2012届高三一轮复习名师一号文科数学第五模块平面向量综合检测卷

第五模块 平面向量综合检测

(时间120分钟,满分150分)

一?选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(20102福建)若a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是|a|=5的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:由x=4可得a=(4,3),∴|a|=5. 反之,由|a|=5,可得x=±4. 答案:A

2.设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-2a)共线,则λ=( )

12A.0 B.-

C.-2 D.

12

解析:由题意得a+λb=-k(b-2a),∴??2k?1????k,

∴λ=-

12.

答案:B

3.(2011?江西省南昌一中、南昌十中高三联合考试)已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,c=3a+b,d=λa-b,若c⊥d,则实数λ的值为( )

1

A.

7274 B.-

7274

C. D.-

解析:∵c⊥d,∴c?d=0,

∴(3a+b)?(λa-b)=3λa+(λ-3)a?b-b=0, ∵|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°, ∴a=1,b=4,a?b=1,

742

2

2

2

∴3λ+(λ-3)-4=0,∴4λ=7,λ=.

答案:C

4.(2011?浙江省温州市高三八校联考)已知圆C的半径为3,直径AB上一点D使????????????????AB?3AD,E,F为另一直径的两个端点,则DE?DF=( )

A.-3 B.-4 C.-8 D.-9

解析:利用特殊值法,不妨令EF⊥AB,交AB于C. ????????∵AB?3AD,且圆C的半径为3, ????????∴|DC|=1,∴|DE|=10, ∴cos∠BDE=

1010,

∴cos∠EDF=2cos2∠BDE-1=-

45.

????????∴DE?DF??4?10?103???=-8.

?5?2

答案:C

5.(2011?安徽省合肥市高校附中高三联考)在边长为3的正三角形ABC中,点M、N分别

???????????????????????????满足AM??2BM,2BN?NC,则|CM?AN|=( )

A.3 B.2 C.22 D.23

??????????解析:如图所示,∵AM??2BM, ?????2????∴AM?AB,

3????????????1????∵2BN?NC,∴BN?BC.

3??????????????2????????CM?AM?AC?AB?AC.

3????????????????1????????1????????AN?AB?BN?AB?BC?AB?(AC?AB)

33?1????2????AB?AC. 33?????????4????2????∴CM?AN?AB?AC,

33??????????24?????????16???16???2AB?AC2?AB?AC ∴|CM?AN|?999169=16+4-33333cos60°=20-8=12,

?????????∴|CM?AN|?23. 答案:D

6.(2011?河北省正定中学高三上学期第三次考试)若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)?b=0,则a与b的夹角为( )

3

A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:∵(2a+b)?b=0,∴2a?b+b2=0,

∴2|a|?|b|?cosθ+|b|2

=0,其中θ是a与b的夹角,

∵|a|=|b|,∴cosθ=-12,∴θ=120°.

答案:C

7.(2011?江西省丰城中学高三上学期第三次月考)已知在△ABC中,∠A=120°,记????????????????α=????BAcosA?????BC?CA?CB,则向量α与β的夹角为( ) |BA||BC|cosC,β=???|CA|cosA????|CB|cosBA.30° B.60° C.90° D.120° 解析:∵α?????AC=0,β?????AB=0, ????∴α⊥AC,β⊥????AB,

∵∠A=120°,∴α与β的夹角为60°. 答案:B

8.(2011?辽宁省建昌高三上学期第三次月考)已知向量

a=(sinx,cosx),b=(sinx+cosx,sinx-cosx)(x∈R),若a⊥b,则x的取值集合为( )

A.??x|x?k?|2??8,k?Z?? B.??xx?k???,k?????8Z?

?C.??x|x?k??4,k?Z?? D.????2???x|x?k???4,k?Z?

?解析:∵a⊥b,∴a?b=0,

∴sinx(sinx+cosx)+cosx(sinx-cosx)=0,

4

∴sinx+2sinxcosx-cosx=0,

22

∴sin2x-cos2x=0,∴2sin?2x??????=0, 4?∴2x-

?4=kπ,k∈Z,∴x=

k?2??8,k∈Z.

答案:A

9.(2011?山东省罗美中学高三上学期测试)设向量a与b的夹角为θ,定义a与b的“向量积”:a3b是一个向量,它的模|a3b|=|a|?|b|?sinθ,若a=?3,?1,b=1,3,则|a3b|=( )

????A.3 B.2 C.23 D.4 解析:cosθ=

a?b|a|?|b|=

?232?2??32,∴sinθ=.

21∴|a3b|=|a|?|b|?sinθ=2323

12=2.

答案:B

10.(2011?湖北省武汉中学高三12月月考)线段AB上的一点C,直线AB外一点P,满足

????????????????????????????????PA?PCPB?PC?????????,I为PC上一点,且|PA|?|PB|?2,|PA?PB|?25,|PA||PB|????????????????ACAP?BI?BA+λ??????????|AC||AP????????BI?BA?的值为( ) ?(λ>0),则???|?|BA|A.1 B.2

C.5 D.5 -1 解析:由题意可知I是△ABP的内心,

5

????????????∵|PA?PB|?25,∴|AB|?25.

????????设|BD|=x,则|AD|?25?x,

根据过圆外一点,做圆的切线,切线长相等,

????????∴|PA|?|PB|?(25?x)?x?2,

∴x=5-1. ??????????????????BI?BA????表示BI在BA上的投影,即|BD|. |BA|???????BI?BA??故???|BA|5?1.

答案:D

二?填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上.

11.(2011?江西省南昌一中、南昌十中高三联合考试)已知向量a=(3,4),b=(sinα,cosα),且a∥b,则tan2α=________.

34解析:∵a∥b,∴3cosα-4sinα=0,∴tanα=.

tan2α=

2tan?1?tan?22??342?247.

?3?1????4?6

答案:

247

12.(2011?福建省厦门外国语学校高三11月月考)已知点

????????A(1,0),B(2,-1),C(0,1),D(-1,2),则AB与CD的夹角大小为________.

????????????解析:AB?(1,?1),CD?(?1,1)??AB,

????????∴AB与CD方向相反, ????????∴AB与CD的夹角为180°.

答案:180°

13.(2011?山东省罗美中学高三上学期测试)已知△AOB,点P在直线AB上,且满足

????????????????|PA|?=________. OP?tOB?2tPA,t∈R,则???|PB|????????????????解析:∵OP?tOB?2t(OA?OP),

????????????∴(2t+1)OP?2tOA?tOB,

????∴OP?2t2t?1????OA?t2t?1????OB,

∵A、B、P三点共线,

2t2t?1t2t?1∴?=1,∴t=1.

????2????1????∴OP?OA?OB,

33????1????∴AP?PB.

2????|PA|1??. ∴???|PB|27

答案:

12

14.(2009?江西第一次联考)如图,在平面斜坐标系xOy中,∠xOy=60°,平面上任一点P

????在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的:若OP=xe1+ye2(e1、e2分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量),则点P的斜坐标为(x,y).若点P满足|OP|=1,则点P在斜坐标系xOy中的轨迹方程是________.

????

????解析:由OP=xe1+ye2

????1又|OP|=1,∴x2+y2+2xy3=1,

2即x+y+xy=1. 答案:x+y+xy=1

????15.如图,在△ABC中,AD⊥AB,BC?2

2

22

????????????????3BD,|AD|?1 ,则AC?AD=________.

????解析:∵BC?????????????3BD,∴DC?(3?1)BD,

????????????????????∴AC?AD?DC?AD?(3?1)BD

8

?????????????AD?(3?1)(AD?AB)

?????????3AD?(3?1)AB.

∵AD⊥AB,∴AD?AB=0,

????????????????????∴ACoAD?[3AD?(3?1)AB]?AD

?????????????23AD?3. 答案:3

三?解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.

????????16.(2011?福建厦门外国语学校高三11月月考)四边形ABCD中,AB?(6,1),BC

????=(x,y),CD =(-2,-3),

????????(1)若BC∥DA,试求x与y满足的关系式;

????????(2)满足(1)的同时又有AC⊥BD,求x,y的值及四边形ABCD的面积. ????解:BC =(x,y),

????????????????????DA??AD??(AB?BC?CD)=-(x+4,y-2)=(-x-4,-y+2).

????????(1)∵BC∥DA,则有x?(-y+2)-y?(-x-4)=0,

化简得,x+2y=0.

????????????(2)AC?AB?BC?(x?6,y?1),

9

????????????BD?BC?CD?(x?2,y?3).

????????又AC⊥BD,则(x+6)?(x-2)+(y+1)?(y-3)=0,

化简有:x2+y2+4x-2y-15=0.

?x?2y?0,?X2联立??y?4x?2y?15?0,2

解得??x??6?y?3或??x?2,?y??1.

????????????????∵BC∥DA,AC⊥BD,则四边形ABCD为对角线互相垂直的梯形,

?????????x??6当?时,AC?(0,4),BD =(-8,0),

y?3?此时SABCD=

12?????????|AC|?|BD|=16.

?????????x?2当?时,AC?(8,0),BD =(0,-4).

y??1?此时SABCD=

12?????????|AC|?|BD|=16.

????????17.(2011?浙江省杭州市七校高三上学期期中联考)在△ABC中,满足AB与AC的夹角

为60°,M是AB的中点.

????????????????????(1)若|AB|?|AC|,求向量AB?2AC与AB的夹角的余弦值;

?????????????(2)若|AB|=2,|BC|?23 ,在AC上确定一点D的位置,使得DB?DM达到最小,并求

出最小值.

????????????????????|AB|?|AC|?a,AB?2AC与AB解:(1)设的夹角为θ,

10

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