上海市普陀区2012学年第一学期高三年级质量调研考试（文理）

2012学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷

考生注意： 2013.1

1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码. 2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.

一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 不等式|2?x|?1的解为 .

2. 函数y?sin2x?cos2x的最小正周期T? . 3. 若集合A?{x|6x?5?1}，集合B?{?1,0,1,2,3}，则A?B? . 4.【理科】如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，直线BD1与平面 BCC1B1所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.

（第4题图）

【文科】正方体ABCD?A1B1C1D1中，异面直线B1C与C1D所成的

B1A1C1D1角的大小为 .

ABDC5. 【理科】若函数f(x)?a?log3x的图像经过点(1,1)，则f【文科】若函数f(x)?1?logx，则f?1?1(?8)? . （第4题图）

3(?8)? . 6. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，a2?a4?14，S7?70，则数列{an}的通项公式

为 .

7. 在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1、2、3、4、5，若从袋中任意

取两个，则编号的和是奇数的概率为 （结果用最简分数表示）. y8. 在(2x?21x2)的二项展开式中，常数项等于 .

109. 若函数f(x)?Asin(2x??)（A?0,?图，则f(0)? .

?2????2）的部分图像如右 O?3x2012学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研卷 第 1 页 共 11 页 （第9题图） ????????10. 在△ABC中，若AB?AC?2,AB?BC??7，则AB? .

11. 【理科】若函数f(x)满足f(x?10)?2f(x?9)，且f(0)?1，则f(?10)? _.

【文科】若函数f(x)满足f(x?10)?2f(x?9)，且f(0)?1，则f(10)? _.

x212. 【理科】 若C(?3,0)、D(3,0)，M是椭圆

的最小值为 . 【文科】若F1、F2是椭圆

1MF11MF24?y?1上的动点，则

21MC?1MD

x24?y?1的左、右两个焦点，M是椭圆上的动点，则

2?的最小值为 .

S E A B 13. 三棱锥S?ABC中，E、F、G、H分别为

SA、AC、BC、SB的中点，则截面EFGH

H 将三棱锥S?ABC分成两部分的体积之比为 .

G

F C

?x?1,0?x?1?14. 已知函数f(x)??x1，设a?b?0，

?2?,x?12?（第13题图）

若f(a)?f(b)，则b?f(a)的取值范围是 .

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15. 已知函数y?f(x)(x?R)，则“f(1)?f(2)”是“函数y?f(x)在R上是增函数”

的??????????????????????????????????（ ） （A）充分非必要条件. （B）必要非充分条件. （C）充要条件. （D）非充分非必要条件. 16. 【理科】双曲线

x22a???y22b???1（a???b）的焦点坐标为????????（ ）

22（A）(?a2?b2,0). （B）(?a2?b2,0). （C）(?a2?b2?2?,0). （D）(0,?a2?b2).

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【文科】双曲线

x29???y27?? ?1（7???9）的焦点坐标为??????????（ ）

（A）(?4,0). （B）(?2,0). （C）(0,?4). （D）(0,?2). 17. 已知a?0,b?0,若liman?1n?bn?1nn??a?b则a?b的值不可能是???????（ ） ?5，．．．

（A）7. （B）8. （C）9. （D）10.

18. 如图,四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE?CD.若动点P从点A出发，

????????????沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中AP??AB??AE，下列判断

正确的是???????????????????????????????（ ） ．．

（A）满足????2的点P必为BC的中点. （B）满足????1的点P有且只有一个. （C）???的最大值为3. （D）???的最小值不存在.

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.

如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成. 已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm.

（1）这种“浮球”的体积是多少cm（结果精确到0.1）？ （2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，

如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？

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6cm

（第19题图）

2cm 3E D C

P

A B

（第18题图）

20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知动点A(x,y)到点F(2,0)和直线x??2的距离相等. （1）求动点A的轨迹方程； （2）记点K(?2,0)，若AK?

21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.

已知a、b、c是△ABC中?A、?B、?C的对边,a?43,b?6，cosA??（1）求c； （2）求cos(2B?

22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3

小题满分6分.

【理科】在平面直角坐标系xOy中，点An满足OA1?(0,1)，且AnAn?1?(1,1)；点Bn满足

2n*OB1?(3,0)，且BnBn?1?(3?(),0)，其中n?N．

313y 2AF，求△AFK的面积.

K ?2 O F 2 x

（第20题图）

．

?4)的值．

?????（1）求OA2的坐标，并证明点An在直线y?x?1上； ．．

（2）记四边形AnBnBn?1An?1的面积为an，求an的表达式；

*（3）对于（2）中的an，是否存在最小的正整数P，使得对任意n?N都有an?P成立？

若存在，求P的值；若不存在，请说明理由．

【文科】f(x)和g(x)都是定义在集合M上的函数,对于任意的x?M，都有

f(g(x))?g(f(x))成立，称函数f(x)与g(x)在M上互为“H函数”.

（1）若函数f(x)?ax?b，g(x)?mx?n，f(x)与g(x)互为“H函数”,

证明：f(n)?g(b).

（2）若集合M?[?2,2]，函数f(x)?x，g(x)?cosx，判断函数f(x)与g(x)在M上是

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否互为“H 函数”，并说明理由.

（3）函数f(x)?ax(a?0且a?1)，g(x)?x?1在集合M上互为“H函数”,求a的取

值范围及集合M.

23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3

小题满分8分.

【理科】设函数f(x)和g(x)都是定义在集合M上的函数,对于任意的x?M，都有

f(g(x))?g(f(x))成立，称函数f(x)与g(x)在M上互为“H函数”.

（1）函数f(x)?2x与g(x)?sinx在M上互为“H函数”，求集合M；

（2）若函数f(x)?ax(a?0且a?1)与g(x)?x?1在集合M上互为“H函数”,

求证：a?1；

（3）函数f(x)?x?2与g(x)在集合M?{x|x??1且x?2k?3，k?N*}上互为“H

函数”，当0?x?1时,g(x)?log2(x?1)，且g(x)在(?1,1)上是偶函数,求函数g(x) 在集合M上的解析式.

【文科】在平面直角坐标系xOy中，点An满足OA1?(0,1)，且AnAn?1?(1,1)；点Bn满足

2n*OB1?(3,0)，且BnBn?1?(3?(),0)，其中n?N．

3?????（1）求OA2的坐标，并证明点An在直线y?x?1上； ．．

（2）记四边形AnBnBn?1An?1的面积为an，求an的表达式；

*（3）对于（2）中的an，是否存在最小的正整数P，使得对任意n?N都有an?P成立？

若存在，求P的值；若不存在，请说明理由．

2012学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研评分标准

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接

2012学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研卷 第 5 页 共 11 页

填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.[1,3] 2.? 3.{?1,0} 4.【理科】arctan6.an?3n?2（n?N*） 7.科】

121022；【文科】60? 5.39

35 8.180 9.?1 10.3 11.【理

3【文科】210 12.1 13.1:1 14.[,2)

4二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15. B 16. B 17. D 18. C 三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19.【解】（1）d?6cm，R?3cm，V球?43?R?343??27?36?cm3????2分

2 h?2，V圆柱??R?h???9?2?18?cm3????2分

V?V球?V圆柱?36??18??54??169.6cm3????2分

（2）S球表?4?R?4???9?36?cm2????2分

2 S圆柱侧?2?Rh?2???3?2?12?cm????2分

2 1个“浮球”的表面积S1?36??12?104?48104?m2

48 2500个“浮球”的表面积的和S2500?2500?104??12?m2

所用胶的质量为100?12??1200?（克）????2分

3 答：这种浮球的体积约为169.6cm；供需胶1200?克.

20.【解】

（1）由题意可知，动点A的轨迹为抛物线，其焦点为F(2,0)，准线为x??2

设方程为y?2px，其中

2p22?2，即p?4??2分

所以动点A的轨迹方程为y?8x??2分

2012学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研卷 第 6 页 共 11 页

（2）过A作AB?l，垂足为B,根据抛物线定义，可得|AB|?|AF|??2分

y 由于AK?2AF，所以?AFK是等腰直角三角形

B A ???2分 其中|KF|?4????2分

F K x ?2 O 2 1所以S?AFK??4?4?8????2分

2

x??2

21.【解】（1）在△ABC中，由余弦定理得，a2?b2?c2?2bccosA…………2分 48?36?c?2?c?6?(?)…………2分

321即c2?4c?12?0，(c?6)(c?2)?0，解得c?2…………2分

（2）由cosA??13?0得A为钝角，所以sinA?asinA?bsinB223…………2分

在△ABC中， 由正弦定理，得

6??2233323

则sinB?b?sinAa43?63…………2分

由于B为锐角，则cosB?cos2B?1?2sin2……2分

??13B?1?2?

?223sin2B?2sinB?cosB?2?63?33

22(?1?22)?4?2336?????22.【理科】【解】（1）由已知条件得，A1A2?(1,1),A1A2?OA2?OA1,所以OA2?(1,2)……

所以cos(2B??4)?22(cos2B?sin2B)?………2分

2分

AnAn?1?(1,1)，则OAn?1?OAn?(1,1)

设OAn?(xn,yn)，则xn?1?xn?1，yn?1?yn?1

所以xn?0?(n?1)?1?n?1；yn?1?(n?1)?1?n………2分

即An?(n?1,n)满足方程y?x?1，所以点An在直线y?x?1上. ………1分

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（证明An在直线y?x?1上也可以用数学归纳法证明.） （2）由（1）得An(n?1,n)

BnBn?1?OBn?12n?OBn?(3?(),0) ………1分

3 设Bn(un,vn)，则u1?3，v1?0

vn?1?vn?0，所以vn?0

2n2nun?1?un?3?()， 逐差累和得，un?9(1?())，

33n所以Bn(9(1?()),0)???2分

23设直线y?x?1与x轴的交点P??1,0?，则

n?1n1?1??2???2????10?9????n?1???10?9???n 2?2??3???3??????an?S?PAn?1Bn?1?S?PAnBn2n?1*an?5?(n?2)()，n?N……2分

3n?1（3）由（2）an?5?(n?2)()，n?N*

23 an?1nn?1n?1??2????2??4?n?2??an??5??n?1??????5??n?2??????? …2分

3?3??3???3????????于是，a1?a2?a3?a4?a5，a5?a6?a7?? ………2分 数列?an?中项的最大值为a4?a5?5?1627，则P?51627,即最小的正整数p的值

*为6，所以，存在最小的自然数p?6，对一切n?N都有an?p成立.??2分

【文科】22. 【解】（1）证明：函数f(x)与g(x)互为“H函数“,则对于?x?R,f(g(x))?g(f(x)) 恒成立.即a(mx?n)?b?m(ax?b)?n在R上恒成

立??????2分

化简得amx?(an?b)?amx?(bm?n)………………2分

所以当an?b?bm?n时，f(g(x))?g(f(x))，即f(n)?g(b)…1分 （2）假设函数f(x)与g(x)互为“H函数”，则对于任意的x?M

f(g(x))?g(f(x)) 恒成立.即cosx?cosx，对于任意x?[?2,2]恒成立?2

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22分.

当x?0时，cos0?cos0?1.

不妨取x?1，则cos12?cos1，所以cos1?cos21??????2分

所以假设不成立，在集合M上，函数f(x)与g(x)不是互为“H函数”???1分.

（3）由题意得，ax?1?ax?1（a?0且a?1）………2分 变形得，ax(a?1)?1，由于a?0且a?1 ax?1a?1，因为ax?0，所以

1a?1?0，即a?1………2分

此时x??loga(a?1)，集合M?{x|x??loga(a?1),a?1}………2分

23.【解】（1）由f(g(x)?g(f(x))得2sinx?sin2x

化简得，2sinx(1?cosx)?0，sinx?0或cosx?1………2分

解得x?k?或x?2k?，k?Z，即集合M?{x|x?k?}k?Z………2分 (若学生写出的答案是集合M?{x|x?k?,k?Z}的非空子集，扣1分，以示

区别。)

（2）证明：由题意得，ax?1?ax?1（a?0且a?1）………2分

x 变形得，a(a?1)?1，由于a?0且a?1

x a?1a?1x………2分

1a?1?0，即a?1………2分

因为a?0，所以

（3）当?1?x?0，则0??x?1，由于函数g(x)在(?1,1)上是偶函数

则g(x)?g(?x)?log2(1?x)

所以当?1?x?1时，g(x)?log2(1?|x|) ?????2分 由于f(x)?x?2与函数g(x)在集合M上“ 互为H函数” 所以当x?M，f(g(x)?g(f(x))恒成立,

g(x)?2?g(x?2)对于任意的x?(2n?1,2n?1)(n?N)恒成立,

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即g(x?2)?g(x)?2?????2分 所以g[x?2(n?1)?2]?g[x?2(n?1)]?2, 即g(x?2n)?g[x?2(n?1)]?2 所以g(x?2n)?g(x)?2n,

当x?(2n?1,2n?1)（n?N）时,x?2n?(?1,1) g(x?2n)?log2(1?|x?2n|)?????2分

所以当x?M时，

g(x)?g[(x?2n)?2n]?g(x?2n)?2n?log2(1?|x?2n|)?2n???2分

?????【文科】23、【解】（1）由已知条件得，A1A2?(1,1),A1A2?OA2?OA1,所以

OA2?(1,2)……2分

AnAn?1?(1,1)，则OAn?1?OAn?(1,1)

设OAn?(xn,yn)，则xn?1?xn?1，yn?1?yn?1

所以xn?0?(n?1)?1?n?1；yn?1?(n?1)?1?n………2分

即An?(n?1,n)满足方程y?x?1，所以点An在直线y?x?1上. ………1分 （证明An在直线y?x?1上也可以用数学归纳法证明.） （2）由（1）得An(n?1,n)

BnBn?1?OBn?12n?OBn?(3?(),0) ………1分

3 设Bn(un,vn)，则u1?3，v1?0

vn?1?vn?0，所以vn?0

2n2nun?1?un?3?()， 逐差累和得，un?9(1?())，

33n所以Bn(9(1?()),0)???2分

23设直线y?x?1与x轴的交点P??1,0?，则

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an?S?PAn?1Bn?1?S?PAnBnn?1n1?1??2???2????10?9????n?1???10?9???n 2?2??3???3??????2n?1*an?5?(n?2)()，n?N……2分

3（3）由（2）an?5?(n?2)()n?1，n?N*

32 an?1nn?1n?1??2????2??4?n?2??an??5??n?1??????5??n?2??????? …2分

3?3??3???3????????于是，a1?a2?a3?a4?a5，a5?a6?a7?? ………2分 数列?an?中项的最大值为a4?a5?5?1627，则P?51627,即最小的正整数p的值

为6，所以，存在最小的自然数p?6，对一切n?N*都有an?p成立.??2分

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