大学物理习题集3-(2010)详解1

作业12 真空中静电场的强度

??12-1 关于电场强度定义式E?F/q0，下列说法中哪个是正确的？[ B ]

?(A) 场强E的大小与试探电荷q0的大小成反比．

?(B) 对场中某点，试探电荷受力F与q0的比值不因q0而变．

??(C) 试探电荷受力F的方向就是场强E的方向．

??(D) 若场中某点不放试探电荷q0，则F= 0，从而E= 0．

?12-2 在电场中某点P放入试探电荷q0，测得电场力为F，则该点的场强为

??若放入另一试探电荷?q0，测得电场力为F?，则该点的场强为[ C ]． Fq0；??????(A) F?q0?Fq0； (B) F?q0??Fq0； (C) ?F?q0?Fq0；(D) 0；． (原3题变) 解：试探电荷不影响场强，但影响其自身的受力．

12-3 电子所带电量最先是由蜜立根通过油滴实验测定的．其原理是：一个很小

?的油滴处在匀强电场内，调节电场强度E，是作用在油滴上的作用力与油滴

10?4 cm，油密度为0.851 ×103 kg/m3， 的重力平衡．如果油滴的半径为1.64 ×

105 V/m．则油滴上的电量 q = 8.02 ×10?19 C．平衡的电场强度为1.92 ×

??4πR3?g?4 3 =…= 8.02 ×10?19 C 解： ?F?qE?mg?0 → qE?πR?g → q?3E312-4 两个间距为r的正电荷q1与q2 ，如图所示，在引入一个电荷q3 后，三个

电荷处于平衡状态，则q3位于q1与q2连线之 间 (填“间”或“外”)；q3与q1

的距离为r13 = r13?q1q1?q2r ，q3的电量为q3 = q3??q1q2(q1?q2)2 . r(原2题) 解：取向右为正 q1q2题12-4图 1q1q21q1q31q2q3F12??F??F?，， 1323224π?0r1224π?0r134π?0r23而 F12??F13，F23??F21?F12，解得：…… 12-5 在正方形的两个相对的角上各放一个点电荷Q，在其他两个相对的角上各

放一个点电荷q，如果作用在Q上的力为零，则Q与q的关系为

y3Q = Q??22 q ． （原6题）

q4Q解：F1x??F12?F13sin225??0, F??0 1y??F14?F13cos225QqQ22???0 ? Q??22 q 24π?0a4π?0(2a)22

1

Q?F121??F14F13q2x12-6 把某一电荷分成q与 (Q?-?q) 两个部分，且此两部分相隔一定距离，如果

使这两部分有最大库仑斥力，则Q与q的关系为：Q = Q?2 q q?(Q?q)dF?0， 即 1?(Q?q)?q?0， 解得 Q?2q ， 令

4π?0r2dq解：F?

12-7 半径为R，长度为L的均匀带电圆柱面，其单位长度带电量为?，在带电

圆柱的中垂面上有一点P，它到轴线距离为r（r ? R），则P点的电场强度

的大小：当r ?? L时，E = E???L ；当r ?? L时，E = E? ． 2π?0r4π?0r2（原11题）解：r <

r>>L时，可视为点电荷，q??L

12-8 如图所示，一根细玻璃棒被弯成半径为R的半圆周，沿其上半部分均匀分

布有电荷?q，沿其下半部分均匀分布有电荷?q，求半圆中心O点的场强．

(原8题) ?q解: 建立坐标系xOy，相对于x 轴对称分布的正负电荷元产生的

R场强的x分量将相互抵消，y分量相等且沿y负向,

O???????2q(πR)

dq????dl???Rd??2qd?π

?q题12-8图

y 而 dE??dq?12qd??

4π?0R24π?0R2π?q∴ E??2dEco?s??20?π2?π201qco?s d?

2π2?0R2?dE → ROx dE → E →

q?4q??? ???2sin?222?π?R0?4π?0R?0?E向下

π2?q 2

12-9 用不导电的塑料棒弯成一个半径为50.0 cm，两端间空隙为2.0 cm的环，

电量为3.12×10-9C的正电荷均匀分布在棒上，求环心处场强的方向和大小． （原7题）解：（补偿法），缺口带电圆环可视为在带电整圆环对应处加上电量q?????l的带电短线，如下图示

q?????l

→ EO → EO ＋ ＝ ＝ O O O O

???则 EO?E圆O?E短线O

∵ 均匀带电圆环圆心O处 E = 0 ，而 ?l??R(半径) ∴ q?可视为点电荷 ∴ EO?E短线O?q?4π?0R2?????lqq 而 ?? ?24π?0R2πR??l2πR?1q??l9????9?10∴ EO??= -0.715(V/m)，E指向空隙．

4π?02πR3?

12-10 电量Q ( Q > 0 ) 均匀分布在长为2L的细棒上，在细棒的延长线上距细棒

中心O距离为x的P点处放一带电量为q ( q > 0 )的点电荷，求带电细棒对该点电荷的静电力． x2L解：建立如图所示的坐标系，

OPQ在带电直线上取电荷元 dq?? da? da 题12-10图 2L它在P点产生的电场强度的大小为 dqQ da?

4π?0r28π?0L(x?a)2?dE且各均同向(向右)． dE?QQ da??∴ E?dE??L8π?L(x?a)28π?0L02LOxadaPx??L?d(x?a)Q?1? ??a??L(x?a)28π?0L?x?a??a??La?La?L?Q?11?Q1? ???8π?0L?x?Lx?L?4π?0x2?L2qQ

4π?0(x2?L2)点电荷受力：F?qE??F的方向：在带电直线延长线上，远离O点．

3

12-11 半径为R的带电细圆环，线电荷密度???0cos?，?0为常数，?为半径

yR与x轴夹角，如图所示，求圆环中心O处的电场强度． （原10题）

解：∵电荷相对于x 轴对称，

∴ O点处的合场强必沿 x 轴．

取 dq?? dl?? R d??R?0co s? d? 而 dE?OR?x?0co?s d?dq?

4π?0R4π?0R22π题12-11图

s)??∴ E?Ex?dEx?dE(?co??02co?04π?0Rs? d? ??dq R→ → dE ? 2πE??0?0??(1?cos2?)d??? x→O 8π?0R?04?0RdE ?E沿 x 轴负方向

y

12-12 在一个很大的均匀带电（面电荷密度为

?0）平面的中部开一个半径为R的小圆孔，求通过小圆孔中心O并与平面垂直的直线上P点的电场强度． (原18题)

解: 【不要用补偿法！】

以O点为原点，取x轴垂直于带电平面， 并在带电平面上取极坐标系，如图所示．

则面元 dS?rdrd? ∴ dq??0rdrd? dE?dq?0rdrd??

4π?0l24π?0(r2?x2)ROP题12-12图 rdSrl由对称性可知: Ey?Ez?0 ∴ E?Ex?dEcos?

?ROPx→ xdE ??2π0d???Rx?0??4π?0(r2?x2)r2?x24?0x?0rdr??d(r2?x2)(r?x)2232r?R?x?02?0x?R22

?E沿 x 轴背离平面

4

12-13 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：[ D ]

?(A) 如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷．

?(B) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零．

?(C) 如果高斯面上E处处不为零，则高斯面内必有电荷．

(D) 如果高斯面内净电荷不为零，则通过高斯面的电通量必不为零． (E) 高斯定理仅适用于具有高度对称性的电场．

12-14 如图所示，闭合曲面S内有一点电荷q，P为S面上一点，在S面外A

点有一点电荷q?，若将q?移至B点，则 [ B ]

PSq?(A) 穿过S面的电通量改变，P点的电场强度不变；

qAB(B) 穿过S面的电通量不变，P点的电场强度改变；

(C) 穿过S面的电通量和P点的电场强度都不变；

题12-14图 (D) 穿过S面的电通量和P点的电场强度都改变．

解：穿过闭合曲面的电通量与面外电荷无关，P点的电场强度由内外电荷决定.

12-15 有两个点电荷电量都是 +q相距为2a，今以左边的点电荷所在处为球心，

以a为半径，作一球形高斯面．在球面上取两块相等的小面积S1、S2．其位置如图所示．设通过S1、S2的电场强度通量分别为?1、?2，通过整个球面的电场强度通量为?3，则 [ D ] (A) ?1??2，?3?q?0； +q 2a +q (B) ?1??2，?3?2q?0； S2 x O a S1 (C) ?1??2，?3?q?0； SSq q (D) ?1??2，?3?q?0． 题12-15图 (原13题)

12-16 ⑴ 点电荷q位于边长为a的立方体中心，通过此立方体的每一面的电通

量各是多少？⑵ 若电荷移至立方体的一个顶点上，通过每个面的电通量又各是多少？ (原14题)

2 1 解: ⑴∵6个全等的正方形组成一个封闭面，∴ ?1?q6?0 ⑵ 该顶点可视为边长等于2a的大立方体的中心， 通过每个大面的电通量为 q6?0

∴对于小立方体而言，不过该顶点的三个小面上的电通量为：???11q1q?46?024?0

而通过该顶点的另三个小面的电通量为???0.

5

?-18-7 如图所示，半径为R= 8 cm的圆柱形空间内有一均匀磁场B，以每秒102

的速率减小，在该磁场空间中，离轴线O分别为r1 = 5 cm处的A点以及r2 = 10 cm处的C点各有一个由静止状态释放的电子，求：两电子在释放时刻的加速度．（me = 9.1×10?31 kg，e =1.6×10?19 C）

(原6、9题合并)

?解：∵ B∥轴，均匀分布，且减小，

? × ?× × × × B× ?∴Ei线为一系列顺时针同轴圆环．

× O A C × × × × × 题18-7图 ∴ 作半径为 r 的同轴圆形环路，取顺时针为正，

??d?md?m1d?m则 ?Ei?dr?? ?Ei?2π r???Ei??

L2πrdtdtdt当 r < R时，?m?BScos0??π r2B ? Ei内??rdB

2dt当 r > R时，?m?π R2B ? Ei外??rR2dB 2rdt∵ dB/dt?0，∴Ei内和Ei外线均沿顺时针．

电子初速度为0时，初始时刻电子只受电场力的作用，

???电场力Fe??eEi?meae，

???∴电子加速度 a?ae?Feme 沿均逆时针切向．

2eEi内eEi外erdBeRdB大小： a内?m?2m， a外?m?2merdteeedt∴ aA?er1dB=…= 4.40×107 (m/s2)，

2medt2eRdBaC?=…= 5.63×107 (m/s2)

2mer2dt??aA和aC均逆时针切向．

21

18-8 两根平行的无限长直导线相距为d，载有大小相等方向相反的电流I，电

流变化率dIdt??> 0，一个边长为d的正方形线圈位于导线平面内与一根导线相距d，如图所示．求线圈中的感应电动势 ，并说明线圈中感应电流的方向．(原8题)

?I解：∵ ∞长直导线外一点处 B?0

2π r??在线圈内，B1向外，B2向里

?∴ B?B1?B2，B向外，B↑，

dIId1d2题18-8图

???Id11∵ d?m?B?dS?B?dS?(B1?B2)d?dy?0?(?)dy

2πd?y2d?yddy??Id?ddy?0Id3)??0Idln4 ??0∴ ?m??d?m?0??0?(ln2?ln?2π?d?y322π2π2d?y?∴ ||?d?m?d?? d4?0ln4?dI?0ln 2π3dtdt2π3 顺时针，∴ Ii

由楞次定律可判定为 也为顺时针．

18-9 矩形截面螺线环（尺寸如图所示）上绕有N匝线圈，若线圈中通有电流I，D2通过螺线环截面的磁通量Φm = ?0N I h / 2?．

D1⑴ 求螺线环内外直径之比D1 /D2； ⑵ 若h = 0.01m，N = 100匝，求螺线环的自感系数； ⑶ 若线圈通以交变电流I = I0 cos?t（I0, ?为常数），

h求环内的感应电动势．(原11题)

解：⑴ 取半径 r 的圆为闭合回路，由环路定理

I ???LB?dr??0?I内 ? B?2π r??0NI 题18-9图

∴ 螺线环 B??0NI2π r

??0N2hI0?2πsin? t??r2?NI?NIhD2∴ ?m??B?dS??0?hdr?0 lnr12π rSD12π而已知 Φm = ?0N I h / 2?，比较得 lnD2?1 ? D2D1?e D1N?m?0N2h4??10?7?104?10?2??2?10?5H ⑵ L?i???I2π2π?0N2hI0?did⑶ L??L??L(I0cos? t)?I0L?sin? t?sin? t

dtdt2π

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18-10 在半径为R的长直螺线管中，磁感应强度的大小B以dB/dt 的变化率增

加．有一根细金属杆AG垂直于磁场方向穿过螺线管，如图所示，已知AC = CD = DG = R ，求金属杆AG中的感应电动势，并指出 A、G 两点哪一点的电势高．

解：连接OA、OG构成闭合回路OAGO，通过该? × × ?B回路的磁通量等于通过等边ΔOCD和两个扇形

× × O × × OMC、ODN的磁通量之和． ∵??????60? ∴??30?

等边Δ面积 S1?3R24，

30π R22π R?扇形面积 S2? 36012× A C × × × × D × G 题18-10图

?m??SB? dS??SBcos180?dS

???× ?B × × × O × × 33?2π2RB ??B(S1?2S2)??12× ?× × × N?M d?m33?2π2dB?????R N OAGO =OA + AG + GO??× × 12dtdtA C D G ??AA而 OA??OEi? dl??OEidlcos90?= 0，同理 GO = 0

∴

AG =OAGO?33?2π2dBR > 0，12dtAG方向为

A→G，即G点电势高.

18-11 如图所示，长直导线AC中的电流I沿导线向上，并以dI/dt = 2A/s的速

度均匀增长，在导线附近放一个与之同面的直角三角形线框，其一边与导线平行，求此线框中产生的感应电动势的大小和方向． C(原13题) z C解：建立坐标轴 rOz，取面元 dS， I∵ 斜边方程为 z?0.3?2r

I?0IdS ∴ dS?(0.3?2r)dr， 而 B?

2π r??∴ ?m??B?dS??BdS ssA5cm10cmrdr?0I0.150.3?0(3ln3?2)题18-11图 O r ?(?2)dr?IA5cm10cm2π?0.05r20 π20cm ∴ ???(3ln3?2)dId?m??5.1?10?8(V) ??020πdtdt23

20cm 逆时针方向．

18-12 一个三角形闭合导线，如图放置于xy平面内，在这三角形区域中的磁感

??为z轴方向单位矢量，求?，式中B0和a是常量，k应强度为B?Bx2ye?atk0导线中的感生电动势．

(原15题)

解：∵回路的上边界方程为y?b?x

yb??bb?x∴ ?m??B? dS??BdS???Bdxdy?B0e?at?0x2dx?0ydy

SSb?1B0e?at?0x2(b?x)2dx?1B0b5e?at 260Ozbx题18-12图 ?atd?m15de?1B0ab5e?at， ∴ ????B0b6060dtdt?成右手螺旋，即逆时针方向． 与k

18-13 在垂直图面的圆柱形空间内有一随时间均匀变化的均匀磁场，其磁感应

强度的方向垂直图面向里．在图面内有两条相交于O点夹角为60o 的直导线Oa和Ob，而O点则是圆柱形空间的轴线与图面的交点．此外，在图面内另

??有一半径为r的半圆形导线在上述两条直导线上以速度?匀速滑动．?的方向与∠aOb的角平分线一致，并指向O点，如图所示．在时刻t，半圆环的圆心正好与O点重合，此时磁感应强度的大小为B，磁感应强度大小随时间的变化率为k ( k为正整数)．求此时半圆环导线与两条a × × ?c直线所围成的闭合回路cdOc中的感应电动势 i．

?× ?× × ?× 解：取顺时针为正. BO 回路 cdOc 中的感应电动势有感生电动势 i1 和动生× × × × rd电动势 i2 两种．

× × bd?1d?m?题18-13图 ???B?r2????1r2?dB??1π r2k i1??6dt?22dtdt?弧线cd上的动生电动势等效于弦cd上的：

i2?c??d??(??B)?dl??Bcd??Br ?i1 +

∴

i = i2??Br11?π r2k?(?B?π rk)r 66?B?1π rk时，

6i 顺时针；反之，i 逆时针.

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?18-14 如图所示，长为l的导线杆ab以速度?在导轨adcb上平行移动，杆ab

??在t = 0时位于导轨dc处．如果导轨处于磁感应强度为B?B0sin?t的均匀

?磁场中（?为常数，B0垂直纸面向里，为常矢量），求t时刻导线回路中的感应电动势． × d × × a × × (原1题变) × × ? × × ? × ?B解：规定回路正向沿顺时针．t时刻，ab位于?t处，则 × × × × × ?m?BS?B0sin? t?l? t?B0l? tsin? t

??× c × × b × × 题18-14图

d?md??(B0l? tsin? t)??B0l? (sin? t?? tcos? t) dtdt

18-15 真空中两条相距2a的平行长直导线，通以方向相同，大小相等的电流I，

O、P 两点与两导线在同一平面内，与导线的距离如

图所示，则O点的磁场能量密度wmO =_____0____， P点的磁场能量密度wmP =____wmP2?0I2?____． P9?2a2aIaOaI?解：取B向外为正，则 BO?BO2?BO1?0，

1题18-15图

2BP?BP1?BP2?2π a?0I?2π3a?0I?2?0I， wm?1HB?1B2， ∴?? 3π a2?02

18-16 同轴长电缆由两导体组成，内层是半径为R1的圆柱体，外层是内外半径

分别为R2，R3的圆筒，二导体内电流等值反向均匀分布在横截面上，圆柱与圆筒的磁导率为?1，其间充满不导电的磁导率为?2的均匀介质，如图所示．试求：圆柱与圆筒间单位长度的磁场能量． I(原14题简化)

解：系统具∞长轴对称性，作半径 r 的圆形环路， I???I0内I则 ?H?dr?H?2? r??I0内，∴H?

L2π r题18-16图

I?I当 R1< r

2π r2π r?2II?2I211wm?B2H2? ?222π r2π r8π2 r2Wm??VwmdV??RR21?2I28π2r2π r dr?2?2I24πlnR2 R1 25

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