2022年高考数学一轮复习 题组层级快练65(含解析)

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实用文档 2021年高考数学一轮复习 题组层级快练65（含解析）

1．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，这样的直线有( )

A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．4条 答案 C

解析 该点为双曲线的顶点，与双曲线相切的直线有一条，与渐近线平行的直线有两条，共3条．

2．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )

A ．(－153，153

) B ．(0，153) C ．(－153，0) D ．(－

153，－1) 答案 D

3．已知F 1，F 2是双曲线x 22

－y 2

＝1的左、右焦点，P ，Q 为右支上的两点，直线PQ 过F 2且倾斜角为α，则|PF 1|＋|QF 1|－|PQ |的值为( )

A ．8

B ．2 2

C ．4 2

D ．随α的大小而变化 答案 C

解析 由双曲线定义知：

|PF 1|＋|QF 1|－|PQ |

＝|PF 1|＋|QF 1|－(|PF 2|＋|QF 2|)

＝(|PF 1|－|PF 2|)＋(|QF 1|－|QF 2|)

＝4a ＝4 2. 4．已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点，若直线PA ，PB 的斜率乘积k PA ·k PB ＝23

，则该双曲线的离心率为( ) A.22 B.62

精品文档 实用文档 C. 2 D.153 答案 D 解析 设

A (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，根据对称性，

B (－x 1，－y 1)，

因为A ，P 在双曲线上，

所以????? x 21a 2－y 21b 2＝1，x 2

2

a 2－y 22

b 2＝1.

两式相减，得k PA ·k PB ＝b 2a 2＝23

. 所以e 2

＝a 2＋b 2a 2＝53. 故e ＝153

. 5．(xx·四川绵阳第二次诊断考试)圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23

＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( )

A ．x 2＋(y －1)2＝1

B ．x 2＋(y －3)2＝3

C ．x 2＋(y －

32)2＝34 D ．x 2＋(y －2)2＝4 答案 A

解析 设圆心(0，b )，(b >0)，半径为b ，双曲线渐近线方程为y ＝±3x ，圆心到渐近线的距离为d ＝b 2.由勾股定理，得(b 2)2＋(32

)2＝b 2，∴b ＝1.所以圆C 的方程为x 2＋(y －1)2＝1. 6.(xx·天津河西质量调研)如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两个分支分别交于B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则该双曲线的离心率为( )

A.233

B. 3

C ．4

D.7 答案 D

解析 设等边三角形的边长为x ，则根据双曲线定义得|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，

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∴?

??

??

x ＋|BF 1|－x ＝2a ，x －|BF 1|＝2a ，∴?

??

??

|BF 1|＝2a ，

x ＝4a .

在△AF 1F 2中，|AF 1|＝6a ，|AF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1AF 2＝60°，由余弦定理，得4c 2

＝36a 2

＋16a 2

－2×6a ×4a cos60°.∴c 2

＝7a 2

，即e ＝7.

7．已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在

直线l 上，则双曲线的方程为( )

A.x 25－y 2

20＝1 B.

x 220－y 2

5

＝1 C.3x 2

25－3y

2

100＝1 D.3x 2

100－3y

2

25

＝1 答案 A

解析 由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y ＝b a x 与直线y ＝2x ＋10平行，所以b a

＝2且左焦点为(－5,0)，所以a 2

＋b 2

＝c 2

＝25，解得a 2

＝5，b 2

＝20，故双曲线方程为x 25－y 2

20

＝1.选A.

8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－2

3

，则此双曲线的方程是( )

A.x 23－y 24＝1

B.x 24－y 23＝1

C.x 25－y 2

2＝1 D.x 22－y 2

5

＝1 答案 D

解析 设双曲线方程x 2a 2－y 2

b

2＝1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，

∴?????

x 21a 2－y 21

b

2＝1， ①x 2

2a 2

－y 22b 2

＝1. ②

①－②，得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2·x 1＋x 2

y 1＋y 2

.

∴1＝b 2

a 2·－23－5

3

，∴5a 2＝2b 2

.

又a 2＋b 2＝7，∴a 2

＝2，b 2

＝5，故选D.

9．(xx·东北三校一模)已知双曲线x 29－y 2

16

＝1，过其右焦点F 的直线交双曲线于P ，Q 两点，PQ 的垂

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实用文档 直平分线交x 轴于点M ，则

|MF ||PQ |的值为( ) A.53

B.56

C.54

D.58

答案 B 解析 依题意，将直线PQ 特殊化为x 轴，于是有点P (－3,0)，Q (3,0)，M (0,0)，F (5,0)，|MP ||PQ |＝56

. 10．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)，作圆x 2＋y 2＝a 24

的切线，切点为E ，延长FE 交曲线右支于点P ，若OE →＝12

(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率为________． 答案 102

解析 圆x 2＋y 2＝a 24的半径为a

2，由OE →＝12(OF →＋OP →)知，E 是FP 的中点，设F ′(c,0)，由于O 是FF ′的中点，所以OE ⊥PF ，|OE |＝12

|PF ′|?|PF ′|＝2|OE |＝a . 由双曲线定义，|FP |＝3a ，因为FP 是圆的切线，切点为E ，所以FP ⊥OE ，从而∠FPF ′＝90°.由勾股定理，得|FP |2＋|F ′P |2＝|FF ′|2?9a 2＋a 2＝4c 2

?e ＝102. 11．双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为________；若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲

线C 的两条渐近线交于P ，Q 两点，且PA →＝2AQ →，则直线l 的斜率为_______．

答案 x ±y ＝0，±3

解析 双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为x 2－y 2＝0，即y ＝±x ；双曲线C 的右顶点A (1,0)，设l ：

x ＝my ＋1，联立方程，得????? x ＝my ＋1，x 2－y 2＝0，消去x ，得(m 2－1)y 2

＋2my ＋1＝0(*)，方程(*)的根为P ，Q 两点的纵坐标，设P (x P ，y P )，∵PA →＝2AQ →，∴y P ＝－2y Q .

又????? y P ＋y Q ＝2m 1－m 2，y P y Q ＝1m 2－1，解得m ＝±13，直线l 的斜率为1m

，即为3或－3. 12．已知曲线x 2a －y 2

b

＝1(ab ≠0，且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →·OQ →＝0(O 为原点)，则1a －1b

的值为________．

精品文档 实用文档 答案 2 解析 将y ＝1－x 代入x 2a －y 2b

＝1，得 (b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0.

设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，

则x 1＋x 2＝

2a a －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b . OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.所以2a ＋2ab a －b －2a a －b

＋1＝0. 即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0.

即b －a ＝2ab ，所以1a －1b

＝2. 13．求两条渐近线为x ＋2y ＝0和x －2y ＝0且截直线x －y －3＝0所得的弦长为833

的双曲线的方程． 答案 x 2

4－y 2

＝1 解析 渐近线方程为y ＝±12

x ， 可设双曲线方程为x 24m －y 2m ＝1，则????? x 24m －y 2m ＝1，x －y －3＝0.

可得3x 2－24x ＋36＋4m ＝0，

∴x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝36＋4m 3

. 由弦长公式|AB |＝1＋k 2·

x 1＋x 22－4x 1x 2，得

|AB |＝2·48－16m 3. 又∵|AB |＝833

，∴m ＝1. ∴双曲线方程为x 24－y 2

＝1. 14．设双曲线C ：x 2

a

2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同点A ，B . (1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；

(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA →＝512

PB →，求实数a 的值． 答案 (1)(62，2)∪(2，＋∞) (2)1713

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实用文档 解析 (1)由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组????? x 2a

2－y 2＝1，x ＋y ＝1，

有两个不同的实数解． 消去y 并整理，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.①

所以????? 1－a 2≠0，4a 4＋8a 21－a 2>0，

解得0

∵062

且e ≠ 2. 即离心率e 的取值范围为(

62，2)∪(2，＋∞)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)，

∵PA →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，由此得x 1＝512

x 2.由于x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0， 所以x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝512x 22＝－2a 2

1－a

2. 消去x 2，得－2a 21－a 2＝28960.注意a >0，得a ＝1713

. 15．(xx·河南安阳调研)已知圆C 1：(x ＋

62)2＋y 2＝258，圆C 2：(x －62)2＋y 2＝18，动圆P 与已知两圆都外切．

(1)求动圆的圆心P 的轨迹E 的方程；

(2)直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹E 交于不同的两点A ，B ，AB 的中垂线与y 轴交于点N ，求点N 的纵坐标的取值范围．

答案 (1)2x 2－y 2＝1(x >0) (2)(－∞，－32

) 解析 (1)已知两圆的圆心、半径分别为C 1(－62，0)，r 1＝524；C 2(62，0)，r 2＝24. 设动圆P 的半径为r ，由题意知|PC 1|＝r ＋524，|PC 2|＝r ＋24

， 则|PC 1|－|PC 2|＝2<|C 1C 2|＝ 6.

所以点P 在以C 1，C 2为焦点的双曲线右支上，其中2a ＝2，2c ＝6，所以b 2＝1.

故轨迹E 的方程为2x 2－y 2＝1(x >0)．

(2)将直线y ＝kx ＋1代入双曲线方程，并整理，得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，

依题意，直线l 与双曲线的右支交于不同两点，故

精品文档 实用文档 ????? k

2－2≠0，Δ＝2k 2－8k 2－2>0，x 1＋x 2＝－2k k 2－2

>0，x 1x 2＝2k 2－2>0.所以－2

且x 0＝－k k 2－2，y 0＝kx 0＋1＝－2k 2－2，则AB 的中垂线方程为y ＋2k 2－2＝－1k (x ＋k k 2－2

)． 令x ＝0，得y N ＝32－k

2. ∵－2

已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为M (－12，－15)，则E 的方程为( )

A.x 23－y 26

＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23

＝1 D.x 25－y 2

4＝1 答案 B 解析 由已知易得l 的斜率为k ＝k FM ＝1.设双曲线方程为x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有????? x 21a 2－y 21b 2＝1，x 2

2

a 2－y 22

b 2

＝1，两式相减并结合x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30，得y 1－y 2x 1－x 2＝4b 25a 2，从而4b 25a 2＝1，即4b 2＝5a 2.又a 2＋b 2

＝9，解得a 2＝4，b 2

＝5，故选B." 31698 7BD2 篒w27233 6A61 橡34992 88B0 袰g37671 9327 錧32591 7F4F 罏26062 65CE 旎21513 5409 吉21066 524A 削37949 943D 鐽`34546 86F2 蛲

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