四边形中“新定义”型试题探究备课讲稿

四边形中“新定义”型试题探究

浙江省象山县丹城中学 王赛英 徐敏贤 邮编 315700

所谓“新定义”型试题，是指在试题中给出一个考生从未接触过的新概念，要求考生现学现用，主要考查考生阅读理解能力、应用新知识能力、逻辑推理能力和创新能力.给“什么”，用“什么”，是 “新定义”型试题解题的基本思路.以四边形为背景的几何 “新定义”型试题，看似平淡无奇，仔细研读却发现试题韵味无穷，极具探究价值和选拔功能.求解这类试题的关键是：正确理解新定义，并将此定义作为解题的依据，同时熟练掌握相关的基本概念、性质,把握图形的变化规律.

一、以特殊点为契机进行 “新定义”

例1 （2007年宁波市中考数学试题）四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l ，点P 为四边形ABCD 对角线AC 所在直线上的一点，PD=PB ，PA≠PC ，则点P 为四边形ABCD 的准等距点．

(1)如图2，画出菱形ABCD 的一个准等距点．

(2)如图3，作出四边形ABCD 的一个准等距点(尺规作图,保留作

图痕迹，不要求写作法)．

(3)如图4，在四边形ABCD 中，P 是AC 上的点，PA≠PC ，延长

BP 交CD 于点E ，延长DP 交BC 于点F ，且∠CDF=∠CBE ，CE=CF ．求

证：点P 是四边形ABCD 的准等距点．

(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明)．

解:（1）如图2，连结AC,在AC 上任取除AC 中点外的点P,点P 即为所画点．

（2）如图3，连结BD,作BD 的中垂线交直线AC 于点P,因点P 不是AC 的中点,故点P 即为所求作点．

（3）如图4，连结DB ，在△DCF 与△BCE 中，∠CDF=∠CBE ， ∠DCF=∠BCE ，CF=CE.∴△DCF ≌△BCE(AAS)，∴CD=CB, ∴∠CDB=∠CBD, ∴∠PDB=∠PBD ， ∴PD=PB ， ∵PA≠PC , ∴点P 是四边形ABCD 的准等距点.

（4）①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线时，准等距点的个数为0个；

②四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个． 图2 图1

图3 D C B A P

图4

D E C F

B P

A 图4

③当四边形的对角线不互相垂直，但互相平分时，准等距点的个数为0个；

④当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个；

⑤当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个.

评析：本道题以特殊点为契机，创设了一个全新的概念——四边形的准等距点.第（1）小题是新定义的简单应用.第（2）小题根据新定义的内涵作图，其实质作一对角线的中垂线与另一对角线的交点，且这一交点不在另一对角线的中点上；思维敏锐、镇定从容的同学，从作图中不难发现一般的四边形等距点可能为0、1、2、无数个.第（3）小题，常中见新、拙中藏巧，利用新定义及三角形有关知识就可使命题获证.第（4）小题则难度极大，对分析问题能力、分类讨论能力、抽象思维能力、归纳能力及语言表达能力提出了极高的要求.好在（1）、（2）两小题解决后累积的经验，为第（4）小题解决铺设了平台，尤其是第（2）小题画图时产生的灵感，为第（4）小题的解决指引着思维的方向.于是，类比、联想能力强,思维敏捷的同学会从对角线位置关系入手，对四边形等距点个数进行分类研究；思维严密、深刻的同学，会根据对角线垂直与否及是否平分，分成五类，最后，经抽象、归纳成四类.

二、以特殊边为契机边进行 “新定义”

例2 （2007年北京市中考数学试题）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；

（2）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，设CD 、

BE 相交于点O ，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=12

∠A. 请你写出图中一个与∠A 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；

（3）在△ABC 中，如果∠A 是不等于60°的锐角，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且∠DCB=∠EBC=12

∠A.探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.

解：（1）平行四边形、等腰梯形等.

（2）答：与∠A 相等的角是∠BOD （或∠COE ）.四边形DBCE 是等对边四边形.

（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE.

证明：如图5，作CG ⊥BE 于G 点，作BF ⊥CD 交CD 延长线于F 点，∴∠F=900= ∠EGC. ∵ 12

DCB EBC A ∠=∠=∠，BC 为公共边，∴BCF CBG △≌△. ∴BF=CG.∵∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB ，∠BEC=∠ABE+∠A ， ∴∠BDF=∠BEC ，又∵∠F= ∠EGC ，∴ BDF CEG △≌△，∴BD=CE ，∴四边形DBCE 是等对边四边形.

评析：此题以一组对边相等关系为契机，创设了一个全新的概念——等对边四边形.语言精练,设问流畅，层次感强.解决此题，需较强的分析问题能力、推理论证能力. 第（1）小题是新定义的简单应用.第（2）小题的第一问，利用三角形的内外角的数量关系即可解决；而第二问，易得猜想：BD=CE ，四边形DBCE 为等对边四边形，但凭直角得到的猜想不一定B O A D E C F G 图5

可靠，为此大多数考生会设法证明自己的猜想.由公共边BC,∠DCB=∠EBC=12∠A=30°,∠BOD=∠COE=60°这些条件及要证的猜想BD=CE ，不难想到添辅助线的方法：分别过点

B 、

C 作C

D 、B

E 的垂线,从而证明自己的猜想.第（3）小题完全可类比第（2）小题的第二问进行，先证BC

F CB

G △≌△，再证得BDF CEG △≌△，继而使问题获得解决；当然，第（3）小题，也可作∠HCB=∠DBC 交BE 于点

H ，构造全等三角形△BDC 与△CHB ，得BD=CH ，再证CH=CE ，也可使问题获得解决.

三、以特殊角为契机进行 “新定义”

例3（2006年安徽省中考数学试题）如图6，凸四边形 ABCD 中，如果点P 满足∠APD ＝∠APB =α.且∠BPC ＝∠CPD ＝β，则称点P 为四边形 ABCD 的一个半等角点． ( l ）在图7正方形 ABCD 内画一个半等角点P ，且满足α≠β.

( 2 ）在图8四边形 ABCD 中画出一个半等角点P ，保留画图痕迹（不需写出画法） . ( 3 ）若四边形 ABCD 有两个半等角点P 1 、P 2（如图9 ) ，证明线段P 1 P 2上任一点也是它的半等角点 .

解：（1）所画的点P 在AC 上且不是AC 的中点和AC 的端点，即可.

（2）画点B 关于AC 的对称点B ′，延长D B ′交AC 于点P ，点P 即为所求的点.

（3）连P 1A 、P 1D 、P 1B 、P 1C 和P 2D 、P 2B ，根据题意,∠A P 1D=∠A P 1B ，∠ D P 1C=∠B P 1C ，∴∠A P 1B+∠B P 1C=1800, ∴P 1在AC 上，同理，P 2也在AC 上. 在△D P 1 P 2和△B P 1 P 2中 ∠D P 1 P 2=∠B P 1 P 2，∠D P 2 P 1=∠B P 2P 1，∵P 1 P 2= P 1 P 2，∴△D P 1 P 2≌△B P 1 P 2，∴P 1D=P 1B ，P 2D=P 2B ，∴B 、D 关于AC 对称.设P 是P 1 P 上任一点，连结PD 、PB ，由对称性，得∠DPA =∠BPA ，∠DPC=∠BPC ，∴点P 是四边形的半等角点.

评析：此题以顶点相同的四个角满足特殊的数量、位置关系为契机, 创设了一个全新的概念——四边形半等角点.第（1）小题是新定义的直接应用.第（2）小题，语言简洁、精练，看似平淡，实则蕴涵丰富的思维内涵, 突出考查了学生灵活运用基础知识解决问题的能力.通过分析，发现所求作的点在对角线AC 上，且∠DPA =∠BPA ，但要画出点P 仍不容易；继续分析，发现∠DPB 关于直线AC 对称，点B 关于AC 的对称点B ′在DP 上，至此，才峰回路转，柳暗花明.第（3）小题要证明线段P 1 P 2上任一点也是它的半等角点，需先证A 、P 1 、P 2、B 四点在一直线上，再证线段P 1 P 2上任一点满足条件∠DPA =∠BPA ，∠DPC= ∠BPC ，从而使问题获证，此小题对思维的严密性提出了较高的要求.

四、以特殊对角线为契机进行 “新定义”

例4 (2006年北京市中考数学试题)我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：

（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；

（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为600时，这对600角所对的两边B ′ 图6 图9

图7 A D P 图8 P B I A C

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