1.6函数奇偶性的判断

必修1 数学专题复习

熟用奇偶性

注意：

⑴上表中，f（x）与f（-x）中的x与-x本质是指两个互为相反数的自变量。 若a+b=0，且f（a）=f（b），则函数f（x）为 函数； 若a+b=0，且f（a）=-f（b），则f（x）为 函数.

⑵判断一个函数是否是奇函数或者偶函数，首先考虑其 是否关于 对称.但是定义域可以是不连续的.如右图y= f(x)为 函数. ⑶一个函数不满足奇函数的定义，也不满足偶函数的定义时，则这个函数即不是奇函数也不是偶函数. 常识：

① 一次函数f(x)=kx+b（k≠0）中，当b= 时，f(x)为奇函数； ② 二次函数f(x)=ax²＋bx＋c（a≠0）中，当 时，f(x)为偶函数. 1、若f(x)=（x＋a）（x–4）为偶函数，则实数a2、若f(x)=

2x bx

为奇函数，则b= . 若f(x)=为奇函数，则a= .

(x 1)(x 1)(2x 1)(x a)

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【例题讲解】

例1 判断下列函数的奇偶性.（注意：判断函数奇偶性先判断 ） ⑴f(x)=x 1

⑵f(x)=2-|x| ⑶f(x)=x2 1 x2 x

⑷f(x)=3xx2

3

⑸f(x)=|x+1|＋|x-1| ⑹f(x)=x

x 1

例2 已知f(x)是偶函数，且图像与x轴有四个交点，则方程f（x）=0的所有实数根之和为 A. 4 B. 2 C. 1 D. 0

例3 判断函数f(x)= x2 x（x＞0）

x2

x（x＜0）

的奇偶性.

【抽象函数奇偶性判断】

例4 已知函数f(x)（x R），若对于任意实数m、n，f（m+n）＋f（m-n）=2f（m）f（n）.

求证：f（x）是偶函数.

） （

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【利用奇偶性求值】

例5 已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x

2

1

，则f（-1）x

[方法一：求f（1）] [方法二：求x＜0时，f（x）的解析式]

【课堂练习】

1、 判断下列函数的奇偶性.

⑴f(x)=x5＋x³＋x ( ) ⑵f(x)=x4＋x²＋x0 ( ) ⑶f(x)=x²＋1 ( ) ⑷f(x)=x²＋x ( ) ⑸f(x)=x² ，x （-1,3）( ) ⑹f(x)=(x–1)² ( ) 2、已知f（x）=3x3＋4bx＋3a＋b，x [2a–6，a]是奇函数，则a ，b= . 3、已知f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，给出下表:

则f[g(1)]= ； g[f(-1)]= ；g[-f(2)]= ；f[g(-3)]= ；

4、已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且在（-∞，0]上为增函数，若f（a）≤f（2），a的取值范围是（ ） A. a≤2 B.a≥-2 C. -2≤a≤2 D.a≤-2或a≥2

5、已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意a，b R都满足f（ab）=af（b）＋bf（a）. ⑴求f（0），f（1），f（-1）的值. ⑵判断f（x）的奇偶性，并证明.

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课 堂 检 测

（时量10分钟，满分100分）

1、f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x²–x，则f2、已知函数y=f(x)，x R.且对于任意实数m，n都有f（m+n）=f（m）+f（n）.则f（x）是 （ ） A. 奇函数 B.偶函数 C.即是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 3、已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x-1）＜f（

1

）的x的取值范围是（ ） A. 12 12 12 3,3 B. 3,3 C. 2,3 4、已知f（x）=ax²＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a-1,2a]. ⑴求a、b的值；

⑵求f（x）在其定义域上的最大值.

5、已知奇函数f（x）=2x＋b，x [-2,2]. ⑴求b的值.

⑵解不等式f（t-1）＋f（t）＜0.

3

D. 12

2,3

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