。 【例6】分解因式：

分析：两括号中二次项、一次项系数的比为，可以换元。 ◆

组合换元法 【例7】分解因式：

分析：观察第一、四括号内的常数项和第二、三括号内的常数的和为，因此也可用组合换元法分解因式。 ◎变式议练五

证明四个连续正整数的积与1的和是一个完全平方。 ◆

能力与创新

把下列各式分解因式： ①、 ②、 ③、 ◆◆◆◆ 快乐体验

、若多项式和多项式有公因式，则 ；

2、若能被整除，则 ；

3、分解因式： （1） （2）

4、已知多项式有一个因式是，把这个多项式分解因式。 、甲、乙两同学分解多项式时，甲看错了,分解结果为,乙看错了,分解结果为,请分析一下，、的值分别为多少？并写出正确的分解过程。

6、已知一个三角形的三边、、满足,试判断这个三角形的形状，并证明你的结论。

、若多项式和多项式有公因式，则 ；

2、若能被整除，则 ；

3、分解因式： （1） （2）

4、已知多项式有一个因式是，把这个多项式分解因式。 、甲、乙两同学分解多项式时，甲看错了,分解结果为,乙看错了,分解结果为,请分析一下，、的值分别为多少？并写出正确的分解过程。

6、已知一个三角形的三边、、满足,试判断这个三角形的形状，并证明你的结论。

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