福建省莆田市第一中学2019届高三上学期第一次月考数学(文)试卷(含答案)

1 莆田市第一中学2019届高三上学期第一次月考

数学试卷（文）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知1{|24},{|ln(1)0}8

x A x B x x =<≤=->，则A B = （ ） A ．{|31}x x -<≤

B ．{}03|<<-x x

C ．{|2}x x ≤

D ．{|2}x x ≥ 2. 若双曲线方程为2

213

y x -=，则其渐近线方程为（ ） A. 2y x =±

B. y =

C. y x =

D. 12y x =± 3．已知m R ∈，则“复数2(1)(1)z m m i =-+-是纯虚数”是“11m m ==-或”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

4．已知函数()sin() (0)3f x x πωω=+

>的最小正周期为π，则该函数的图象（ ） A. 关于点(

,0)3π对称 B. 关于直线3x π=对称 C. 关于点(,0)4π

对称 D. 关于直线4

x π=对称 5．已知等差数列{n a }满足,442=+a a ,1053=+a a 则它的前10项的和S 10＝

A ．138

B ．135

C ．95

D ．23 6．设4log 3=a ,2ln =b ,215=c ,则 ( )

A ．c a b <<

B ．b c a <<

C ．a b c <<

D ．c b a <<

7.一个几何体的三视图如图所示,那么此几何体的侧面积(单位：cm 2)为 ( )

A ．48

B ．64

C ．120

D ．80

2

8．函数

3

31x x y =-的图象大致是 ( )

9．在△ABC 中，(BC ＋BA )·AC ＝|AC

|2，则△ABC 的形状一定是 ( )

A.等边三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.直角三角形

10．当2

0π

<<x 时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x

sin2x 的最小值为 A ．2 B ．2 3 C ．4 D ．4 3

11．已知函数2ln ()(),x x t f x t R x +-=∈，若存在1[,2]2

x ∈，使得()()0f x xf x '+>，则实数t 的取值范围是（ ）

A. (-∞

B.3

(,)2-∞ C. 9(,)4

-∞ D.(,3)-∞ 12．过点(1,1)P -作圆22

:()(2)1()C x t y t t R -+-+=∈的切线，切点分别为,A B ，则PA PB ? 的最小值为（ ）

A. 103

B.403

C.214

D ．22－3 第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分,

13．已知,x y 满足203300x y x y x -≤??+-≤??≥?

，则x y z 3-=的最小值为．

14．若θ∈????π4，π2，sin 2θ＝378

，则sin θ＝________． 15．已知,,,S A B C 是球O 表面上的点,SA ABC ⊥平面,AB BC ⊥,1SA AB ==,

3 BC =,则球O 的表面积等于 .

16．已知函数2,()24,x x m f x x mx m x m ≤?=?-+>?

，其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的零点，则m 的取值范围是.

三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)

在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知

cos 2cos 2cos A C c a B b --=． （1）求sin sin C A

的值； （2）若1cos 4B =

，△ABC 的周长为5，求b 的长．

18．(本题满分12分)

设n S 为数列{n a }的前项和，已知01

≠a ，n n S S a a ?=-112，∈n N * （1）求数列｛n a ｝的通项公式；

（2）求数列｛n na ｝的前n 项和.

4 19.（本小题满分12分）

如图所示,已知三棱锥BPC A -中,

,,BC AC PC AP ⊥⊥M 为AB 的中点,D 为PB 的中点,且PMB ?为正三角形．

(1)求证：//MD 平面APC ;

(2)求证：平面ABC ⊥平面APC ;

20.（本小题满分12分）

设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2

＋y 2

b 2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．

(1)求|AB |；

(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．

5

21．（本小题满分12分）

已知函数2()()f x x bx c b c =++∈R ，，对任意的x ∈R ，恒有()()f x f x '≤．

（1）证明：||.c b ≥

（2）若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式22()()()f c f b M c b --≤恒成立，求M 的最小值。

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。

22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，圆C

的极坐标方程为

)4

πρθ=+． （1）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）过点P (2,0)作斜率为1直线l 与圆C 交于,A B 两点，试求

11PA PB +的值．

6

23．选修4－5: 不等式选讲 已知函数,1()1,01x x f x x x

≥??=?<<??，()()2,g x af x x a R =--∈. (1)当0a =时，若()1g x x b ≤-+对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数b 的取值范围；

(2)当1a =时，求函数()y g x =的最小值．

7

莆田一中2019届高三第一次月考数学（文科）试题参考答案

一．选择题

二．填空题

13. 53

- ; 14. 34; 15. π4; 16.(3,)+∞

三．解答题

17.解：（1）由正弦定理，设

,sin sin sin a b c

k A B C

=== 则22sin sin 2sin sin sin sin c a k C k A C A

b k B B ---==． 所以cos 2cos 2sin sin cos sin A C C A

B B

--=，即

(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-，

化简可得sin()2sin()A B B C +=+．又πA B C ++=，所以sin 2sin C A =．

因此

sin 2.sin C

A =------------5 （2）由

sin 2sin C A =，得2c a =．由余弦定理及1

cos 4

B =，得 22222222cos 1

444

4.

b a

c ac B

a a a a =+-=+-?= 所以2.

b a =又5,a b

c ++=所以1a =． 因此2b =． ------------12

18.解：（1）令1=n ，得21112a a a =-，因为01≠a ，所以11=a ，--------2' 当2≥n 时，由n n s a =-12，1112--=-n n s a ， 两式相减，整理得12-=n n a a ，------------4

于是数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以，1

2

-=n n a .------------6

8 ( 2 ) 由( 2 )知12-=n n n na ，记其前n 项和为n T ，于是 12223221-?++?+?+=n n n T ① n n n T 2232221232?++?+?+?= ②------------8

① - ②得 n n n n n n n T 2122222112?--=?-++++=-- --------10 从而1(1)2n n T n =+- ------------12

19. 证明：(1)APC MD APC AP APC MD AP MD PC D AB M 平面平面平面中点为中点为////?????

??????????? ------------6

(2)?????中点为为正三角形PB D PMB ??

??⊥PA MD PB MD //?

????????=?⊥⊥PBC PC PB P PC PB PC PA PB PA 平面,?

???⊥PBC BC PBC PA 平面平面 ------------9

????

?????=?⊥⊥?PAC AC PA A AC PA AC

BC BC

PA 平面,?????⊥ABC BC PAC BC 平面平面APC ABC 平面平面⊥ ------------12

20.解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4，

又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.------------4

(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组?

???? y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，

9 化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.

则x 1＋x 2＝－2c

1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b 2.------------8

因为直线AB 的斜率为1，

所以|AB |＝2|x 2－x 1|，

即43＝2|x 2－x 1|. 则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1－b )2(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝8b 4(1＋b 2)2

， 解得b ＝22.-----------12

21.解：（1）易知()2.f x x b '=+由题设，对任意的22x x b x bx c ∈+++R ，≤，即

2(2)0x b x c b +-+-≥恒成立，所以2

(2)4()0b c b ---≤，从而2

1.4b c +≥--------2'

于是1||2()0.c c b c b c c b =-=+->因此≥，且≥， ------------4' （2）由（I ）知，||.c b ≥当||b c >时，有

2222222()()2.f c f b c b bc b c b M c b c b b c

--+-+==--+≥ ------------6 令21112.1b c b t t c b c t

+=

-<<=-++则，， ------------7 而函数)11(112)(<<-+-=t t t g 的值域是3()2-∞，． 因此，当||b x >时，M 的取值集合为3.2??+∞????

，

------------10 当||b c =时，由（1）知，22b c =±=，．此时()()8f c f b -=-或2200c b -=，， 从而223()()()2

f c f b c b --≤

恒成立． 综上所述，M 的最小值为.23 ------------12

10

22． (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程 解：（1）由)4(24π

θρ+=Cos 得：

θθρSin Cos 44-=,θρθρρSin Cos 442-=∴---------3 C 的直角坐标方程为：04422=+-+y x y x . （ 或者()()8222

2=++-y x ）-------------5

(2)设A,B 两点对应的参数分别为21,t t ，直线t t y x ???

????=+=22222和圆的方程联立得：

,04222=-+t t 所以,4,222121-=-=+t t t t <0------8 所以,2

61111212121=-=+=+t t t t t t PB PA ----------10

23．解：(1)当a ＝0时，g (x )＝－|x －2|(x >0)， g (x )≤|x －1|＋b －b ≤|x －1|＋|x －2|

|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1，------3

当且仅当1≤x ≤2时取等号，实数b ∈[－1，＋∞)．--------5

当a ＝1时，g (x )＝?????1x ＋x －2， 0<x <1

2x －2， 1≤x ≤22， x >2

，------6 当0<x <1时，g (x )＝1x ＋x －2>2x ·1x －2＝0；-----7

当x ≥1时，g (x )≥0，当且仅当x ＝1等号成立；-----9

故当x＝1时，y＝g(x)取得最小值0.----------10

11

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/isni.html