2019年四川省雅安市中考数学试题（Word版，含解析）

2019年四川省雅安市中考数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．

1．（3分）﹣2019的倒数是（ ） A．﹣2019

B．2019 C．﹣ D．

2．（3分）32

的结果等于（ ） A．9

B．﹣9

C．5

D．6

3．（3分）如图是下面哪个图形的俯视图（ ）

A． B．

C．

D．

4．（3分）不等式组的解集为（ ） A．6≤x＜8

B．6＜x≤8

C．2≤x＜4

D．2＜x≤8

5．（3分）已知一组数据5，4，x，3，9的平均数为5，则这组数据的中位数是（A．3

B．4

C．5

D．6

6．（3分）下列计算中，正确的是（ ） A．a4

+a4

＝a8

B．a4

?a4

＝2a4

C．（a3

）4

?a2

＝a14

D．（2x2y）3÷6x3y2＝x3

y

7．（3分）若a：b＝3：4，且a+b＝14，则2a﹣b的值是（ ） A．4

B．2

C．20

D．14

）8．（3分）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A1B1C1

相似的是（ ）

A．

B．

C． D．

2

9．（3分）在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）+1，下列说法中错误的是（ ） A．y的最小值为1

B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2

C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小

D．它的图象可以由y＝x的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 10．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AC、BD是对角线，E、F、G、H分别是AD、

2

BD、BC、AC的中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH的形状是（ ）

A．平行四边形

B．矩形

C．菱形

D．正方形

11．（3分）如图，已知⊙O的内接六边形ABCDEF的边心距OM＝2，则该圆的内接正三角形

ACE的面积为（ ）

A．2

B．4

C．6

D．4

12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝x交于点

A1，过A1作x轴的垂线，垂足为B1，过B1作l2的平行线交l1于A2，过A2作x轴的垂线，

垂足为B2，过B2作l2的平行线交l1于A3，过A3作x轴的垂线，垂足为B3…按此规律，则点An的纵坐标为（ ）

A．（）

nB．（）+1

nC．（）

n﹣1

+ D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．

13．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA＝ ． 14．（3分）化简x﹣（x+2）（x﹣2）的结果是 ．

15．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠CBD＝21°，则∠A的度数为 ．

2

16．（3分）在两个暗盒中，各自装有编号为1，2，3的三个球，球除编号外无其它区别，则在两个暗盒中各取一个球，两球上的编号的积为偶数的概率为 ． 17．（3分）已知函数y＝

的图象如图所示，若直线y＝x+m与该图象恰有

三个不同的交点，则m的取值范围为 ．

三、解答题（本大题共7小题，满分69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（10分）（1）计算：|﹣2|+（2）先化简，再求值：（

﹣2019﹣2sin30°

﹣

）÷

，其中a＝1．

0

19．（9分）某校为了解本校学生对课后服务情况的评价，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制成了如下不完整的统计图．

根据统计图：

（1）求该校被调查的学生总数及评价为“满意”的人数； （2）补全折线统计图；

（3）根据调查结果，若要在全校学生中随机抽1名学生，估计该学生的评价为“非常满意”或“满意”的概率是多少？

20．（9分）某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表：

商品 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 乙 x+60 200 x 100 若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同． （1）求甲、乙两种商品的进价是多少元？

（2）若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为a件（a≥30），设销售

完50件甲、乙两种商品的总利润为w元，求w与a之间的函数关系式，并求出w的最小值．

21．（10分）如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF经过O，分别交AB、CD于点E、

F，EF的延长线交CB的延长线于M．

（1）求证：OE＝OF；

（2）若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．

22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+m的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A、B两点，已知A（2，4） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求B点的坐标；

（3）连接AO、BO，求△AOB的面积．

23．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F． （1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．

24．（12分）已知二次函数y＝ax（a≠0）的图象过点（2，﹣1），点P（P与O不重合）是

2

图象上的一点，直线l过点（0，1）且平行于x轴．PM⊥l于点M，点F（0，﹣1）． （1）求二次函数的解析式；

（2）求证：点P在线段MF的中垂线上；

（3）设直线PF交二次函数的图象于另一点Q，QN⊥l于点N，线段MF的中垂线交l于点

R，求的值；

（4）试判断点R与以线段PQ为直径的圆的位置关系．

2019年四川省雅安市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．

1．（3分）﹣2019的倒数是（ ） A．﹣2019

B．2019

C．﹣

D．

【分析】直接利用倒数的定义得出答案． 【解答】解：﹣2019的倒数是：﹣故选：C．

【点评】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键． 2．（3分）3的结果等于（ ） A．9

B．﹣9

2

2

．

C．5 D．6

【分析】根据乘方的意义可得：3＝3×3＝9； 【解答】解：3＝3×3＝9； 故选：A．

【点评】本题考查有理数的乘方；熟练掌握乘方的运算法则是解题的关键． 3．（3分）如图是下面哪个图形的俯视图（ ）

2

A． B．

C． D．

【分析】根据各选项的俯视图进行判断即可．

【解答】解：A．球的俯视图为一个圆（不含圆心），不合题意；

B．圆柱的俯视图为一个圆（不含圆心），不合题意； C．圆台的俯视图为两个同心圆，不合题意； D．圆锥的俯视图为一个圆（含圆心），符合题意；

故选：D．

【点评】本题主要考查了简单几何体的三视图，俯视图是从上往下看得到的平面图形． 4．（3分）不等式组A．6≤x＜8

的解集为（ ） B．6＜x≤8

C．2≤x＜4

D．2＜x≤8

【分析】分别解出两不等式的解集，再求其公共解． 【解答】解：由①得x＞6， 由②得x≤8，

∴不等式组的解集为6＜x≤8， 故选：B．

【点评】本题考查了解一元一次方程组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

5．（3分）已知一组数据5，4，x，3，9的平均数为5，则这组数据的中位数是（ ） A．3

B．4

C．5

D．6

【分析】先根据平均数的定义求出x的值，再把这组数据从小到大排列，然后求出最中间两个数的平均数即可．

【解答】解：∵5，4，x，3，9的平均数为5， ∴（5+4+x+3+9）÷5＝5， 解得：x＝4，

把这组数据从小到大排列为：3，4，4，5，9， 则这组数据的中位数是4； 故选：B．

【点评】此题考查了平均数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，关键是

求出x的值．

6．（3分）下列计算中，正确的是（ ） A．a+a＝a C．（a）?a＝a

3

4

2

14

4

4

8

B．a?a＝2a

4

4

4

D．（2xy）÷6xy＝xy

23323

【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．

【解答】解：A、a+a＝2a，故此选项错误；

4

4

4

B、a?a＝a，故此选项错误；

4

4

8

C、（a）?a＝a，正确；

3

4

2

14

D、（2xy）÷6xy＝8xy÷6xy＝xy，故此选项错误；

故选：C．

【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 7．（3分）若a：b＝3：4，且a+b＝14，则2a﹣b的值是（ ） A．4

B．2

C．20

D．14

233263323

【分析】根据比例的性质得到3b＝4a，结合a+b＝14求得a、b的值，代入求值即可． 【解答】解：由a：b＝3：4知3b＝4a， 所以b＝

．

＝14，

所以由a+b＝14得到：a+解得a＝6． 所以b＝8．

所以2a﹣b＝2×6﹣8＝4． 故选：A．

【点评】考查了比例的性质，内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． 8．（3分）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A1B1C1

相似的是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．

【解答】解：因为△A1B1C1中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等， 故选：B．

【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．

9．（3分）在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）+1，下列说法中错误的是（ ） A．y的最小值为1

B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2

C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小

D．它的图象可以由y＝x的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 【分析】根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【解答】解：二次函数y＝（x﹣2）+1，a＝1＞0，

∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，1），当x＝2时，y有最小值1，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小； 故选项A、B的说法正确，C的说法错误；

根据平移的规律，y＝x的图象向右平移2个单位长度得到y＝（x﹣2），再向上平移1个单位长度得到y＝（x﹣2）+1； 故选项D的说法正确， 故选：C．

【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

10．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AC、BD是对角线，E、F、G、H分别是AD、

2

2

2

2

2

2

BD、BC、AC的中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH的形状是（ ）

A．平行四边形

B．矩形

C．菱形

D．正方形

【分析】根据三角形的中位线定理可得，EH平行且等于CD的一半，FG平行且等于CD的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到EH和FG平行且相等，所以EFGH为平行四边形，又因为EF等于AB的一半且AB＝CD，所以得到所证四边形的邻边

EH与EF相等，所以四边形EFGH为菱形．

【解答】解：∵E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，

∴在△ADC中，EH为△ADC的中位线，所以EH∥CD且EH＝CD；同理FG∥CD且FG＝CD，同理可得EF＝AB， 则EH∥FG且EH＝FG，

∴四边形EFGH为平行四边形，又AB＝CD，所以EF＝EH， ∴四边形EFGH为菱形． 故选：C．

【点评】此题考查学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判断进行证明，是一道综合题．

11．（3分）如图，已知⊙O的内接六边形ABCDEF的边心距OM＝2，则该圆的内接正三角形

ACE的面积为（ ）

A．2

B．4

C．6

D．4

【分析】连接OC、OB，过O作ON⊥CE于N，证出△COB是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．

【解答】解：如图所示，连接OC、OB，过O作ON⊥CE于N，

∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠COB＝60°， ∵OC＝OB，

∴△COB是等边三角形， ∴∠OCM＝60°， ∴OM＝OC?sin∠OCM， ∴OC＝

＝

（cm）．

∵∠OCN＝30°， ∴ON＝OC＝∴CE＝2CN＝4，

∴该圆的内接正三角形ACE的面积＝3×故选：D．

＝4

，

，CN＝2，

【点评】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OC是解决问题的关键． 12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝

x+1与直线l2：y＝x交于点

A1，过A1作x轴的垂线，垂足为B1，过B1作l2的平行线交l1于A2，过A2作x轴的垂线，

垂足为B2，过B2作l2的平行线交l1于A3，过A3作x轴的垂线，垂足为B3…按此规律，则点An的纵坐标为（ ）

A．（）

nB．（）+1

nC．（）

n﹣1

+ D．

，），依

【分析】联立直线l1与直线l2的表达式并解得：x＝次求出：点A2的纵坐标为、A3的纵坐标为

，y＝，故A1（

，即可求解．

，y＝，故A1（

，）；

【解答】解：联立直线l1与直线l2的表达式并解得：x＝则点B1（

，0），则直线B1A2的表达式为：y＝

x+b，

x﹣，

将点B1坐标代入上式并解得：直线B1A2的表达式为：y3＝将表达式y3与直线l1的表达式联立并解得：x＝同理可得A3的纵坐标为

，

n，y＝，即点A2的纵坐标为；

…按此规律，则点An的纵坐标为（）， 故选：A．

【点评】本题考查了两直线的交点，要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系．

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．

13．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA＝ 【分析】根据正弦的定义解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，sinA＝故答案为：．

【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．

＝，

．

14．（3分）化简x﹣（x+2）（x﹣2）的结果是 4 ． 【分析】先根据平方差公式化简，再合并同类项即可． 【解答】解：x﹣（x+2）（x﹣2）＝x﹣x+4＝4． 故答案为：4．

【点评】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键．

15．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠CBD＝21°，则∠A的度数为 69° ．

2

2

2

2

【分析】直接利用圆周角定理得出∠BCD＝90°，进而得出答案． 【解答】解：∵△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∵∠CBD＝21°，

∴∠A＝∠D＝90°﹣21°＝69°． 故答案为：69°

【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，正确掌握圆周角定理是解题关键． 16．（3分）在两个暗盒中，各自装有编号为1，2，3的三个球，球除编号外无其它区别，则在两个暗盒中各取一个球，两球上的编号的积为偶数的概率为

．

【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两球上的编号的积为偶数的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中两球上的编号的积为偶数的结果数为5， 所以两球上的编号的积为偶数的概率＝． 故答案为．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．

17．（3分）已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝x+m与该图象恰有

三个不同的交点，则m的取值范围为 0＜m＜ ．

【分析】直线与y＝x有一个交点，与y＝﹣x+2x有两个交点，则有m＞0，x+m＝﹣x+2x时，△＝1﹣4m＞0，即可求解．

【解答】解：直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点， 则直线与y＝x有一个交点， ∴m＞0，

∵与y＝﹣x+2x有两个交点， ∴x+m＝﹣x+2x， △＝1﹣4m＞0， ∴m＜， ∴0＜m＜； 故答案为0＜m＜．

【点评】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；能够根据条件，数形结合的进行分析，可以确定m的范围．

三、解答题（本大题共7小题，满分69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（10分）（1）计算：|﹣2|+（2）先化简，再求值：（

﹣2019﹣2sin30°

﹣

）÷

，其中a＝1．

0

22

2

2

【分析】（1）根据绝对值、零指数幂和特殊角的三角函数值可以解答本题；

（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．

【解答】解：（1）|﹣2|+＝2+3﹣1﹣2× ＝2+3﹣1﹣1 ＝3； （2）（

﹣

﹣2019﹣2sin30°

0

）÷

＝[＝（＝＝

，

）

]

当a＝1时，原式＝．

【点评】本题考查分式的化简求值、零指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．

19．（9分）某校为了解本校学生对课后服务情况的评价，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制成了如下不完整的统计图．

根据统计图：

（1）求该校被调查的学生总数及评价为“满意”的人数； （2）补全折线统计图；

（3）根据调查结果，若要在全校学生中随机抽1名学生，估计该学生的评价为“非常满意”或“满意”的概率是多少？

【分析】（1）首先求得总人数，然后根据百分比求得人数即可； （2）根据（1）补全折线统计图即可；

（3）利用概率公式求解即可．

【解答】解：（1）由折线统计图知“非常满意”9人，由扇形统计图知“非常满意”占15%，所以被调查学生总数为9÷15%＝60（人），所以“满意”的人数为60﹣（9+21+3）＝27（人）； （2）如图：

（3）所求概率为

＝．

【点评】本题考查了统计图及概率公式的知识，能够从统计图中整理出进一步解题的有关信息是解答本题的关键，难度不大．

20．（9分）某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表：

商品 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 乙 x+60 200 x 100 若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同． （1）求甲、乙两种商品的进价是多少元？

（2）若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为a件（a≥30），设销售完50件甲、乙两种商品的总利润为w元，求w与a之间的函数关系式，并求出w的最小值．

【分析】（1）根据用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同列出方程，解方程即可；

（2）根据总利润＝甲种商品一件的利润×甲种商品的件数+乙种商品一件的利润×乙种商品的件数列出w与a之间的函数关系式，再根据一次函数的性质即可求出w的最小值． 【解答】解：（1）依题意可得方程：

＝

，

解得x＝60，

经检验x＝60是方程的根， ∴x+60＝120元，

答：甲、乙两种商品的进价分别是120元，60元；

（2）∵销售甲种商品为a件（a≥30）， ∴销售乙种商品为（50﹣a）件，

根据题意得：w＝（200﹣120）a+（100﹣60）（50﹣a）＝40a+2000（a≥30）， ∵40＞0，

∴w的值随a值的增大而增大，

∴当a＝30时，w最小值＝40×30+2000＝3200（元）．

【点评】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系．

21．（10分）如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF经过O，分别交AB、CD于点E、

F，EF的延长线交CB的延长线于M．

（1）求证：OE＝OF；

（2）若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．

【分析】（1）根据平行四边形的性质得到OA＝OC，AB∥CD，证明△AOE≌△COF，根据全等三角形的性质证明结论；

（2）过点O作ON∥BC交AB于N，根据相似三角形的性质分别求出ON、BN，证明△ONE∽△MBE，根据相似三角形的性质列式计算即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AB∥CD，BC＝AD， ∴∠OAE＝∠OVF， 在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF；

（2）解：过点O作ON∥BC交AB于N， 则△AON∽△ACB， ∵OA＝OC，

∴ON＝BC＝2，BN＝AB＝3， ∵ON∥BC， ∴△ONE∽△MBE， ∴

＝

，即＝

，

解得，BE＝1．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+m的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A、B两点，已知A（2，4） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求B点的坐标；

（3）连接AO、BO，求△AOB的面积．

【分析】（1）由点A的坐标利用一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数解析式；

（2）联立方程，解方程组即可求得；

（3）求出直线与y轴的交点坐标后，即可求出S△AOD和S△BOD，继而求出△AOB的面积． 【解答】解：（1）将A（2，4）代入y＝﹣x+m与y＝（x＞0）中得4＝﹣2+m，4＝， ∴m＝6，k＝8，

∴一次函数的解析式为y＝﹣x+6，反比例函数的解析式为y＝；

（2）解方程组∴B（4，2）；

得或，

（3）设直线y＝﹣x+6与x轴，y轴交于C，D点，易得D（0，6）， ∴OD＝6，

∴S△AOB＝S△DOB﹣S△AOD＝×6×4﹣×6×2＝6．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式；利用分割图形求面积法求出△AOB的面积．

23．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F． （1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．

【分析】（1）连接OC，AC，根据平行线的性质得到∠1＝∠ACB，由圆周角定理得到∠1

＝∠ACB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，求得∠DBE＝∠DCE，根据切线的性质得到∠DBO＝90°，求得OC⊥DC，于是得到结论； （2）解直角三角形即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OC，AC， ∵OE∥AC， ∴∠1＝∠ACB， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠1＝∠ACB＝90°，

∴OD⊥BC，由垂径定理得OD垂直平分BC， ∴DB＝DC， ∴∠DBE＝∠DCE， 又∵OC＝OB， ∴∠OBE＝∠OCE， 即∠DBO＝∠OCD，

∵DB为⊙O的切线，OB是半径， ∴∠DBO＝90°， ∴∠OCD＝∠DBO＝90°， 即OC⊥DC， ∵OC是⊙O的半径， ∴DC是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°， ∴∠3＝60°，又OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠COF＝60°， 在Rt△COF中，tan∠COF＝∴CF＝4

．

，

【点评】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

24．（12分）已知二次函数y＝ax（a≠0）的图象过点（2，﹣1），点P（P与O不重合）是图象上的一点，直线l过点（0，1）且平行于x轴．PM⊥l于点M，点F（0，﹣1）． （1）求二次函数的解析式；

（2）求证：点P在线段MF的中垂线上；

（3）设直线PF交二次函数的图象于另一点Q，QN⊥l于点N，线段MF的中垂线交l于点

2

R，求的值；

（4）试判断点R与以线段PQ为直径的圆的位置关系．

【分析】（1）把点（2，﹣1）代入函数表达式，即可求解； （2）y1＝﹣

x1，即x1＝﹣4y1，PM＝|1﹣y1|，又PF＝

＝|y1﹣1|＝PM，即可求解；

22

＝

（3）证明△PMR≌△PFR（SAS）、Rt△RFQ≌Rt△RNQ（HL），即RN＝FR，即MR＝FR＝RN，即可求解；

（4）在△PQR中，由（3）知PR平分∠MRF，QR平分∠FRN，则∠PRQ＝（∠MRF+∠FRN）＝90°，即可求解．

【解答】解：（1）∵y＝ax（a≠0）的图象过点（2，﹣1），

2

∴﹣1＝a×2，即a＝，∴y＝﹣x；

（2）设二次函数的图象上的点P（x1，y1），则M（x1，1），

22

y1＝﹣x1，即x1＝﹣4y1，PM＝|1﹣y1|，

又PF＝即PF＝PM，

∴点P在线段MF的中垂线上； （3）连接RF，

∵R在线段MF的中垂线上， ∴MR＝FR，

又∵PM＝PF，PR＝PR， ∴△PMR≌△PFR（SAS）， ∴∠PFR＝∠PMR＝90°， ∴RF⊥PF，

连接RQ，又在Rt△RFQ和Rt△RNQ中，

∵Q在y＝﹣x的图象上，由（2）结论知∴QF＝QN， ∵RQ＝RQ，

∴Rt△RFQ≌Rt△RNQ（HL）， 即RN＝FR， 即MR＝FR＝RN， ∴

＝1；

2

22

＝＝|y1﹣1|＝PM，

（4）在△PQR中，由（3）知PR平分∠MRF，QR平分∠FRN， ∴∠PRQ＝（∠MRF+∠FRN）＝90°，

∴点R在以线段PQ为直径的圆上．

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、中垂线、圆的基本知识等，其中（3），证明△PMR≌△PFR（SAS）、Rt△RFQ≌Rt△RNQ（HL）是本题解题的关键．

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