2011上学期固体物理A卷答案

湘潭大学 2011 年 上 学期 2009 级 微电子学专业 《固体物理导论》课程期末考试A卷参考答案及评分标准

一、 解释下列概念(每题3分，共30分)

1、晶列：布拉伐格子的格点可以看成分列在一系列相互平行的直线系上，这些直 线系称为晶列。

2、赝势：在离子实的内部用假想的势能取代真实的势能，在求解薛定谔方程时，若不改变能量本征值和离子实之间区域的波函数，这个假想的势能就叫做赝势。 3、振动模：由简正坐标所表示的，体系中所有原子一起参与的共同振动，常常称为一个振动模。

4、倒格子：所谓“倒格子”是相对前述位置空间的晶格―“正格子”来说的。“倒格子”中的每个格点对应于正格子中的一个晶面族；倒格子中从原点至某倒格点的矢量的方向，代表正格子中相应晶面族的法线方向；倒格子至该倒格点的矢量的模，则取正格子相应该晶面族面间距（格矢）的倒数，或该倒数的整倍数。 5、声子间的“碰撞”：利用“声子”的语言表述，即是不同格波之间的相互作用，表示为声子间的“碰撞”。

6、单电子近似：对于任何的单独的一个电子，是在位置固定的离子实和其它所有电子所形成的静态平均势场中运动，这就使得问题简化为单电子的运动问题，这种近似思想被称为单电子近似。

7、结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成晶体，在这一过程中，将有一定的能量W释放出来，称为结合能。

8、波包：波包指粒子在空间分布在r0附近的Δr范围内，动量取值为?k0附近的??k范围内，粒子的坐标和动量满足量子力学测不准关系。

9、轨道杂化：原子在成键时受到其他原子的作用，原有一些能量较近的原子轨道重新组合成新的原子轨道，使轨道发挥更高的成键效能，这叫做轨道杂化。 10、价带：通常是指半导体或绝缘体中，在0K时能被电子占满的最高能带。 二、简答题(共35分)

1、(12分)简述七大晶系和十四种布拉伐格子

答：晶体结构可以按坐标系性质划分为有限种类的形式，即七大晶系。每种晶系包括一种或数种特征性的原胞，共14种，称作“布拉伐格子”。

七大晶系即：三斜晶系、单斜晶系、斜方（正交）晶系、三角晶系、四角（正方）晶系、六角晶系和立方晶系。(6分)

14种布拉伐格子，即：底心单斜、简单单斜、简单三斜、简单正交、底心正交、面心正交、体心正交、简单立方、面心立方、体心立方、简单四角、体心四角、三角和六角。(6分)

2、(8分)简述德拜模型与爱因斯坦模型 答：爱因斯坦模型基本观点是：

（1）假设晶格子原子振动是相互独立的；(2分)

（2）所有原子都以相同的频率振动，即v1?v2??vi??v(2分) 德拜模型基本观点是： （1）

晶体中原子运动是相互影响的（即某一个原子运动会影响到其它原子的运动）同时各原子振动频率不同，存在着一个0和极大值的可能振动频率间的分布。(2分)

（2）

低频振动产生的波，波长很大，因而晶体可看作各向同性的连续介质，晶格振动看作是在连续介质中传播的弹性波（借助于宏观力学方法处理）(1分)

高温下，爱因斯坦模型得出的热容与杜隆 — 珀替定律相符；低温下与实验现象不符，表明爱因斯坦模型存在缺陷。Debye模型对原子晶体及部分简单的离子晶体在较宽的温度范围内都与实验结果符合，可见比经典模型和Einstein模型都有改进。(1分)

3、 (8分)结合力的性质可以把晶体分作哪四种类型，结合力分别有什么特点。 答：按结合力的性质可把晶体分作如下四种类型。

(1) 离子晶体：靠离子的静电库仑力结合。这类晶体的特点是结合力很强，导电性很差，熔点、硬度很高，膨胀系数很小。(2分)

(2) 共价晶体：共价结合的晶体称为共价晶体。共价结合是两个原子各贡献一个电子，形成所谓的共价键。(2分)

(3) 金属晶体：这类晶体原子最外层价电子仅1个、2个，且为整个晶体共有，原子实浸没在共有化的价电子云里。原子实和电子云间的静电作用力形成晶体结合力。(2分)

(4) 分子晶体：Ⅷ族惰性分子在低温下形成的晶体是典型的分子晶体。依靠来

源于分子的瞬时偶极矩的所谓“范德瓦尔斯力”结合成晶体。(2分) 4、（7分）在布里渊区边界上电子的能带有何特点？

答：电子的能带依赖于波矢的方向，在任一方向上，在布里渊区边界上，近自由电子的能带一般会出现禁带。（2分）

??若电子所处的边界与倒格矢Kn正交，边界是Kn的中垂面，则禁带的宽度

??Eg?2V(Kn)V(Kn)，

是周期势场的傅里叶级数的系数。（3分）

不论何种电子，在布里渊区边界上，其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零，即电子的等能面与布里渊区边界正交。（2分） 一、 计算证明题(共35分)

1、(10分)证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方

??a????a1?2(?i?j?k)???a???证明：体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：?a2?(i?j?k)（3

2???a????a3?2(i?j?k)?分）

?2???(a2?a3)（1分） 由倒格子基矢的定义：b1??aaa????,,i,j,k222aaaa3???aaaa2???????a1?(a2?a3)?,?,?，a2?a3?,?,?(j?k)

22222222aaaaaa,,?,,?222222

（3分）

?2a2??2????b1?2??3?(j?k)?(j?k)（1分）

a2a?2???b2?(i?k)a同理可得：?即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。

2???b3?(i?j)a（1分）

所以，体心立方的倒格子是面心立方。（1分）

2、（10分）写出一维近自由电子近似，第n个能带(n=1，2，3)中，简约波数k?的0级波函数。

?2??i2?mxximx)x1ikx1ikx1i21i2a?(m?1aaa4答：?(x)?（3分） e?ee?e?e?eLLLL*k?2a?x1i2第一能带：m??0,m?0,?(x)?ea（2分）

2aL?*k2?3??ixixi2?2?1*第二能带：b?b?则b??b,m???,即m??1,（ea=e2a）??k(x)?e2a

aaL（2分）

?2?5?xixix2?2?1i21*第三能带：c??c,m??,即m?1,?k(x)?ea?ea?e2a（2分）

aaLL上面就是一维近自由电子近似的第1,2,3个能带中，简约波数k?数。（1分）

?的0级波函2a3、（15分）考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为?和10?，两种原子质量相等，且最近邻原子间距为a2。试求在q?0,q??a处的?(q)，并粗略画出色散关系曲线。 答：建立模型如下

（1分）

浅色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；深色标记原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……。第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程：

??2n??(?1??2)?2n??2?2n?1??1?2n?1m?（2分）

??2n?1??(?1??2)?2n?1??1?2n?2??2?2nm?体系N个原胞，有2N个独立的方程 方程的解：

1i[?t?(2n)aq]21i[?t?(2n?1)aq]2?2n?Ae，（1分）

?2n?1?Be2令?12??1/m,?2??2/m，将解代入上述方程得：

2(?12??2??2)A?(?e1iaq221??e1?iaq222)B?0(?e1?iaq221??e1iaq222（2分）

2)A?(?12??2??2)B?0A、B有非零的解，系数行列式满足：

(?????),(?e211?iaq22121222?(?e211iaq2??e221?iaq2)??e1iaq222?0（1分）

1?iaq21?iaq21iaq21iaq22),?(?12??2??2)(?????)?(?e(?????)?(?e212222212222211iaq21iaq2??e??e22221?iaq21?iaq2)(?e)(?e2121??e??e2222)?0（1分） )?0（1分）

2??12?因为?1??、?2?10?，令?0c10c22,?2??10?0得到 mm24(11?0??2)2?(101?20cosaq)?0?0（1分）

2(11?20cosqa?101) 两种色散关系：?2??02(11?121)，当q?0时，?2??0???22?0???0（1分）

当q?

?a时，???(11?81)，

220???20?0???2?0（1分）

（2）色散关系图为：

（3分）

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