浙江省高中校本选修课程《数学建模》讲义 第14-15节 规划模型

第14，15节 规划模型

[教学目的和要求]

了解线性规划和非线性规划的基本概念和算法，结合实际问题让学生学会优化问题的建模方法。 [

教

学

重

点

与

难

点

]

线性规划和非线性规划的基本概念和算法，优化问题的建模方法。 [教学内容]

在众多实际问题中，常常要求决策（确定）一些可控制量的值，使得相关的量（目标）达到最佳（最大或最小）。这些问题就叫优化问题，通常需要建立规划模型进行求解。称这些可控制量为决策变量，相关的目标量为目标函数；一般情况下，决策变量x的取值是受限制的，不妨记为x??，?称为可行域，优化问题的数学模型可表示为

Mix(或Min)f(x), x??

一般情况下，x是一个多元变量，f(x)为多元函数，可行域比较复杂，一般可用一组不等式组来表示，这样规划问题的一般形式为

Minf(x)x.

stgi(x)?0,i?1,2,?,m

虽然，该问题属于多元函数极值问题，但变量个数和约束条件比较多，一般不能用微分法进行解决，而通过规划方法来求解；这里讨论的不是规划问题的具体算法，主要是讨论如何将一个实际问题建立优化模型，并利用优化软件包进行求解。

根据目标函数和约束函数是否为线性，将规划模型分为线性规划和非线性规划。

1． 线性规划

线性规划问题很多，最具代表性的有投资问题、配料问题、生产计划安排问题、劳动力安排问题、运输问题等。

例1 某工厂在计划期内要安排生产1、2两种产品，已知生产单位产品所需要的设备台时和A、B两种原材料的消耗以及资源的限制情况

材料的消耗以及资源的限制表 设备 原料A 原料B 产品11 2 0 [来源:www.shulihua.net数理化网] 产品2 1 1 1 资源限制 300台时 400kg 250kg 该工厂每生产一个单位产品1可获利50元，每生产一个单位产品2可获利100元，问工厂应生产多少个1产品和2产品使工厂获利最大。

Maxf(x)?50x1?100x2

?x1?x2?300?2x?x?400?12st.??x3?250??x1?0,x2?0

Matlab函数调用的标准形式 模型

Minf(x)??50x1?100x2

Ax?b

Aeq.x?beq lb?x?ub

语法：

X=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 程序：

f=[-50 -100]’; A=[1 1;2 1;0 1]; b=[300 400 250]’; lb=[0 0]’;

[X,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb) 计算结果

X=[50,250], fval =27500

例2 某商业集团公司在

A1,A2,A3三地设有仓库，它们分别库存40，20，40个单位质量的

Bi,i?1,?,5，它们需要的货物量分别是25，10，20，

货物，而其零售商店分布在地区30，15个单位质量。产品从

Ai到Bj的每单位质量装运费列于下表：

B2 30 B1 55 35[来B3 40 B4 50 B5 40 A1 A2 A3 源:www.shulihua.netwww.shulihua.net][来30 100 45 60 源:www.shulihua.net] 60 95 35 30 40 试建立装运费最省的调运方案的数学模型.

设

xij表示从第i个仓库到第j个商店的运量；

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