3几何选讲平面几何中几个重要定理的证明

初等几何选讲复习资料三

几何选讲平面几何中几个重要定理及证明

一、塞瓦定理

1．塞瓦定理及其证明

定理：在?ABC内一点P，该点与?ABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F，且D、E、F三点均不是?ABC的顶点，则有

D B F P C A ADBECF???1．

DBECFAE ADS?ADPS?ADC?证明：运用面积比可得DB?S． S?BDP?BDC根据等比定理有

S?ADPS?ADCS?ADC?S?ADPS?APC???S?BDPS?BDCS?BDC?S?BDPS?BPC，

ADS?APCBES?APBCFS?BPC?所以DBS．同理可得，． ???BPCFAS?APBECS?APCADBECF???1． 三式相乘得

DBECFA

注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”．

2．塞瓦定理的逆定理及其证明

定理：在?ABC三边AB、BC、CA上各有一点D、E、

ADBECF???1，F，且D、E、F均不是?ABC的顶点，若

DBECFA那么直线CD、AE、BF三线共点．

证明：设直线AE与直线BF交于点P，直线CP交AB于点D/，则据塞瓦定理有

AD/BECF???1． /DBECFA A D/ D B F P C E ADBECFADAD/???1，所以有?/．由于点D、 因为

DBDBDBECFAD/都在线段AB上，所以点D与D/重合．即得D、E、F三点共线．

注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证．

二、梅涅劳斯定理

3．梅涅劳斯定理及其证明 定理：一条直线与?ABC的三

D B E A C G F

边AB、BC、CA所在直线分别交于点D、E、F，且D、E、F均不是?ABC的顶点，则有

ADBECF???1．

DBECFA证明：如图，过点C作AB的平行线，交EF于点G．

CGCF?因为CG // AB，所以 ————（1） ADFACGEC?因为CG // AB，所以 ————（2） DBBEADBECFDBBECF???1．??由（1）÷（2）可得，即得 DBECFAADECFA注：添加的辅助线CG是证明的关键“桥梁”，两次运用相似比得出两个比例等式，再拆去“桥梁”（CG）使得命题顺利获证．

4．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明

定理：在?ABC的边AB、BC上各有一点D、E，在边ADBECF???1， AC的延长线上有一点F，若

DBECFA 那么，D、E、F三点共线．

证明：设直线EF交AB于点D/，则据梅涅劳斯定理有

D/ D B E A C F

AD/BECF???1． /DBECFAADBECFADAD/???1，所以有?/．由于点D、因为

DBDBDBECFAD/都在线段AB上，所以点D与D/重合．即得D、E、F三点共线．

注：证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙，注意分析其相似后面的规律． 三、托勒密定理

5．托勒密定理及其证明

定理：凸四边形ABCD是某圆的内

E A M B 接四边形，则有

AB·CD + BC·AD = AC·BD． 证明：设点M是对角线AC与BD

的交点，在线段BD上找一点，使得?DAE =?BAM．

因为?ADB =?ACB，即?ADE =?ACB，所以?ADE∽

?ACB，即得

D C ADDE?，即AD?BC?AC?DE ————（1） ACBC由于?DAE =?BAM，所以?DAM =?BAE，即?DAC =?BAE。而?ABD =?ACD，即?ABE =?ACD，所以?ABE

∽?ACD．即得

ABBE? ，即AB?CD?AC?BE ————（2） ACCD由（1）+（2）得 ?BC? ADA?BC?DA?C?DE?AC?BE? ．

所以AB·CD + BC·AD = AC·BD．

注：巧妙构造三角形，运用三角形之间的相似推得结论．这里的构造具有特点，不容易想到，需要认真分析题目并不断尝试．

6．托勒密定理的逆定理及其证明

定理：如果凸四边形ABCD满足AB×CD + BC×AD = AC×BD，那么A、B、C、D四点共圆．

证法1（同一法）：

在凸四边形ABCD内取一点E，使得?EAB??DAC，

?EBA??DCA，则?EAB∽?DAC．

A B 可得AB×CD = BE×AC ———（1）

AEAB且 AD?AC ———（2）

B（2）可得则由?DAE??CA及

E D C ?DAE∽?CAB．于是有

AD×BC = DE×AC ———（3）

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