推荐K122017 - 2018学年九年级数学上册第3章图形的相似3.6位似教

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3.6 位似

3.6.1 位似（一）

教学目的

经历位似变换、位似的图形抽象得到定义的过程 掌握位似变换和位似图形的性质 教学重点

位似变换的定义和位似图形的性质 教学难点

位似变换的理解及作图 教学过程

一、观察投影，抽象得出位似变换、位似的图形的定义

1、复习：我们目前为止，学过哪几种图形的变换？经过这几种变换后的图形与原图形之间的关系如何？

2、抽象：定义：取定一点O，把图形上任意一点P对应到射线OP（或它的反向延长线）上一点P′，使得线段OP′与OP的比等于常数k (k>0) ,点O对应到它自身，这种变换叫做位似变换，点O叫作位似中心，常数k叫作位似比，一个图形经过位似变换得到的图形叫作与原图形位似的图形。

从位似变换和位似的图形的定义可以得出：

两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

思考：两个位似的图形的关系是怎样的呢？两个位似的图形是相似的。 二、位似图形定义的理解

1．位似图形首先是相似图形．

2．位似图形都有一个位似中心，它是所有对应点的连线都经过的那个点．两个图形必须同时具备了这两点才是位似图形，缺一不可．

3．位似中心的位置由两个位似图形的位置决定，可以在图形的中心、可以在两个图形中间、也可以在两个图形的同一侧，还可以在图形上．如图1所示，图形（1）的位似中心是两个图形的中心，图（2）的位似中心在两个图形之间，图（3）的位似中心在两个图形左侧．

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位似比：当位似比k>1时，一个图形被放大成原图形的倍；当位似比k〈1时，一个图形被缩小成原图形的k倍。

同时，两个位似图形的周长的比等于位似比，面积的比等于位似比的平方．（为什么） 三、位似图形的解题方法 1．位似图形的辨析

例1 如图2，指出下列图形中的两个图形是否是位似图形？如果是，指出位似中心．

解：（1）是位似图形，位似中心是A；（2）是位似图形，位似中心是P；（3）不是位似图形；（4）是位似图形，位似中心是O．

方法说明：因为位似图形是特殊的相似图形，因而判断是不是位似图形，首先看图中的两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过同一个点． 2．位似图形的作图

例2 如图3，已知五边形ABCDE，以点P为位似中心，求作这个五边形的位似图形，使新图形与原图形的位似比为2∶1．

解：（1）分别过五边形ABCDE的五个顶点作射线AP、BP、

CP、DP、EP；

（2）在这些射线上依次截取PA1＝2PA，PB1＝2PB；PC1＝2PC，PD1＝2PD，PE1＝2PE； （3）顺次连结A1，B1，C1，D1，E1，所得图形就是符合要求的图形． 3．位似图形的应用

例3 一般在室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm，放映屏幕的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm，问屏幕应在离光源多远的地方，放映的图像刚好布满整个屏幕？

分析：胶片上的图形和银屏上的图形是位似图形，光源是位似中心，则可运用位似图形

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的知识来解答．

解：如图4所示，根据已知数据可知， 位似比k?200400?．设屏幕距离光源xcm， 3.57根据位似图形的性质，

x400800080?cm?m． ，所以x?2077780m的地方，放映的图像刚好布满整个屏幕． 答：屏幕应在离光源7可得

方法说明：在利用位似图形解决实际问题时，首先要将其抽象为位似模型，并在问题中找出位似中心，位似比等，再通过相应的计算进行解答．

四、小结

1、取定一点O，把图形上任意一点P对应到射线OP（或它的反向延长线）上一点P′，使得线段OP′与OP的比等于常数k (k>0) ,点O对应到它自身，这种变换叫做位似变换，点O叫作位似中心，常数k叫作位似比，一个图形经过位似变换得到的图形叫作与原图形位似的图形。

2、两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

3、当位似比k>1时，一个图形被放大成原图形的倍；当位似比k〈1时，一个图形被缩小成原图形的k倍。

4、两个位似的图形是相似的。两个位似图形的周长的比等于位似比，面积的比等于位似比的平方．

五、课外作业

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3.6 位似（二）

教学目的

经历位似变换的作用过程，理解位似变换可以把一个图形放大或缩小。

了解位似变换与平移、反射、旋转等一样，研究的都是像与原图形之间的一种关系。 教学重点

会将一个图形放大或缩小。 教学难点

利用位似变换解决实际问题 教学过程

1、复习：什么是位似变换？位似图形？它们有什么性质？ 2、例题解析：

例1.已知如图1，在和树AB相距18米的地面上平放一面镜子E，人退后到距镜子上2.1米的D处，在镜子里恰好看见树顶，若人眼C距地1.4米．

（1）求树高；

（2）△ABE和△CDE是位似图形吗？若是，

请指出位似中心，若不是，请说明理由．

分析：这是一道与物理有关的综合题，要注意运用数学知识解决问题． 答案：（1）由光的反射规律知入射角等于反射角， 可得出∠AEB＝∠CED，

又知∠ABE＝∠CDE＝90°，所以△ABE∽△CDE

ABBEBE?，AB?×CD?12DE 所以CDDE米， 即树高12米．

（2）△ABE与△CDE不是位似图形，因为位似图形的对应顶点的连线相交于一点，而点

A与点C的连线没有交于点E，所以它们不是位似图形．

方法提炼：正确理解光的反射规律，把实际问题转化为数学问题，使问题得到解决． 例2.画一个三角形，使它与已知三角形相似，且原三角形与所画三角形的相似比为2：1． 分析：依题意，因为没有指明画法，所以有多种方法． 答案：解法一：平行线截取法． （1）取AB的中点D；

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（2）过点D作DE∥BC交AC于E，则△ADE就是所求作的三角形，如图2所示． 解法二：在△ABC的外面作平行线法． （1）作线段B'C'，使B'C'∥BC且BC= （2）过点B'作BA的平行线B'A'；

（3）过点C'作CA的平行线与B'A'交于点A'． 则△A'B'C'就是所求的三角形，如图3所示．

解法三：位似图形法． （1）在图形内取位似中心O． ①作射线AO、BO、CO；

②在射线AO、BO、CO上分别截取点A'、B'、C'，使OA：OA'＝OB：OB'＝OC：OC'＝2：1；

③连接A'B'、B'C'、C'A'，则△A'B'C'就是所求的三角形．． （2）在图形边上取位似中心O． ①连接AO；

②在AO、BO、CO上分别取A'、B'、C'， 使OA：OA'＝OB：OB'＝OC：OC'＝2：1；

③连接A'B'、A'C'、B'C'，则△A'B'C'就是所求的三角形． （3）在图形外部取位似中心O． ①以点O为端点作射线AO、BO、CO；

②分别在射线AO、BO、CO上截取A'、B'、C'， 使OA：OA'＝OB：OB'＝OC：OC'＝2：1；

③连接A'B'、B'C'、A'C'，则△A'B'C'就是所求的三角形， 方法提炼：上面的几种方法要根据题目要求进行选择， 在题目要求不高的情况下，能简则简，力求避免不必要的繁琐．

例3.已知：锐角△ABC

求作：内接矩形DEFG，使DE在BC边上， 点G、F分别在AB、AC边上，且DE：GD＝2：1．

//

1BC； 2K12教育资料（小初高学习）

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分析：求作的矩形要满足四个条件：（1）DE在BC边上；（2）G在AB边上；（3）F在AC边上；（4）DE：DG＝2：1．要同时满足这么多条件比较困难，不妨先放弃一个条件，比如放弃“F在AC边上”这个条件，那样的矩形就比较好作．如图中的G'D'E'F'，然后再选择适当的位似中心进行位似变换，从而把F定在AC上． 答案：作法：

（1）作矩形G'D'E'F'，使D'E'在BC上，G'在AB边上，且D'E'：D'G'＝2：1； （2）连BF'，并延长交AC于F；

（3）过F作FE⊥BC于E，作FG∥BC交AB于G； （4）过G作GD⊥BC于D； 则四边形DEFG就是所求的矩形．

拓展延伸：定位作图的要求较高，要更灵活地运用相似的有关知识． 3、学生练习： 4、小结

如何把一个图形放大或缩小？有几种画图的方法？ 5、课外作业

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分析：求作的矩形要满足四个条件：（1）DE在BC边上；（2）G在AB边上；（3）F在AC边上；（4）DE：DG＝2：1．要同时满足这么多条件比较困难，不妨先放弃一个条件，比如放弃“F在AC边上”这个条件，那样的矩形就比较好作．如图中的G'D'E'F'，然后再选择适当的位似中心进行位似变换，从而把F定在AC上． 答案：作法：

（1）作矩形G'D'E'F'，使D'E'在BC上，G'在AB边上，且D'E'：D'G'＝2：1； （2）连BF'，并延长交AC于F；

（3）过F作FE⊥BC于E，作FG∥BC交AB于G； （4）过G作GD⊥BC于D； 则四边形DEFG就是所求的矩形．

拓展延伸：定位作图的要求较高，要更灵活地运用相似的有关知识． 3、学生练习： 4、小结

如何把一个图形放大或缩小？有几种画图的方法？ 5、课外作业

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