004-质点与质点系的动量定理和动量守恒定律

质点与质点系的动量定理和动量守恒定律

1、选择题：

AABCB ABBBD CAABD ADCDA

2、判断题：

对错对对错 错错错错对

3、填空题

?1

-2mv0； mv/(M+m)； PB1＝0.5P0； F?t/m； 14 m · s； 2mv； 2mv0；

Mv??1

； v＝Mv0/m； mv0 sin?； ?mv0； v＝2 m/s； v＝16 m · s；M?m?1

10 m/s； PB＝– P0 + b t； v1＝2 m/s； v＝12.5 m ·s； s； ?P＝160 N·

???v ＝5 m/s； vB＝i?5j。

4、计算

1、质量为1 kg的物体，由水平面上点O 以初速度v0=10m/s竖直上抛，若不计空气的阻力，求（1）物体从上抛到上升到最高点过程中，重力的冲量；（2）物体从上抛到上升到最高点，又自由降落到O点过程中，重力的冲量；（3）如果降落到地面时，物体和地面作用的时间为0.01秒（落地后物体未反弹），则物体受到地面的平均作用力为多少，方向如何？（取重力加速度g=10m/s2）

解答及评分标准：

（1）规定向上的方向为正。

物体从上抛到上升到最高点过程中，只有重力的作用，由冲量定理得

I??p?m(v?v0)?1?(0?10)??10(N?s)

负号说明重力冲量的方向向下。 （3分） （2）规定向上的方向为正。

物体从上抛到上升到最高点，又自由降落到O点（速度为v2=-10m/s）过程中，只有重力的作用，由冲量定理得

I??p?m(v2?v0)?1?(?10?10)??20(N?s)

1

负号说明重力冲量的方向向下。 （3分）

（3）规定向上的方向为正。

物体自由降落到地面时，速度为v2=-10m/s，受到重力和地面支持力的作用，由冲量定理得

(F?mg)?t?m(0?v2)?F?mg?

mv2?1010(N) ?t作用力的方向竖直向上。 （4分） 2、速率为300m/s水平飞行的飞机，与一身长0.2m、质量为0.2kg的飞鸟碰撞，假设碰撞后小鸟粘在飞机上，同时忽略小鸟在碰撞前的速度，求（1）小鸟在碰撞后动量的增量；（2）假设飞机在碰撞前的动量为1.5?107N.s，求飞机的质量及碰撞后飞机的动量；（3）在碰撞过程中飞机受到飞鸟的平均冲击力的大小。

解答及评分标准：

（1）由于小鸟的质量远远小于飞机的质量，因此小鸟在碰撞后，速度近似为300m/s，动量的增量为

?p?m(v?v0)?0.2(300?0)?60(N.s) （2分）

（2）由动量定义得，飞机的质量为

p1?Mv0?M?p1/v0?1.5?107/300?5?104(kg) （2分）

由动量守恒得，飞机在碰撞中，减少的动能等于小鸟增加的动能

p2?p1??p?1.5?107?60?1.5000060?107?1.5?107(N?s)（2分）

（3）在碰撞过程中，碰撞时间为：0.2/300s，由动量定理得，飞鸟受到的平均冲击力

F?t??p?F??p/t?60/(0.2/300)?9?104(N) （2分）

由于飞鸟受到的力和飞机受到的力是作用力和反作用力，因此飞机受到飞鸟的平均冲击力的大小为F???F??9?10(N), 大小为9?10N （2分）

3、一质量为10 kg的物体，沿x轴无摩擦地滑动，t=0时刻，静止于原点，求（1）物体在力F?3?4t N的作用下沿直线运动了3秒，求物体的动量；（2）物体在力F?3 N的作用下沿直线运动了3米，求物体的动量。(取5?2.23)

解答及评分标准：

（1）由冲量定理得

p??p??F?dt??(3?4t)?dt?27(N.s) （4分）

0344

2

（2）在3米处，质点对应的时间为：

a?F/m?0.3 ?v?v0??x?x0?a?dt??0.3?dt?0.3t??v?dt??0.3t?dt?t00tt00tt （3分）

0.3222x?0.3t?3?t?20?25?4.46(s) （1分） 2由冲量定理得

p??p??F?dt??

4.4603?dt?13.4(N.s) （2分）

方法2：由牛顿第二定律先求速度，再求解动量。 方法3：由动能定理先求出速度，再求动量。

4、质量为m的质点在Oxy平面内运动，运动方程为：r?a??cos(?t)i?sin(?t)j??，

求：（1）质点的动量，及动量大小；（2）从t =0到t =? /? 时间内质点受到的冲量；（3）从t =0到t =2? /? 时间内质点受到的冲量。

解答及评分标准：

（1）质点的速度为。

???????drv???a??sin(?t)i?cos(?t)j? （2分） ??dt质点的动量

????p?mv?m?a???sin(?t)i?cos(?t)j?? （2分）

动量大小为 p?m?asin(?t)?cos(?t)?m?a （1分） （2）p(t?0)?m?aj，p(t??/?)??m?aj， 得从t =0到t =? /? 时间内质点受到的冲量：

?22?????????p?p(t??/?)?p(t?0)??2m?aj （3分）

（3）同上可得，从t =0到t =2? /? 时间内质点受到的冲量

????p?p(t?2?/?)?p(t?0)?0 （2分）

5、（1）质量为M＝1.5 kg的物体，用一根长为l＝1.25 m的细绳悬挂在天花板上．今有一质量为m＝10 g的子弹以v0＝500 m/s的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小v ＝30 m/s，

?设穿透时间极短。求： v0 (a) 子弹刚穿出时绳中张力的大小； (b) 子弹在穿透过程中所受的冲量。

M l ?v

3

（2）在水平光滑的冰面上（忽略摩擦），质量为M的人手里拿着一个质量为m的物体，初始时刻，人静止于冰面上。此人用与水平面成?角的速度v0（相对于人）向后抛出物体。问：人抛出物体后的动量？（假设人可视为质点）

解答及评分标准：

（1） (a)因穿透时间极短，故可认为物体未离开平衡位置。因此,作用于子弹、物体系统上的外力均在竖直方向，故系统在水平方向动量守恒。 （1分）

令子弹穿出时物体的水平速度为v?

有 mv0 = mv+M v?

v? = m(v0-v)/M =3.13 m/s （1分） T =Mg+Mv? 2/l =26.5 N （1分）

?(b) f?t?mv?mv0??4.7N?s (设v0方向为正方向) 负号表示冲量方向与v0方向相反． （2分）

（2）人在抛出物体时：人和物体系统水平方向无外力，水平方向系统动量守恒。

（1分）

设物体被抛出瞬间，人对地的速度为v，则物体对地的速度为(v?v0cos?)，系统水平动量守恒式为

m(v?v0cos?)?Mv?0

?mv0cos? （2分）

m?MmMv0cos?人的动量：p?Mv?

m?M得 v? 方向与抛出物体的方向相反。 （2分）

6、（1）两质点的质量分别为m1=100 g和m2＝40 g，

?????它们各具有初速度v10?(2.8i?3.0j) cm/s和v20?7.5jcm/s，它们碰撞后的速度分别为 ??????试求该系统的总动量（要求矢量形式）；；v1?(1.2i?2.0j)cm/s和v2?(4.0i?5.0j)cm/s，

试问碰撞后不再作为动能出现的那部分能量占初始动能的几分之几？这个碰撞是弹性碰撞

吗？

（2）质量为1 kg的物体，它与水平桌面间的摩擦系数? =

F0.2 ．现对物体施以F = 10t (SI)的力，（t表示时刻），力的方向30°保持一定，如图所示．如t = 0时物体静止，则t = 3 s时，它的速度大小v 为多少? （取重力加速度g=9.8m/s2）

解答及评分标准：

（1）系统的总动量

由动量守恒定律，碰前、碰后系统动量相等，得

?????? p?m1v （2分）10?m20?m1?m2v1v2 v?????100?(1.2i?2.0j)g?cm/s?40?(4.0i?5.0j)g?cm/s

? ?280ig?cm/s （1分）

（分量相加也可）

碰后不再作为动能出现的能量占初始动能的份额

2?EKEK0?EKEKm1v12?m2v2 ??1??1??44.5% （1分）22EK0EK0EK0m1v10?m2v20 因此，碰撞不是弹性碰撞． （1分）

4

（2）由题给条件可知物体与桌面间的正压力

N?Fsin30??mg （1分）物体要有加速度必须 Fcos30???N

即 5(3??)t??mg， t?0.256s?t0 （1分） 物体开始运动后，所受合力的冲量为

t2I??(Fcos30???N)dt?3.83(t2?t0 )?1.96(t?t0) （1分）

t0 t = 3 s, I = 28.8 N s

则此时物体的动量的大小为 mv?I 速度的大小为 v?

7、（1）在28天里，月球沿半径为 4.0×108 m的圆轨道绕地球一周．月球的质量为7.35×1022 kg，地球的半径为6.37×106 m．求在地球参考系中观察时，在14天里，月球动量增量的大小。（取重力加速度g=10m/s2）

（2）在光滑的水平面上，质量为m，速率为v的小球，以入射角?斜向与墙壁相碰，又以原速率沿相同角度的反射角方向从墙壁弹回．设碰撞时间为?t，求墙壁受到的平均冲力。

解答及评分标准：

（1）地球和月球的质量分别用Me和Mm表示，地球半径用Re表示．设月球绕地球运转的速率为v，则

I?28.8 m/s （2分） mGMeMm/r2?Mmv2/r （1分）

而地面附近 GMem/Re2=mg ∴GMe=Re2g

∴ v?Reg/r （2分）

?P?2Mmv?2MmReg/r?1.5?1026kg?m/s （2分）

（2）解法1：建立图示坐标，以vx 、vy表示小球反射速度的x和y分量,则由动量定

理，小球受到的冲量的x,y分量的表达式如下：

x方向：Fx?t?mvx?(?mvx)?2mvx （1分） y方向：Fy?t??mvy?(?mvy)?0 （1分） ∴ F?Fx?2mvx/?t v x=v cos a

（1分） F?2mvcos?/?t 方向沿x正向．

x根据牛顿第三定律，墙受的平均冲力 F??F ∴

方向垂直墙面指向墙内。 （2分）

my??O m 5

解法2：作动量矢量图，由图知由动量定理: 得

??(mv)?2mvcos?

mv a mv a 方向垂直于墙向外 （2分）

? F?t??(mv)

F?2mvcos?/?t （1分）

??(mv) 不计小球重力，F即为墙对球冲力

由牛顿第三定律,墙受的平均冲力 F??F （2分） 方向垂直于墙，指向墙内。

8、如图所示，有两个长方形的物体A和B紧靠着静止放在光滑的水平桌面上，已知mA＝2 kg，mB＝3 kg．现有一质量m＝100 g的子弹以速率v0＝800 m/s水平射入长所受的摩擦力为F= 3×103 N，求：

(1) 子弹在射入A的过程中，B受到A的作用力的大小； (2) 当子弹留在B中时，A和B的速度大小。

解答及评分标准：

子弹射入A未进入B以前，A、B共同作加速运动．

F＝(mA+mB)a， a=F/(mA+mB)=600 m/s2 （2分）

B受到A的作用力 N＝mBa＝1.8×103 N 方向向右 （2分） A在时间t内作匀加速运动，t秒末的速度vA＝at．当子弹射入B时，B将加速而A则以vA的速度继续向右作匀速直线运动。

vA＝at＝6 m/s （2分） 取A、B和子弹组成的系统为研究对象，系统所受合外力为零，故系统的动

量守恒，子弹留在B中后有 （1分）

mv0?mAvA?(m?mB)vB （2分）

v0A B 方体A，经t = 0.01 s，又射入长方体B，最后停留在长方体B内未射出．设子弹射入A时

。vB?

mv0?mAvA?22m/s （1分）

m?mB9、A、B两船在平静的湖面上平行逆向航行，当两船擦肩相遇时，两船各自向对方平稳地传递50kg的重物，结果是A船停了下来，而B船以3.4m/s的速度继续向前驶去。A、B两船原有质量分别为0.5?103kg和1.0?103kg，求在传递重物前两船的速度。（忽略水对船的阻力）

解答及评分标准：

（1）对于A船及抛出的重物和B船抛来的重物组成的系统，因无外力（水对船的阻力已忽略），系统动量守恒 （2分） 设A船抛出重物前的速度大小为vA、B船抛出重物前的速度大小为vB，

两船抛出的重物的质量均为m．则动量守恒式为，

mAvA?mvA?mvB?0 （1） （2分）

（2）对于B船及抛出的重物和A船抛来的重物组成的系统，因无外力（水对船的阻力已忽略），系统动量守恒 （2分） 设B船抛出重物后的速度大小为VB，则动量守恒式为，

mBvB?mvB?mvA?mBVB （2） （2分）

6

联立（1）、（2）式并代入mA?0.5?103kg、mB?1.0?103kg、m?50kg、

VB?3.4 m/s可得

vA??mBmVB??0.4 m/s 2(mA?m)(mB?m)?m vB?

(mA?m)mBVB ?3.6 m/s （2分）2(mA?m)(mB?m)?m?10、（1）光滑水平面上有两个质量不同的小球A和B，A球静止，B球以速度v和A球发生碰撞，碰撞后B球速度的大小为0.5v，方向与v垂直，求碰后A球运动方向。

（2）以速率v0和仰角?0发射一炮弹，假设它在到达弹道最高点时爆炸成为质量相等的两块，其中一块以速率v1竖直下落，试求另一块的速度大小和方向（忽略空气阻力）。

解答及评分标准：

（1）建坐标如图．设球A、B的质量分别为mA、mB，由动量守恒定律可得：

x方向： mBv?mAvAcos? （2分） y分向： mAvAsin （2分） ??mBv/?2 0联立解出 ???arctg() （1分）

（2）? 设炮弹的质量为2m，爆炸成的两块质量各为m；

在弹道最高点处，炮弹爆炸前的速度沿水平方向，大小为

v?v0cos?0； 在弹道最高点处，炮弹爆炸后，一块以速率v1竖直下落，另一

块的速度为v2，仰角为?．

? 由爆炸过程动量守恒有 （2分）

??? 2mv?mv1?mv2 （1分）

mv2

y A v B A ??B x v/2 vA ?12

? 2mv

mv1 三个矢量满足如图直角三角形关系：

2由矢量三角形有 (mv2)2?(2mv0cos?0)2?(mv 1) （1分）

可得 v2?

v1224v0cos2?0?v1， ??arctan （1分）

2v0cos?0 7

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