东华大学11~12概率试题

2011~2012上（A）（2011.12.21） 一、填空(每题5分，共15分)：

1、假设连续型随机变量?的密度函数为f?x??ae?2x，则a?___________。

2、已知B?A,P(B)?0.9,PA?C?0.8，则P?B?AC??___________。

3、假设随机变量?~π??????0?，并且P???1??P???2?，则P???1?? 。。 4、假设?~N(1,1),?~π?1?,?~B?4,?，则E????????_________。

????1?2?二、单项选择题(每题5分，共20分)：

1、在假设检验中，H0表示原假设，H1表示备择假设，则称为犯第一类错误的是_________。 (A) H1不真，接受H1； (B) H1不真，接受H0； (C) H0不真，接受H0； (D) H0不真，接受H1。

2、假设随机变量?和?均服从标准正态分布，则下列结论正确的是_________。 (A) ???服从正态分布； (B) ?2??2服从?2?分布； (C) ?2与?2均服从?2?分布； (D)

??2服从t?分布。

3、假设随机变量?的方差D????0，则下列结论必定正确的是_________。

(A) E????0； (B) 存在随机变量?及常数a,b，使得??a??b； (C) 存在常数c，使得??c； (D) E?2?0。

4、假设设随机变量?~N?,?2，则随着?的增大，概率Px????是_________。 (A) 单调增大； (B) 单调减小； (C) 保持不变； (D) 增减性不定。 三（12分）、假设?1,?2,?,?n是来自于总体?的样本，而?的概率密度函数为

???????x?12x22??,x?0, f?x;?????2e?0,x?0.?其中??0是未知参数，试求?的极大似然估计量并讨论无偏性。

四（8分）、袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽，求这只硬币是正品的概率。

五（8分）、假设连续型随机变量?的分布函数F?x?为严格单调的，又设??F???。试求?的概率密度函数。

六（8分）、假设某小鸡的生蛋数服从参数为??0的泊松分布，而每一枚鸡蛋发育成小鸡的概率为0?p?1并且各个蛋是否发育成小鸡是独立的，试求该小鸡后代数的分布率。 七（8分）、已知随机变量?,?的联合概率密度函数为

?2xy?x?,0?x?1,0?y?2,f?x,y??? 3?其他.?0,试求?的边缘密度函数。

八（8分）、甲乙两个剧院竞争1000名观众，假定每一位观众完全可以独立地任意选择一个剧院，试问每个剧院需配置多少个座位，才能以0.99的概率保证每一位观众来剧院时就一定有座位可供使用（已知

122.33?x2??12π?edx?0.99）。

九、(8分) 以下两题任选一题：

1、假设?为取值于区间?a,b?的连续型随机变量，试证明下列不等式成立： D????1?b?a?2。 42、设对某目标进行射击，每次击发一枚子弹，直到击中n次为止。假设各次射击相互独立，且每次击中目标的概率为p?0，试求子弹消耗量?的数学期望。

2011~2012上（B）（2012.2.17） 一、填空(每题5分，共20分)：

1、假设连续型随机变量?的分布函数为F?x??a?be?2x,x?0，并且F?x??0,x?0，则

a?_________；b?_________。

2、已知A?B,P(A)?0.9,PB?C?0.8，则P?A?BC??___________。

3、口袋里有红、黑、白各a,b,c只，现随机地从中任取一球，则取出是白球的概率为_________。 4、在关于事件A出现与否的2n?n?1?重Bernoulli试验中，如果P?A??_________。

二、单项选择题(每题5分，共20分)：

1、假设?1,?2,?,?n是来自总体?~N(?,?2)的样本?n?1?，则下列统计量为?的无偏估计量的是_________：

??1，则事件A最可能出现的次数为 21n1n(A) T1??j， (B) T2???j?T12， ?n?1j?1nj?1??(C) T3?1n1n， (D) ?T??j?T32。 ??j4nj?1n?1j?1??2、假设T~t(n)，则下列结论正确的是_________：

(A)

1~F?1,n?， (B) T2~F?1,n?， 2T1~F?n,n?。 T2(C) T2~F?n,1?， (D)

3、假设随机变量?,?的相关系数为?，则下列结论必定正确的是_________： (A) ??1等价于存在唯一的一对实数a,b使得??a??b； (B) ??1等价于存在唯一的一对实数a,b使得P???a??b??1；

(C) ??1等价于存在唯一的一对实数a,b?a?0?使得??a??b； (D) ??1等价于存在唯一的一对实数a,b?a?0?使得P???a??b??1。 4、假设随机事件A,B?P?A??0?相互独立，则下列结论一定不正确的是_________：

(A) PBA?P?B?， (B) P?A?B??P?A??P?B?,P?B??0， (C) A,B互不相容的， (D) PBA?PAB?1。

三（8分）、假设?1,?2,?,?n是来自于总体?的样本，而?的概率密度函数为

???????x?x22??,x?0 p?x;????2e??0,x?0.?其中??0是未知参数，试求?的极大似然估计量。

四（8分）、设有甲、乙两口袋，其中甲袋有白球n只、红球m只；乙袋有白球N只、红球M只。今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，求从乙袋中取出的是白球的概率。

五（10分）、假设?与?相互独立，并且?在[0,2]上服从均匀分布，?服从参数为??1的指数分布，试求

2?????的概率密度函数。

六（8分）、已知随机变量?,?的联合概率密度函数为

?6xy?2?x?y?,0?x?1,0?y?1,f(x,y)??

0,其他.?试求?的边缘密度函数。

七（8分）、将n只球放入M只盒子中，设每只球落入各个盒子是等可能的，试求有球的盒子数?的数学期望。

八（10分）、某工厂设置一电话总机，共有200架电话分机，每个电话分机有5％的时间要使用外线。假设分机使用外线与否是独立的。问总机要配置多少条外线，才能以0.9的概率保证每一部分机使用外线时就有外线可供使用。

??x??1,0?x?1九（8分）、假设总体?的密度函数为f?x;????，参数空间?????1,2。

0,其它???作统计假设H0:??1;H1:??2。今随机地从总体?中抽取容量为n?2的样本??1,?2?，否定域为

??3???x,x??x?122?，试求犯第二类错误的概率。

4x1????2011~2012下（A）（2012.6.14） 一、填空(每题5分，共20分)：

1、已知随机变量?的概率密度为f?x??ae?2x，则a?___________。

2、已知?服从参数为?的泊松分布，且E??E?2?3，则??___________。

3、已知袋中有2个红球、3个黑球，现无返回的取球两次，每次1球，则第二次是红球的概率为___________。 4、假设随机事件A,B相互独立且互不相容，则minP?A?,P?B??________。 二、单项选择题(每题4分，共20分)：

1、假设?1,?2,?,?n是来自总体?~N(?,?2)的样本?n?1?，则下列统计量为?的无偏估计量的是_________：

(A) T1???1n1n， (B) ?T??j?T12， ??j2n?1j?1nj?1??1n1n(C) T3???j， (D) T4??j?T32。 ?nj?1n?1j?1??2、假设T~t(n)，则下列结论正确的是_________：

(A)

1~F?1,n?， (B) T2~F?1,n?， 2T(C) T2~F?n,1?， (D)

1~F?n,n?。 T23、假设随机事件A,B?P?A??0?相互独立，则下列结论一定不正确的是_________：

(A) PBA?P?B?， (B) P?A?B??P?A??P?B?,P?B??0， (C) A,B互不相容的， (D) PBA?PAB?1。

4、在假设检验中，记H0，H1分别为原假设与备择假设，则犯第一类错误是指_________。

(A) 如果H1真，接受H1； (B) 如果H1不真，接受H1； (C) 如果H1真，拒绝H1； (D) 如果H1不真，拒绝H1。

5、假设随机变量?,?的相关系数??1，则下列结论必定正确的是_________：

(A) 存在实数a,b使得P???a??b??1， (B) Cov??,???0， (C) ?与?不相关， (D) ?与?相互独立。

三、（10分）甲、乙两人轮流投篮，直到某人投中为止，假设甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.6。求甲、乙两人投中次数的分布律。

????????cxye??x四、（10分）已知??,??的联合密度函数为f?x,y?????0,2?y2?,x,y?0其他，求c及?的边缘密度函数。

五、（8分）某人打靶，得9分、10分的概率均为0.3，得7分、8分的概率均为0.2。现射击100次，求总分多于900的概率（计算到可查表为止）。

六、（8分）自动包装机装包的每包重量服从正态分布N?,?2。据以往资料，??100，现在经过一段时间使用后，随机的抽查9包，观察得x?101,s?3，在显著性水平??0.05下，问期望有无显著差异。

???e??x???,x??七、（10分）已知总体?的密度函数为f?x???，其中?未知，而?1,?,?n为样本,试求参数

0,x????的矩估计量和极大似然估计量。

八、（10分）某工厂设置一电话总机，共有200架电话分机，每个电话分机有5％的时间要使用外线。假设分机使用外线与否是独立的。问总机要配置多少条外线，才能以0.9的概率保证每一部分机使用外线时就有外线可供使用。

九、（4分）假设?为连续型随机变量，其分布函数为F?x?，试求随机变量??F???的概率密度函数。

十 ， 小鸡生蛋问题解答：

?表示小鸡生蛋数，?表示后代数，

P(??k)??P(??n,??k)??P(??n,??k)n?0n?k???P(??k|??n)P(??n)??Cn?kn?knn!kn?k???p(1?p)e??n!n?kk!(n?k)!???knp(1?p)kn?k?nn!e???E???p

[?(1?p)]n?k?kpk???[?(1?p)]m?e?m?n?ke?k!(n?k)!k!m!n?km?0????kpkTaylor?kpkk!ee???(1?p)(?p)k??p?e,k?0,1,2k!

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