平面解析几何初步（约18课时）

高三解析几何复习建议 2009.11

一、课程标准要求： 1．平面解析几何初步

（1）直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。

（2）圆与方程①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

（3）在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。

（4）空间直角坐标系①通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置。②通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。 2．圆锥曲线与方程（选修2-1）

（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 （2）经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。

（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的有关性质。

（4）能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何性质（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。

（5）通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。

（6）曲线与方程：结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想。 二、近四年北京高考试题分析 1．知识点分布 年份 理科 2006 选择题 题号 知识点 分数 填空题 题号 知识点 分数 12 三点共线 13 线性规划求最值 解答题 题号 知识点 分数 19双曲线定义求轨迹方程，直线与圆锥曲线（韦达、向量）

2007 2008 6 线性规划求三角形面积（5分） 4 抛物线定义求轨迹 5 线性规划求最值 7 直线和圆的位置关系 （15分） 8 直线与抛物线关系（5分） （10分） （14分） 17 直线方程，圆的性质，双曲线定义求轨迹方程 （14分） 19直线与椭圆（韦达、对称，平面几何知识的综合） （14分） 19双曲线的标准方程、圆的切线方程、曲线和方程 （14分） 2009 10 线性规划求最值 12椭圆定义 （10分） 2．高考试题分析

解析几何是高中数学的重点内容，近年来北京高考理科数学解析几何试题一直稳定在2~3个选择填空题、一个解答题上，分值共19~29分， 占总分值的16%．试题有一定的综合性和灵活性，一般是以解析几何中有关的知识和方法为主，结合平面几何及其他部分的数学知识进行考察。小题必有线性规划求最值，解答题基本以直线与圆锥曲线位置关系为背景，重在考查基本知识和基本方法，结合平面几何或向量知识并考察韦达定理（不回避），体现数与形相互转化的数学思想。注重平面几何知识的综合应用，渗透数形结合、方程的思想．近几年解析几何试题的难度有所下降， 选择题、填空题均属易中等题，且解答题的计算量减少，思考量略增大． 3．热点分析

（1）圆锥曲线与直线位置关系的问题——在直线与圆锥曲线位置关系处设计的试题是高考解析几何解答题最常见的问题.——设而不求、平面几何的作用.

（2）圆锥曲线的定义—— 圆锥曲线定义是圆锥曲线一切几何性质的“根”与“源”，是建立曲线方程的基础，揭示了圆锥曲线上的点与焦点及准线间的关系，是解几综合题的重要背景． （3）函数与方程的思想—— 函数与方程的思想是贯穿于解析几何的一条主线，很多解几综合题往往都是以圆锥曲线的基本量的求解为依托，通过转化，运用函数与方程的思想加以解决． 三、解析几何复习建议

（一）一轮复习要细致，主要的概念、定义、性质以及基础知识、基本方法、基本题型尽力做到人人过关．复习的主要内容包括：直线方程和位置关系；线性规划求最值；圆的方程与直线和圆的位置关系；圆锥曲线的基本量的计算，重点是离心率问题；直线和圆锥曲线的位置关系问题；参数范围问题；最值问题和定（点）值问题；圆锥曲线的综合问题（与平面向量、导数（函数）、数列）.

通过复习让学生熟记直线、圆、圆锥曲线中的基本概念和性质，以及解决解析几何中常见问题的一般方法. 复习时要重视教材的基础作用和示范作用.贯彻“源于课本，高于课本”的原则. （二）复习时要突出“曲线与方程”这一重点内容，强化解析几何的基本思想和方法. 解析几何的基本思想是在平面直角坐标系中，把点与实数对，曲线与方程，区域与不等式统一起来，用代

数方法研究平面上的几何问题.其中最重点的内容是用方程研究曲线，其次是用不等式研究区域问题.坐标法也可以将平面向量与解析几何有机结合起来，可以直接利用坐标把向量的运算形式与平面直角坐标系内的点的坐标形式建立起对应，直接把向量条件转化为点的坐标条件。平面向量与解析几何的结合也通常通过向量运算的几何意义把平行、垂直、共线等几何性质加以转化，利用其几何意义解决有关问题。

（三）解析几何学习过程中学生容易有畏惧心理，缺乏信心．教师要多鼓励,多指导,增强信心.鼓励学生勤动笔，勤动脑。针对学生运算能力弱，尤其是字母运算能力弱的现实， 要多介绍借助于韦达定理设而不求，整体代换等运算策略，适当运用定义，几何性质进行求解．规范解题书写,保证运算的正确率.对求变量范围的问题学生往往无从入手， 要给学生总结求变量范围问题的基本方法．重视课堂教学的引导作用，选择例题主题清晰，教学重点突出，要有普遍性，解题方法具有代表性——即通性通法，通过教师课堂的讲解学生能认识一类题型的解法，并掌握同类问题的一般解法，真正使学生做到“解一题，会一类” .

（四）参考问题——给点方法：

1、明确解析几何的基本思想：曲线与方程、方程与曲线的关系；突出用方程研究曲线、用代数方法研究曲线的几何性质；强调解析几何解决问题的程序性和普适性。圆锥曲线的研究有由曲线条件求方程，由方程得出曲线特性两个方面，有时是先求方程再证特性，体现了两个研究方向的结合，宏观上是完全用代数方法研究几何问题，但是这些几何对象有自身的基本性质，所以微观上几何方法也常常奏效，这又体现了两种研究方法的和谐统一。

2、代数方法研究几何问题，思路比较清晰，但运算有示繁琐，因此减少运算量成为解析几何的重要议题：

一般的，探求圆锥曲线问题的处理方法和规律，主要突出通性通法，常见通法主要有以下几个方面：（一会举几个例子）（1）运用方程（组）求圆锥曲线的基本量；（2）运用函数（不等式）研究圆锥曲线有关的参变量的范围；（3）运用直译法或参数法求动点的轨迹方程；（4）运用“计算”的方法证明圆锥曲线的有关性质；（5）运用一元二次方程研究直线与圆锥曲线相交的问题。 3、直线与圆锥曲线的位置关系，可转化为直线和圆锥曲线的方程公共解问题，体现了方程的思想，数形结合也是解决直线和圆锥曲线位置关系的常用方法，一些最值问题中，经常用函数思想、判别式、根与系数的关系解决中点和弦长等问题（参见例1）。

4、对称问题、轨迹问题、多变量的范围问题、位置问题及最值问题是解析几何的几个热点问题，圆锥曲线的基本性质、基本概念被附以新的背景，以考查学生数学思想方法、数学素养、分析问题和解决问题的能力（参见例2）。

5、研究定点、定值等问题可先猜想结论，由猜想中寻找解题途径，曲线与方程、函数与图像是两类不同的研究对象，它们之间有一定的联系，也存在区别，图像是函数的一种表现形式，而方程

是从曲线的几何特征出发，建立的曲线几何特征的代数关系表达式，用方程研究曲线，是解析几何的思想，它们虽然都体现了数形结合，但是数形结合的不同侧面。

例1、有一对称轴为坐标轴的椭圆，它与直线x+y=1的交点为A、B，又AB?22，AB中点与椭

x22y22圆中心连线的斜率为，求该椭圆的方程。（??1）[（8）也是同类题。]

332x2y2例2、椭圆G：2?2?1(a?b?0)的两个焦点F1(?c,0),F2(c,0)，M是椭圆上一点，且满足

ab??????????FM?F2M?0。 1（1）求离心率e的取值范围；（2?e?1） 2（2）当离心率e取得最小值时，点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为52。

x2y2??1） ①求此椭圆G的方程；（

3216②设斜率k（）的直线l与椭圆G相交于不同的两点A，B，Q为AB的中点，问：A，B两点能否关于过点P(0,?3)，Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，说明理由。 3（(?9494,0)?(0,)）[（9）也是同类题] 22（五）给点例子 1．利用曲线定义的问题

x2y2（1）、设P是椭圆2?2?1(a?b?0)上的一点，两焦点为F1、F2，则|PF1|?|PF2|最大值为

ab_____________________(拓展：最小，参数方程)

（2）、过抛物线y?4x的焦点作直线交抛物线于A ,B 两点，若|AB|=5，则线段AB中点P的横坐标____________

（3）、（08北京理）若点P到直线x=－1的距离比它到点（2，0）的小1，则点P的轨迹为（D） （A）圆

（B）椭圆

（C）双曲线

（D）抛物线

22．数形结合的问题

（4）设a，b∈R，a＋2b＝6，则a＋b的最小值是_______________（参方）

（5）若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点，则实数k的取值范围是_________

2

2

（6）已知x,y?R，且满足方程x2?y2?3(y?0)，则y?1的范围_______

x?33．借助平面几何知识的问题

x2y2（7）已知F1、F2是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，

ab若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是__________________ 4．与函数结合的问题

（8）直线y?kx?1与双曲线x2?y2?1的左支交于A,B两点,直线l过点??2,0?及AB的中点,求直线l在y轴上的截距b的取值范围． 5．对称问题

x2y2y?4x?m，椭圆C（9）已知椭圆C的方程为??1，试确定m的取值范围，使得对于直线43上有不同的两点关于该直线对称． 6．与平面向量结合的问题.

（10）（2007全国Ⅱ理）设F为抛物线y=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FA?FB?FC=0，

2

则|FA|+|FB|+|FC|=（ B ） (A)9

(B) 6

(C)

4

(D) 3

2009年高考数学（理）解析几何解答题选例

1. （2009全国卷Ⅰ理）如图，已知抛物线E:y2?x与圆M:(x?4)2?y2?r2(r?0)相交于A、

B、C、D四个点。

（I）求r得取值范围；

（II）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P坐标 （1）r?(715,4). 21 (2 )(,0)

6222. (2009湖北卷理)过抛物线y?2px(p?0)的对称轴上一点A?a,0??a?0?的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线l:x??a作垂线，垂足分别为M1、N1。

（Ⅰ）当a?（Ⅱ）记

p时，求证：AM1⊥AN1； 2?AMM1、?AM1N1 、?ANN1的面积分别为S1、S2、S3，是否存在?，使得

2对任意的a?0，都有S2??S1S2成立。若存在，求出?的值；若不存在，说明理由。

（Ⅰ）略（Ⅱ）略

x2y233. （2009全国卷Ⅱ理）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，过右焦点F的直线lab3

与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为（I）求a，b的值；

2 2????????????（II）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP?OA?OB成立？

若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。 （1）a?3,b?2

(2) m?2322时,P(,?),l:x?y?12222

m??

2322时,P(,),l:x??y?1 2222

与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为（I）求a，b的值；

2 2????????????（II）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP?OA?OB成立？

若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。 （1）a?3,b?2

(2) m?2322时,P(,?),l:x?y?12222

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2322时,P(,),l:x??y?1 2222

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