23 2008年北京市朝阳区中考数学一模试卷

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23 2008年北京市朝阳区中考数学一模试卷

第Ⅰ卷(机读卷 共32分)

一、选择题(共8个小题，每小题4分，共32分) 1．－4的倒数是( ) A．4

B．－4

C．

1 4

D．

1 4

2．下列各式计算正确的是( ) A．3x－2x＝1 B．(x2)3＝x5 C．x3·x＝x4 D．(a＋b)(b－a)＝a2－b2

3．人体中红细胞的直径约为0.0000077m，将数字0.0000077用科学记数法表示为( )

－－

A．7.7×105 B．7.7×106

－－

C．77×107 D．0.77×105

4．要比较两位同学在五次体育测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是( ) A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 5．函数y

x 2

中，自变量x的取值范围是( ) x

A．x≥－2且x≠0 B．x≥－2 C．x＞－2且x ≠0 D．x＞－2

6．某校准备在八年级(1)班的10名团员中选2名作为“奥运志愿者”，其中团员晶晶被选中的概率为( ) A．

1 10

B．

1 5

C．

2 5

D．

1 2

7．下列所给的正方体的四个展开图中，是中心对称图形的有( )

第7题图

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④

8．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c，OA＝OC，下列关系式中正确的是( )

A．ac＋1＝b C．bc＋1＝a

第8题图

B．ab＋1＝c D．ab＋c＝0

第Ⅱ卷(非机读卷 共88分)

二、填空题(共4个小题，每小题4分，共16分)

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9．因式分解ax2－10ax＋25a＝________．

10．下面是按一定规律排列的北京2008奥运会28项比赛项目中的五项比赛项目的图标(如

图)，按此规律画出的第2008个图标应该是________．(请在横线上写出符合题意的比赛项目名称)

第10题图

11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，以点C为圆心、CA长为半径的圆交AB

于点D，若AC＝6，则

的长为_______．

第11题图

12．已知等腰三角形ABC内接于半径为5的⊙O中，如果底边BC的长为8，那么底角的正

切值是________．

三、解答题(共13个小题，共72分)

13．(5分)计算21＋－4sin60°－(－)0．

－

14．(5分)已知a2－a－1＝0，求代数式

15．(5分)解方程

11 的值． aa 1

x3 2 1． x 1x 1

16．(5分)为了让学生知道更多的奥运知识，某中学举行了一次奥运知识竞赛．为了解这次

竞赛的成绩情况，抽取部分学生成绩(成绩取整数，满分为100分)作为样本，绘制了如下的直方图，请结合此图回答下列问题： (1)此样本抽取了多少名学生的成绩?

(2)此样本数据的中位数落在哪一个范围内?

(3)若这次竞赛成绩80分以上(不含80分)的学生可获奖，请估计获奖人数占参赛总人数的百分比是多少．

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第16题图

17．(5分)如图，某场馆门前台阶的总高度CB为0.9m，为了方便残疾人通行，该场馆决定

将其中一个门的门前台阶改造成供轮椅通行的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角∠A为8°，请计算从斜坡起点A到台阶最高点D的距离(即斜坡AD的长)．

(结果精确到0.1m，参考数据：sin8°≈0.14，cos8°≈0.99，tan8°≈0.14)

第17题图

18．(5分)如图，在矩形ABCD中，以点B为圆心、BC长为半径画弧，交AD于点E，连结

BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F．猜想线段BF与图中现有的哪一条线段相等． 先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明． 结论：BF＝________．

第18题图

19．(5分)列方程(组)解应用题．

某新建公园的绿化给公园周边的环境带来了明显的改善．下面的条形统计图是近几年来这个新建公园绿地面积的变化图，请你根据图中所给的数据解答下列问题： (1)求这个公园2005年底至2007年底这两年绿地面积的年平均增长率；

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(2)根据这个平均增长率，请你预测2008年底这个公园的绿地面积将达到多少万平方米．

第19题图

20．(5分)如图，在矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，点A处有一动点E以1cm／s的

速度由点A向点B运动，同时点C处也有一动点F以2cm／s的速度由点C向点D运动，设运动的时间为xs，四边形EBFD的面积为ycm2，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．

第20题图

21．(5分)已知a、b是关于x的一元二次方程kx2＋2(k－3)x＋k＋3＝0的两个实数根，其中

k为非负整数，点A(a，b)是一次函数y＝(k－2)x＋m与反比例函数y 且m、n为常数． (1)求k的值；

(2)求一次函数与反比例函数的解析式．

22．(5分)已知：如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为M，AB＝4，CD＝2，

n

的图象的交点，x

点E在AB的延长线上，且tanE＝

3． 3

(1)求证：DE是⊙O的切线．

(2)将△ODE平移，平移后所得的三角形记为△O D E ．求当点E 与点C重合时，△O D E 与⊙O重合部分的面积．

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第22题图

23．(7分)我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平

方和，则称这个四边形为等平方和四边形．

(1)写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：________． (2)如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为O．

求证：AD2＋BC2＝AB2＋DC2，即四边形ABCD是等平方和四边形．

第23题图①

(3)如果将图①中的△AOD绕点O按逆时针方向旋转角 (0°＜ ＜90°)后得到图②，那么四边形ABCD能否成为等平方和四边形?若能，请证明；若不能，请说明理由．

第23题图②

24．(7分)如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，则

有结论EF＝BE＋FD成立．

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第24题图

(1)如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE＋FD是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

(2)若将(1)中的条件改为：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF＝BE＋FD是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

25．(8分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与

y轴交于点C(0，3)，过点C作x轴的平行线，与抛物线交于点D，抛物线的顶点为M，直线y＝x＋5经过D、M两点． (1)求此抛物线的解析式；

(2)连结AM、AC、BC，试比较∠MAB和∠ACB的大小，并说明你的理由．

答 案

23．2008年北京市朝阳区中考数学一模试卷

一、选择题

1．D 2．C 3．B 4．D 5．A 6．B 7．B 8．A 二、填空题

9．a(x－5)2 10．体操 11．2 12．2或三、解答题 13．解：原式

1 2

131 23 4 1 ． 222

11a 1 a11

2 1． aa 1a(a 1)a(a 1)a a

14．解：∵a2－a－1＝0，∴a2－a＝1．

15．解：方程两边同时乘(x＋1)(x－1)，得x(x－1)－3＝(x＋1)(x－1)．x2－x－3＝x2－1，x＝－2．经检验：x＝－

2是原方程的解．

16．解：(1)52＋23＋15＋10＝100，故此样本抽取了100名学生的成绩．

(2)中位数落在80.5～90.5这个范围内．

(3)(23＋52)÷100＝75％，估计获奖人数占参赛总人数的75％．

17．解：过点D作DE⊥AB于点E．∵∠B＝90°，CD∥AB，∴DE＝CB＝0.9．在Rt△ADE中，

AD

DE0.9

6.4．

sin80.14

故斜坡AD的长约为6.4m．

第17题答图

18．结论：BF＝AE．

第18题答图

证明：在矩形ABCD中，∵AE∥BC，∴∠1＝∠2． ∵CF⊥BE，∴∠BFC＝90°．∴∠A＝∠BFC＝90°． 由题意得，BC＝BE．在△AEB和△FBC中，

1 2,

A BFC,∴△AEB≌△FBC(AAS)．∴BF＝AE． BE BC.

19．解：(1)设这两年绿地面积年平均增长率为x．

依题意，得90(1＋x)2＝108.9．

解得x1＝0.1，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．

∴x＝0.1＝10％．

故这两年绿地面积年平均增长率为10％． (2)108.9(1＋10％)＝119.79．

故预测2008年底这个公园的绿地面积将达到119.79万平方米． 20．解：依题意，得AE＝x，CF＝2x．

在矩形ABCD中，AB∥DC,AB＝CD＝6，AD＝8， ∴BE＝6－x，DF＝6－2x．

∴四边形EBFD的面积

(6 x 6 2x) 8

．

2

即y＝－12x＋48．

自变量x的取值范围是0≤x＜3．

21．解：(1)依题意，得[2(k－3)]2－4k(k＋3)≥0且k≠0．

解得k≤1且k≠0．

∵k为非负整数，∴k＝1．

(2)当k＝1时，原方程化为x2－4x＋4＝0． 解得x1＝x2＝2． ∴A(2，2)．

把A(2，2)和k＝1代入y＝(k－2)x＋m，得m＝4． ∴一次函数的解析式是y＝－x＋4．

n

，得n＝4． x

4

∴反比例函数的解析式是y ．

x

把A(2，2)代入y

22．(1)证明：∵弦CD⊥直径AB，AB＝4，CD 23．

MD

12

CD ，OD

12

AB 2．

在Rt△OMD中， sin DOM ∴∠DOM＝60°． 在Rt△DME中，tanE

MDOD

32

，

∴∠E＝30°． 3

∴∠ODE＝90°．又∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线．

第22题答图①

第22题答图②

(2)解：∵∠ODE＝90°，OD＝2，∠E＝30°，∴DE＝2． 在Rt△ODM中，OM＝1．

1

又∵CM CD 3，AM＝3，

2

∴在Rt△ACM中， 由勾股定理得AC＝23，

∴AC＝DE＝D E ． ∵点E 与点C重合，

∴平移后的D E 与AC重合．

设O E 交⊙O于点F，连结OF、OC、AF， 由平移的性质得△ODE≌△O AC，

∴∠O CA＝∠E＝30°．∴∠AOF＝2∠ACO ＝60°． 由平移的性质可知FC∥AO．

在Rt△FCD中，可求得FC＝2，∠CFO＝∠FOA＝60°． ∴△FOC为等边三角形．∵FC＝OA＝2，∴S△AFO＝S△AFC．

S重合部分 S扇形OAF

60π 222π ．

3603

23．(1)菱形或正方形；

(2)证明：∵AC⊥BD，

∴∠AOD＝∠BOC＝∠AOB＝∠DOC＝90°． ∴OA2＋OD2＝AD2,OB2＋OC2＝BC2, OA2＋OB2＝AB2,OD2＋OC2＝DC2． ∴AD2＋BC2＝AB2＋DC2．

即四边形ABCD是等平方和四边形．

(3)解：四边形ABCD是等平方和四边形．

证明：原梯形记为A BCD ，依题意旋转后得四边形ABCD，连结AC、BD，相交于点O ． ∵A D ∥BC，∴△A OD ∽△COB． OA OD ． OCOB

∵OA ＝OA,OD ＝OD, OAOD ． OCOB

∵∠AOA ＝∠DOD ＝ ,

∴∠AOC＝∠DOB＝180°－ ．

OAOD

又 ，∴△AOC∽△DOB． OCOB

∴∠1＝∠2．又∵∠3＝∠4, ∴∠AO D＝∠AOD＝90°．

第23题答图

由(2)的结论得AD2＋BC2＝AB2＋DC2． 即四边形ABCD是等平方和四边形． 24．解：(1)结论EF＝BE＋FD成立．

延长EB到G，使BG＝FD，连结AG．如图①． ∴∠ABG＝∠D＝90°，且AB＝AD，

∴△ABG≌△ADF．∴AG＝AF且∠1＝∠2．∵ EAF ∴∠GAE＝∠EAF．

又AE＝AE，∴△AEG≌△AEF． ∴EG＝EF．

∴EF＝BE＋BG＝BE＋FD．

1

1

BAD，∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝ BAD． 22

第24题答图①

(2)结论EF＝BE＋FD不成立，

应当是EF＝BE－FD．

在BE上截取BG，使BG＝FD，连结AG． 如图②．

∵∠B＋∠ADC＝180°, ∠ADF＋∠ADC＝180°,

∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD,∴△ABG≌△ADF． ∴AG＝AF且∠1＝∠2．

11

∵ EAF BAD，∴ 1 3 2 3 BAD．

22

∴∠GAE＝∠EAF．

∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF． ∴EF＝BE－BG＝BE－FD．

第24题答图②

25．解：(1)∵CD∥x轴且点C(0，3)，∴设点D的坐标为(x，3)．

∵直线y＝x＋5经过D点，

∴3＝x＋5，得x＝－2．即点D(－2，3)．

根据抛物线的对称性可设顶点M的坐标为(－1，y)．

又∵直线y＝x＋5经过M点，∴y＝－1＋5，得y＝4．即M(－1，4)． ∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)2＋4． ∵点C(0，3)在抛物线上， ∴3＝a＋4，得a＝－1．

即抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3．

第25题答图

(2)作BP⊥AC于点P，MN⊥AB于点N．由(1)中的抛物线y＝－x2－2x＋3可得点A(－3，0)，B(1，0)，∴AB＝4，AO＝CO＝3，AC＝32．∴∠PAB＝45°． ∴∠ABP＝45°． ∴ PA＝PB＝22． ∴ PC＝AC－PA＝2． 在Rt△PBC中，tan BCP

2． PC

∵M(－1,4),∴MN＝4,AN＝2．

MN

2． Rt△ANM中，tan NAM AN

∴∠BCP＝∠NAM．

PB

即∠ACB＝∠MAB．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/itt4.html