上海市闸北区2013年高考二模数学试题（理科）及参考答案

闸北区2013学年度第二学期高三数学（理科）期中练习卷

本试卷共有17道试题，满分150分．考试时间120分钟．

一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每

个空格填对得6分，否则一律得零分．

1,?1,i,?i?，集合B??i10,1?i4,(1?i)(1?i),1．设为虚数单位，集合A??A?B? ．

2．函数y?sinx(?34??1?i??，则1?i?2?2?x?0)的反函数为 ．

3．?1?2x??1?x?展开式中x6的系数为 ．

4．一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共10个．已知从袋中任意摸出1个球，得到

27；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意59摸出2个球，记得到白球的个数为?，则随机变量?的数学期望E?? ． 5．半径为r的球的内接圆柱的最大侧面积为 ． 6．设M?x,y,z?为空间直角坐标系内一点，点M在xOy平面上的射影P的极坐标为??,??（极坐标系以O为极点，以x轴为极轴），则我们称三元数组??,?,z?为点M的柱面坐

黑球的概率是

??? ,?1?，则直线OM与xOz平面所成的角为 ．

?3?7．设y?f(x)为R上的奇函数，y?g(x)为R上的偶函数，且g(x)?f(x?1)，

g(0)?2．则f(x)? ．（只需写出一个满足条件的函数解析式即可）

标．已知M点的柱面坐标为?6,8．某商场在节日期间举行促销活动，规定：

（1）若所购商品标价不超过200元，则不给予优惠；

（2）若所购商品标价超过200元但不超过500元，则超过200元的部分给予9折优惠； （3）若所购商品标价超过500元，其500元内（含500元）的部分按第（2）条给予优

惠，超过500元的部分给予8折优惠．

某人来该商场购买一件家用电器共节省330元，则该件家电在商场标价为 ． 9．设OA??x,a?x?，OB??x,2?，x??1,2?，且OA?OB，则函数f(x)?loga的最大值为 ．

二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确

的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分． 10．命题“对任意的x?R，f(x)?0”的否定是 【 】

A．对任意的x?R，f(x)?0 B．对任意的x?R，f(x)?0 C．存在x0?R，f(x0)?0 D．存在x0?R，f(x0)?0

11．设函数f(x)?lg(a?b)(a?1?b?0)，若f(x)取正值的充要条件是x?[1,??)，则a，b满足 【 】 A．ab?1 B．a?b?1 C．ab?10 D．a?b?10 12．在xOy平面上有一系列的点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，?，Pn(xn,yn)，?， 对于所

有正整数n，点Pn位于函数y?x(x?0)的图像上，以点Pn为圆心的⊙Pn与x轴相切，且⊙Pn与⊙Pn?1又彼此外切，若x1?1，且xn?1?xn．则limnxn? 【 】

n??1x?1axx2A．0 B．0.2 C．0.5 D．1

三、解答题（本题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对

应的题号）内写出必要的步骤． 13．本题满分14分

已知a?(cos?,sin?)和b?(2?sin?,cos?)，??(?,2?)，且|a?b|?82，求5????sin?与cos???的值．

?28?14．本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分

某粮仓是如图所示的多面体，多面体的棱称为粮仓的“梁”．现测得底面ABCD是矩形，AB?16米，AD?4米，腰梁AE、BF、CF、DE分别与相交的底梁所成角均为60?．

（1）请指出所有互为异面的且相互垂直

的“梁”，并说明理由；

（2）若不计粮仓表面的厚度，该粮仓可

储存多少立方米粮食？

15．本题满分16分，第1小题满分8分，第2小题满分8分

和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹．在空间直角坐标系O?xyz中，空间曲面的方程是一个三元方程F(x,y,z)?0．

设F1、F2为空间中的两个定点，|F1F2|?2c?0，我们将曲面?定义为满足

|PF1|?|PF2|?2a(a?c)的动点P的轨迹．

（1）试建立一个适当的空间直角坐标系O?xyz，求曲面?的方程； （2）指出和证明曲面?的对称性，并画出曲面?的直观图． 16．本题满分16分，第1小题满分8分，第2小题满分8分

n?1设数列?an?与{bn}满足：对任意n?N?，都有ban?2??b?1?Sn，bn?an?n?2．

n其中Sn为数列?an?的前n项和．

（1）当b?2时，求数列?an?与{bn}的通项公式； （2）当b?2时，求数列?an?的前n项和Sn．

17．本题满分18分，第1小题满分8分，第2小题满分10分

31,)的距离与到定直线22曲线C2是由曲线C1绕坐标原点O按顺时l1:3x?y?2?0的距离相等的动点P的轨迹，

针方向旋转30?形成的．

（1）求曲线C1与坐标轴的交点坐标，以及曲线C2的方程；

（2）过定点M0(m,0)(m?2)的直线l2交曲线C2于A、B两点，已知曲线C2上存

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1为到定点F(在不同的两点C、D关于直线l2对称．问：弦长CD是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，请说明理由．

上海市闸北区2013年高考二模数学试题（理科）

参考答案

一、1．??1,i? 2．y?arcsin(?x)(0?x?1)等 3．?20

4．1 5．2?r2 6．arcsin7．f(x)?2sin3101等 37?x等 8．2000 9．?1?loga(1?a) 21第2题的答案也可写为y?arccos?1?2x?(0?x?1)；第6题的答案也可写为

2?3101；第9题的答案也可写为0． ?arccos237二、10． D； 11．B； 12．C． 三、13．解：a?b?(cos??sin??2,cos??sin?)

|a?b|?(cos??sin??2)2?(cos??sin?)2

?4?22(cos??sin?) ????21?cos????． （4分）

4??由|a?b|?82??7?，得cos?????. （1分） 54?25?????24???sin??????1?cos2??????. （1分）

4?4?25??312172????????????或 （2分） ?sin????????sin????cos?cos????sin??5044?4?44?450????????2?，

312?sin???. （2分）

50?????2??又cos?????2cos????1， 4???28?????16． （2分） cos2????2825??5???9????，?cos?????0， ????82884??4?????cos?????． （2分）

5?28?

??另解：?a?b?(2?sin??cos?,sin??cos?)

??2128 ?a?b?(2?sin??cos?)2?(sin??cos?)2?4?22(sin??cos?)?2572 ① （4分） ?sin??cos???25985272由(sin??cos?)?1?2sin?cos??，得2sin?cos???0，

6256253???(?,?) （2分）

2242?sin??cos???1?2sin?cos??? ② （2分）

25312172由①、②得sin??? （2分） ,cos???5050??5?7?又???(,)，

2888?21?cos(??)1?(cos??sin?)??442?cos(?)?????? （4分） 28225

14．解：（1）EF与AD，EF与BC，DE与BF，AE与CF， （2分） 由已知，有EF//AB， ?AB?AD， ?EF?AD.

同理，有EF?BC. （2分）

过点E作EK//FB交AB点K，则?DEK为异面直线DE与FB所成的角，

?DE?FB?4，AK?2?(4cos60o)?4，DK?42，

??DEK?90o，即DE?BF，同理AE?CF （3分） （2）过点E分别作EM?AB于点M，EN?CD于点N，连接MN，则AB⊥平面EMN，

?平面ABCD⊥平面EMN，过点E作EO?MN于点O，则EO⊥平面ABCD 由题意知，AE?DE?AD?4，

AM?DN?4cos60??2，EM?EN?23，

?O为MN中点，?EO?22即四棱锥E?AMND的高， （2分） 同理，再过点F作FP?AB于点P，ENFQ?CD于点Q，连接PQ，

原多面体被分割为两个全等的四棱锥和一个直棱柱，且MP?16?2?2?12（2分）

111762（2分） ?V多面体=2V四棱锥+V直棱柱=2??（2?4）?22+（?4?22）?12=323答：该粮仓可储存1762立方米的粮食 （1分） 3

15．解：（1）如图，以两个定点F1，F2的中点为坐标原点O，以F1，F2所在的直线为y

轴，以线段F1F2的垂直平分线为x轴，以与xOy平面垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系O?xyz， （1分） 设|F1F2|?2c?0，|PF1|?|PF2|?2a(a?c)，P(x,y,z)

?x2?(y?c)2?z2?x2?(y?c)2?z2?2a， （2分）

?x2?(y?c)2?z2?2a?x2?(y?c)2?z2

两边平方，得

?ax2?(y?c)2?z2?a2?cy， （2分）

两边平方，整理得

x2y2z2?2?2?1 222a?caa?cx2y2z222令a?c?b，得2?2?2?1．① （3分）

babx2y2z2若点F1、F2在x轴上，则方程为：2?2?2?1

abb（2）对称性：

由于点(x,y,z)关于坐标原点O的对称点(?x,?y,?z)也满足方程①，说明曲面?关于坐标原点O对称； （1分）

由于点(x,y,z)关于x轴的对称点(x,?y,?z)也满足方程①，说明曲面?关于x轴对称；同理，曲面?关于y轴对称；关于z轴对称． （1分） 由于点(x,y,z)关于xOy平面的对称点(x,y,?z)也满足方程①，说明曲面?关于xOy平面对称；同理，曲面?关于xOz平面对称；关于yOz平面对称． （2分） 图略． （4分）

16．解：由题意知a1?2，且

ban?2n??b?1?Sn

ban?1?2n?1??b?1?Sn?1

两式相减得b?an?1?an??2??b?1?an?1

n即an?1?ban?2 ① （2分） （1）当b?2时，由①知an?1?2an?2 于是an?1??n?1??2?2an?2??n?1??2

nnnnn ?2an?n?2又a1?1?2n?1?n?1?

n?1?1?0，所以?an?n?2n?1?是首项为1，公比为2的等比数列．

n?1故知，bn?2另解：

， （4分）

n?1再由bn?an?n?2，得an??n?1?2． （2分）

an?1an1?? （2分） 2n?12n2a11?a??1是首项为，公差为的等差数列， ??n?1n222??

ann?1n?1 ?1??2n22?an??n?1??2n?1 （4分） ?bn??n?1??2n?1?n?2n?1?2n?1 （2分）

（2）当b?2时，由①得

111???2n?1?ban?2n??2n?1?b?an??2n? （2分） 2?b2?b2?b??n若b?0，Sn?2 （1分） an?1?nn?1若b?1，an?2，Sn?2?2 （1分）

1，数列?an?若b?0、2(1?b)1?为首项，以b为公比的等比数列，故 ?2n?是以

2?b2?b?12(1?b)n?1an??2n??b，

2?b2?b1an?2n??2?2b?bn?1 （2分）

2?b12(1?b)Sn?2?22?23?????2n?1?b1?b2?????bn?1

2?b2?b2(2n?bn)Sn?

2?bb?1时，Sn?2n?1?2符合上式

????????2(2n?bn)所以，当b?0时，Sn? （2分）

2?bn当b?0时，Sn?2 （1分）

另解：

当n?1时，S1?a1?2 （1分） 当n?2时，?ban?2??b?1?Sn

n?b?Sn?Sn?1??2n??b?1?Sn

?Sn?bSn?1?2n （2分）

若b?0，Sn?2 （1分） 若b?0，两边同除以2得

nSnbSn?1???1 2n22n?1SnSnbSn?1bSn?12?2m?m??n?1?m?m??(n?1?) 令n，即?1n222222b2?2m2由m?得m?

bb?2Sn2bb?{n?}是以为首项，为公比的等比数列

2b?2b?22n

Sn2bbn?1???()， 2nb?2b?222(2n?bn)所以，当b?0时，Sn? （4分）

2?b?

17．解：（1）设P(x,y)，由题意，可知曲线C1为抛物线，并且有

3211)?(y?)2?3x?y?2， 222化简，得抛物线C1的方程为：x2?3y2?23xy?83x?8y?0．

8令x?0，得y?0或y?，

3令y?0，得x?0或x?83，

?8?所以，曲线C1与坐标轴的交点坐标为?0,0?和?0,?，(83,0)． （3分）

?3?由题意可知，曲线C1为抛物线，过焦点与准线垂直的直线过原点，

(x?点F(31,)到l1:y??3x?2的距离为223???31??222?2． （2分） 223?1所以C2是以?1,0?为焦点，以x??1为准线的抛物线，其方程为：

y2?4x． （3分）

（2）设C(x1,y1)，D(x2,y2)，由题意知直线l2的斜率k存在且不为零，设直线l2的方程

1为y?k(x?m)，则直线CD的方程为y??x?b， （1分）

k1??y??x?b,2则?得y?4ky?4kb?0， k?y2?4x.?所以??16k(k?b)?0 ① （2分） y1?y2??4k,y1?y2??4kb， 设弦CD的中点为G(x3,y3)，则

y3??2k,x3?k(b?2k).

因为G(x3,y3)在直线l2上，所以

m?2?2k2 ② ?2k?k(bk?2k?m)，即b?k2将②代入①，得0?k?m?2，

2m?3??m?1??CD?1???k??y1?y2?1?k2?(y1?y2)2?4y1y2?4??k2?????（4分）

22????设t?k2，则0?t?m?2． （1分）

222

?m?3??m?1?构造函数f(t)?4??t?????，0?t?m?2．

22?????m?2?0,由已知m?2，当?，即2?m?3时，f(t)无最大值，所以弦长CD不存在

?m?3?0最大值． （1分） 当m?3时，f(t)有最大值2(m?1)，即弦长CD有最大值2(m?1). （1分）

22

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