（新课标）高三数学一轮复习 第8篇 直线和椭圆学案 理

第五十二课时 直线与椭圆

课前预习案

考纲要求

掌握直线和椭圆的位置关系 基础知识梳理

x2y21.点与椭圆的位置关系：已知点P(x0,y0)，椭圆M：2?2?1(a?b?0).

abx02y02x02y02（1）点P在椭圆M外?2?2 1；（2）P在椭圆M上?2?2 1；

ababx02y02（3点P在椭圆M内?2?2 1. ab2.直线和圆锥曲线的位置关系

（1）位置关系：相交、相切、相离.

（2）位置关系的判断（代数法）：已知直线l:ax?by?c?0，椭圆方程M:f(x,y)?0.

联立方程组??ax?by?c?02，消元（消x或y），整理得Ax?Bx?C?0

?f(x,y)?0①当??0时，直线和椭圆M相交，有两个不同的公共点； ②当??0时，直线和椭圆M相切，只有一个公共点； ③当??0时，直线和圆锥曲线M相离，没有公共点. 3.直线被椭圆所截弦长

2设直线l与椭圆M相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，则所得弦长|AB|?1?k|x1?x2|或

|AB|?1?1|y1?y2|（k?0）. 2k 预习自测

x2y2??1的位置关系为（ ） 1. 直线y?kx?k?1与椭圆94A．相交

B．相切

C．相离

D．不确定

x2?y2?1相交于A、B两点，则AB?（ ） 2．直线y?x与椭圆4A．2

B．45 5C．410 5D．810 5 1

x2y23.若点P(x,y)在曲线?2?1(b?0)上运动，则x2?2y的最大值为（ ）

4b?b2??4?4A．?2b??b2(0?b?4)??4?4 B．?2b(b?4)?(0?b?2)(b?2)b2

?4 C．4

D．2b

x2y24.AB为椭圆2?2?1(a?b?0)中过中心的弦，F(c,0)为右焦点，则△ABF面积的最大值为（ ）

abA．bc

B．ac

C．ab

课堂探究案

典型例题

考点1 直线与椭圆方程

D．b

2x2y2【典例1】（2013新课标1）已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭

ab圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,?1),则E的方程为（ ）

x2y2??1 A．

4536

x2y2??1 B．

3627x2y2??1 C．

2718x2y2??1 D．

189考点2 直线与椭圆交点个数问题

【典例2】若直线mx＋ny＝4和圆O：x＋y＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个

94数为( )

A．至多1个 B．2个 C．1个 D．0个

2

2

x2y2

x2y2??1，设M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0),直线l与椭【变式1】已知椭圆82圆交于A、B两个不同点.，求m的取值范围.

考点3 与弦中点有关的问题

x2y2??1的弦被点P(2,1)所平分，求此弦所在直线的方程. 【典例3】椭圆

164

【变式2】在椭圆4x+y=16中,求通过点M(1,-2)且被这点平分的弦所在的直线的方程和弦长.

2

2

2

考点4 与弦长有关问题

x2y2【典例4】已知椭圆C1: 2?2?1?a?b?0?与直线x＋y－1=0相交于两点A,B．

ab（1）当椭圆的半焦距c=1，且a,b,c成等差数列时，求椭圆的方程；

（2）在（1）的条件下，求弦AB的长度|AB|；

2

2

2

?x2?y2?1，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长【变式3】已知椭圆：

69为 .

考点5 对称问题

x2y2??1于A、B两点，若A、B关于点M对【典例5】若直线L过圆x+y+4x-2y=0的圆心M交椭圆C:942

2

称，求直线L的方程．

x2y2??1上存在两点A,B,关于l:y=4x+m对称,则m的范围 . 【变式4】若椭圆23 当堂检测

1.过椭圆3x2?4y2?48的左焦点F引直线交椭圆于A、B两点，若|AB|?7，则此直线的方程为（ ）

A．y??3333x?3 B．y??(x?2) C．y??x?2 D．y??(x?1) 22332.已知椭圆x2?2y2?4，则以(1,1)为中点的弦的长度为 .

x2y2??1相交于A、B两点，则|AB|= 。 3. 直线l:x?y?1?0和椭圆43 课后拓展案 A组全员必做题

x2y2??1的离心率是（ ） 1.椭圆

916437A． B． C． 554

D．7 33

x2y25?12.设椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的

2ab一个端点，则∠ABF等于 ．

x2y2?1(a为定值，3. (2012高考四川)椭圆2?且a?5)的左焦点为F，直线x?m与椭圆相交于点A、

a5B，?FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。

B组提高选做题

x2y23（2013山东理）椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为,过F1且垂直于

ab2x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

(1)求椭圆C的方程;

(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设?F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点

M(m,0),求m的取值范围;

(3)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k?0,试证明

参考答案

预习自测

1.A 2.C 3.A 4.A

典型例题

【典例1】D 【典例2】B 【变式1】(?2,0)11?为定值,并求出这个定值. kk1kk2(0,2).

【典例3】x?2y?4?0

【变式2】直线方程为2x?y?4?0；弦长为25. 4

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