重庆2014中考复习25题专题训练(含详细解答哟)【4月份】

2014重庆中考复习25题专题训练(含详细解答)

一．解答题（共30小题）

1．（2013?重庆）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；

（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．

考点：二次函数综合题．2364070

专题：压轴题．

分析：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点∑的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；

（3）先求出△ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．证明△EBD为

等腰直角三角形，则BE=BD=6，求出E的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1

，然后解方程组

，即可求出点P的坐标．

解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，

得，解得，

所以直线BC的解析式为y=﹣x+5；

将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，

得，解得，

所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5；

（2）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5），

∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x

﹣）2+，

∴当

x=时，MN 有最大值；

（3）∵MN取得最大值时，x=2.5，

∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．

1

解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5，∴A（1，0），B（5，0），

∴AB=5﹣1=4，

∴△ABN的面积S2

=×4×2.5=5，

∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30．

设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD．

∵

BC=5，∴BC?BD=30，∴

BD=3．

过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．

∵BC⊥BD，∠OBC=45°，

∴∠EBD=45°，

∴△EBD为等腰直角三角形，BE=BD=6，

∵B（5，0），

∴E（﹣1，0），

设直线PQ的解析式为y=﹣x+t，

将E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1

∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1．

解方程组，得，，

∴点P的坐标为P1（2，﹣3）（与点D重合）或P2（3，﹣4）．

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，平行四边形的判定和性质等知识点，综合性较强，考查学生运用方程组、数形结合的思想方法．（2）中弄清线段MN长度的函数意义是关键，（3）中确定P与Q的位置是关键．

2．（2013?重庆）如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标；

（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．

①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；

②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

2

3

考点：

二次函数综合题．2364070 专题：

压轴题． 分析： （1）由抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为直线x=﹣1，交x 轴于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（﹣3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B 点的坐标；

（2）①a=1时，先由对称轴为直线x=﹣1，求出b 的值，再将B （1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x 2+2x ﹣3，得到C 点坐标，然后设P 点坐标为（x ，x 2+2x ﹣3），根据S △POC =4S △BOC 列出关于x 的方程，解方程求出x 的值，进而得到点P 的坐标；

②先运用待定系数法求出直线AC 的解析式为y=﹣x ﹣3，再设Q 点坐标为（x ，﹣x ﹣3），则D 点坐标为（x ，x 2+2x ﹣3），然后用含x 的代数式表示QD ，根据二次函数的性质即可求出线段QD 长度的最大值．

解答： 解：（1）∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴相交于A 、B 两点，

∴A 、B 两点关于直线x=﹣1对称，

∵点A 的坐标为（﹣3，0），

∴点B 的坐标为（1，0）；

（2）①a=1时，∵抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为直线x=﹣1， ∴=﹣1，解得b=2．

将B （1，0）代入y=x 2+2x+c ，

得1+2+c=0，解得c=﹣3．

则二次函数的解析式为y=x 2+2x ﹣3，

∴抛物线与y 轴的交点C 的坐标为（0，﹣3），OC=3．

设P 点坐标为（x ，x 2+2x ﹣3），

∵S △POC =4S △BOC ， ∴×3×|x|=4××3×1，

∴|x|=4，x=±4．

当x=4时，x 2+2x ﹣3=16+8﹣3=21；

当x=﹣4时，x 2+2x ﹣3=16﹣8﹣3=5．

所以点P 的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；

②设直线AC 的解析式为y=kx+t ，将A （﹣3，0），C （0，﹣3）代入， 得，解得，

即直线AC 的解析式为y=﹣x ﹣3．

设Q 点坐标为（x ，﹣x ﹣3）（﹣3≤x ≤0），则D 点坐标为（x ，x 2+2x ﹣3），

QD=（﹣x ﹣3）﹣（x 2+2x ﹣3）=﹣x 2﹣3x=﹣（

x+）2+，

∴当x=

﹣时，QD 有最大值．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．

3．（2013?雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；

（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．

①求S与m的函数关系式；

②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题．2364070

专题：综合题；压轴题．

分析：（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；

（2）根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可；

（3）设点E的横坐标为m，表示出E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3），最后表示出EF的长，从而表示出S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可．

解答：解：（1）由题意可知：

解得：

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；

（2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC

∵BC是定值，

4

∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，

∵点A、点B关于对称轴I对称，

∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点∵AP=BP

∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC ∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），

∴

AC=3，BC=；

故△PBC周长的最小值为3+．

（3）①∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3顶点D的坐标为（﹣1，4）∵A（﹣3，0）

∴直线AD的解析式为y=2x+6

∵点E的横坐标为m，

∴E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3）

∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6）

=﹣m2﹣4m﹣3

∴S=S△DEF+S△AEF

=EF?

GH+EF?AG

=EF?AH

=（﹣m2﹣4m﹣3）×2

=﹣m2﹣4m﹣3；

②S=﹣m2﹣4m﹣3

=﹣（m+2）2+1；

∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1

此时点E的坐标为（﹣2，2）．

点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的最值，根据点的坐标表示出线段的长是表示出三角形的面积的基础．

4．（2013?新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

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考点：

二次函数综合题．2364070 专题：

代数几何综合题；压轴题． 分析： （1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；

（2）利用待定系数法求出直线AC 的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC 与对称轴的交点即为所求点D ；

（3）根据直线AC 的解析式，设出过点E 与AC 平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y 得到关于x 的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE 的面积最大，然后求出此时与AC 平行的直线，然后求出点E 的坐标，并求出该直线与x 轴的交点F 的坐标，再求出AF ，再根据直线l 与x 轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC 间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 解答：

解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+3经过点A （1，0），点C （4，3）， ∴

， 解得， 所以，抛物线的解析式为y=x 2﹣4x+3；

（2）∵点A 、B 关于对称轴对称，

∴点D 为AC 与对称轴的交点时△BCD 的周长最小，

设直线AC 的解析式为y=kx+b （k ≠0）， 则

， 解得，

所以，直线AC 的解析式为y=x ﹣1，

∵y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，

∴抛物线的对称轴为直线x=2，

当x=2时，y=2﹣1=1，

∴抛物线对称轴上存在点D （2，1），使△BCD 的周长最小；

（3）如图，设过点E 与直线AC 平行线的直线为y=x+m ， 联立，

消掉y 得，x 2﹣5x+3﹣m=0，

△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m ）=0，

即m=

﹣时，点E 到AC 的距离最大，△ACE 的面积最大，

此时

x=，

y=﹣

=﹣， ∴点E 的坐标为（，﹣），

设过点E的直线与x轴交点为F，则F （，0），

∴

AF=﹣1=，

∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，

∴点F到AC 的距离为×

=，

又∵

AC==3，

∴△ACE的最大面积

=×

3×

=，此时E 点坐标为（，﹣）．

点评：本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题．

5．（2013?湘潭）如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线

y=x2+bx﹣2的图象过

C点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？

（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

考点：二次函数综合题．2364070

专题：压轴题．

分析：如解答图所示：

（1）首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式；

（2）首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表达式；根据S△CEF

=S△ABC，列出方程求出直线l的解析式；

7

（3）首先作出?PACB，然后证明点P在抛物线上即可．

解答：解：（1）如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°．∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，

∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．

∵在△AOB与△CDA中，

∴△AOB≌△CDA（ASA）．

∴CD=OA=1，AD=OB=2，

∴OD=OA+AD=3，

∴C（3，1）．

∵点C（3，1）在抛物线y=x2+bx﹣2上，

∴1=×9+3b﹣2，解得：b=﹣．

∴抛物线的解析式为：

y=x2﹣x﹣2．

（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：

AB=．

∴S△ABC

=AB2

=．

设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），∴，

解得k=

﹣，b=2，

∴y=

﹣x+2．

同理求得直线AC的解析式为：

y=x ﹣．

如答图1所示，

设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF=（﹣x+2）﹣（x

﹣）=﹣x．△CEF中，EF边上的高h=OD﹣x=3﹣x．

由题意得：S△CEF

=S△ABC，

即：EF?h=S△ABC，

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∴

（﹣x）?（3﹣x）

=×，

整理得：（3﹣x）2=3，

解得x=3﹣或x=3+（不合题意，舍去），

∴当直线l解析式为x=3﹣时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分．

（3）存在．

如答图2所示，

过点C作CG⊥y轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OB﹣OG=1．

过点A作AP∥BC，且AP=BC，连接BP，则四边形PACB为平行四边形．

过点P作PH⊥x轴于点H，则易证△PAH≌△BCG，

∴PH=BG=1，AH=CG=3，

∴OH=AH﹣OA=2，

∴P（﹣2，1）．

抛物线解析式为：y=x2﹣x﹣2，当x=﹣2时，y=1，即点P在抛物线上．

∴存在符合条件的点P，点P的坐标为（﹣2，1）．

点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点．试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算．

6．（2013?梧州）如图，抛物线y=a（x﹣h）2+k经过点A（0，1），且顶点坐标为B（1，2），它的对称轴与x轴交于点C．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）在第一象限内的抛物线上求点P，使得△ACP是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标．

（3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标．

考点：二次函数综合题．2364070

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分析：（1）由抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是B（1，2）知：h=1，k=2，则y=a（x﹣1）2+2，再把A点坐标代入此解析式即可；

（2）易知△OAC是等腰直角三角形，可得AC的垂直平分线是直线y=x，根据“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”知直线y=x与抛物线的交点即为点P，解方程组即可求出P点坐标；

（3）先求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标，再与P点的坐标比较进行判断．满足条件的点一定是与直线AC平行且与抛物线有唯一交点的直线与抛物线相交产生的，易求出直线AC的解析式，设出与AC平行的直线的解析式，令它与抛物线的解析式组成的方程组有唯一解，求出交点坐标，通过判断它与点P是否重合来判断点P是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点．

解答：解：（1）∵抛物线y=a（x﹣h）2+k顶点坐标为B（1，2），

∴y=a（x﹣1）2+2，

∵抛物线经过点A（0，1），

∴a（0﹣1）2+2=1，

∴a=﹣1，

∴此抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+2或y=﹣x2+2x+1；

（2）∵A（0，1），C（1，0），

∴OA=OC，

∴△OAC是等腰直角三角形．

过点O作AC的垂线l，根据等腰三角形的“三线合一”的性质知：l是AC的中垂线，

∴l与抛物线的交点即为点P．

如图，直线l的解析式为y=x，

解方程组，

得，（不合题意舍去），

∴点P 的坐标为（，）；

（3）点P不是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点．

由（1）知，点C的坐标为（1，0）．

设直线AC的解析式为y=kx+b，

则，解得，

∴直线AC的解析式为y=﹣x+1．

设与AC平行的直线的解析式为y=﹣x+m．

解方程组，

代入消元，得﹣x2+2x+1=﹣x+m，

∵此点与AC距离最远，

∴直线y=﹣x+m与抛物线有且只有一个交点，

即方程﹣x2+2x+1=﹣x+m有两个相等的实数根．

整理方程得：x2﹣3x+m﹣1=0，

△=9﹣4（m﹣1）=0，解之得m=．

则x2﹣

3x+﹣1=0，解之得x1=x2=，此时

y=．

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∴第一象限内此抛物线上与AC 距离最远的点的坐标为（，）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求直线、抛物线的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，两函数图象交点坐标的求法，二次函数与一元二次方程的关系，综合性较强，难度适中．

7．（2013?威海）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；

（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为（2，﹣1）．

考点：二次函数综合题．2364070

分析：（1）根据抛物线对称轴的定义易求A（1，0），B（3，0）．所以1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根．由韦达定理易求b、c的值；

（2）如图，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．根据抛物线的对称性质得到PA=PB，则△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC，所以根据两点间的距离公式来求该三角形的周长的最小值即可；

（3）如图2，点D是抛物线的顶点，所以根据抛物线解析式利用顶点坐标公式即可求得点D的坐标．

解答：解：（1）如图，∵AB=2，对称轴为直线x=2．

∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．

∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，

∴1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根．

由韦达定理，得

1+3=﹣b，1×3=c，

∴b=﹣4，c=3，

∴抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；

（2）如图1，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．

由（1）知抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3，A（1，0），B（3，0），

∴C（0，3），

∴BC=

=3，

AC==．

∵点A、B关于对称轴x=2对称，

∴PA=PB，

∴PA+PC=PB+PC．

此时，PB+PC=BC．

∴点P在对称轴上运动时，（PA+PB）的最小值等于BC．

∴△APC的周长的最小值

=AC+AP+PC=AC+BC=3

+；

（3）如图2，根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D是抛物线y=x2﹣4x+3的顶点坐标，即（2，﹣1）．故答案是：（2，﹣1）．

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点评：

本题考查了二次函数综合题．解题过程中用到的知识点有：待定系数法求二次函数的解析式，轴对称﹣﹣两点间距离最短，菱形的性质．解（1）题时，也可以把点A 、B 的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数b 、c 的方程组，通过解方程组来求它们的值．

8．（2013?铜仁地区）如图，已知直线y=3x ﹣3分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，抛物线y=x 2+bx+c 经过A 、B 两点，点C 是抛物线与x 轴的另一个交点（与A 点不重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求△ABC 的面积；

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使△ABM 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M 的坐标．

考点：

二次函数综合题．2364070 专题：

综合题；压轴题． 分析：

（1）根据直线解析式求出点A 及点B 的坐标，然后将点A 及点B 的坐标代入抛物线解析式，可得出b 、c 的值，求出

抛物线解析式；

（2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C 的坐标，继而求出AC 的长度，代入三角形的面积公式即可计算；

（3）根据点M 在抛物线对称轴上，可设点M 的坐标为（﹣1，m ），分三种情况讨论，①MA=BA ，②MB=BA ，③MB=MA ，求出m 的值后即可得出答案．

解答： 解：（1）∵直线y=3x ﹣3分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，

∴可得A （1，0），B （0，﹣3），

把A 、B 两点的坐标分别代入y=x 2+bx+c

得：

， 解得：． ∴抛物线解析式为：y=x 2+2x ﹣3．

（2）令y=0得：0=x2+2x﹣3，

解得：x1=1，x2=﹣3，

则C点坐标为：（﹣3，0），AC=4，

故可得S△ABC

=AC×

OB=×4×3=6．

（3）抛物线的对称轴为：x=﹣1，假设存在M（﹣1，m）满足题意：讨论：

①当MA=AB

时，，

解得：，

∴M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣）；

②当MB=BA

时，，

解得：M3=0，M4=﹣6，

∴M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6）（不合题意舍去），

③当MB=MA 时，，

解得：m=﹣1，

∴M5（﹣1，﹣1），

答：共存在4个点M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣），M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣1）使△ABM为等腰三角形．

点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质及三角形的面积，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解．

9．（2013?泰安）如图，抛物线

y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）

（1）求该抛物线的解析式．

（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．

考点：二次函数综合题．2364070

专题：压轴题．

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；

（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论．

解答：解：（1）把点C（0，﹣4），B（2，0）分别代入y=x2+bx+c中，

13

得，解得

∴该抛物线的解析式为

y=x2+x﹣4．

（2）令y=0

，即x2+x﹣4=0，解得x1=﹣4，x2=2，

∴A（﹣4，0），S△ABC

=AB?OC=12．

设P点坐标为（x，0），则PB=2﹣x．

∵PE∥AC，

∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，

∴△PBE∽△ABC，

∴，即，化简得：S△PBE =（2﹣x）2．

S△PCE=S△PCB﹣S△PBE

=PB?OC﹣S△PBE =×（2﹣x）×4﹣（2﹣x）2

=x2﹣

x+

=（x+1）2+3

∴当x=﹣1时，S△PCE的最大值为3．

（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当DM=DO时，如答图①所示．

DO=DM=DA=2，

∴∠OAC=∠AMD=45°，

∴∠ADM=90°，

∴M点的坐标为（﹣2，﹣2）；

（II）当MD=MO时，如答图②所示．

过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，

又△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=3，

∴M点的坐标为（﹣1，﹣3）；

（III）当OD=OM时，

∵△OAC为等腰直角三角形，

∴点O到AC 的距离为×

4=，即AC上的点与点O 之间的最小距离为．

∵＞2，∴OD=OM的情况不存在．

综上所述，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）．

14

15

点评： 本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰三角形等知识点，以及分类讨论的数学思想．第（2）问将面积的最值转化为二次函数的极值问题，注意其中求面积表达式的方法；第（3）问重在考查分类讨论的数学思想，注意三种可能的情形需要一一分析，不能遗漏．

10．（2013?遂宁）如图，抛物线

y=

x 2+bx+c 与x 轴交于点A （2，0），交y 轴于点B （0，）．直线y=kx 过点A 与y 轴交于点C ，

与抛物线的另一个交点是D ．

（1）求抛物线

y=x 2+bx+c 与直线

y=kx 的解析式； （2）设点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点（不与点A 、D 重合），过点P 作 y 轴的平行线，交直线AD 于点M ，作DE ⊥y 轴于点E ．探究：是否存在这样的点P ，使四边形PMEC 是平行四边形？若存在请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，作PN ⊥AD 于点N ，设△PMN 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 与x 的函数关系式，并求出l 的最大值．

考点：

二次函数综合题．2364070 专题：

压轴题． 分析： （1）将A ，B 两点分别代入y=x 2+bx+c 进而求出解析式即可；

（2）首先假设出P ，M 点的坐标，进而得出PM 的长，将两函数联立得出D 点坐标，进而得出CE 的长，利用平行四边形的性质得出PM=CE ，得出等式方程求出即可；

（3）利用勾股定理得出DC的长，进而根据△PMN∽△CDE，得出两三角形周长之比，求出l与x的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即可．

解答：解：（1）∵

y=x2+bx+c经过点A（2，0）和B（0，）

∴由此得

，

解得．

∴抛物线的解析式是

y=x2﹣

x+，

∵直线y=kx

﹣经过点A（2，0）

∴2k

﹣=0，

解得：

k=，

∴直线的解析式是y=x

﹣，

（2）设P的坐标是（x ，x2

﹣x+），则M的坐标是（x

，x ﹣）

∴PM=（x2﹣

x+）﹣（x

﹣）=﹣x2﹣x+4，

解方程

得：，，

∵点D在第三象限，则点D的坐标是（﹣8，﹣7），由

y=x

﹣得点C的坐标是（0，﹣），

∴CE=

﹣﹣（﹣

7）=6，

由于PM∥y轴，要使四边形PMEC是平行四边形，必有PM=CE ，即﹣x2

﹣x+4=6

解这个方程得：x1=﹣2，x2=﹣4，

符合﹣8＜x＜2，

当x=﹣2时，y=﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+=3，

当x=﹣4时，y=﹣×（﹣4）2﹣×（﹣4）+=，

因此，直线AD上方的抛物线上存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形，点P的坐标是（﹣2，3）和（﹣4，）；

（3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC=

∴△CDE的周长是24，

∵PM∥y轴，

∵∠PMN=∠DCE，

16

∵∠PNM=∠DEC，∴△PMN∽△CDE，

∴=，即

=，

化简整理得：l与x的函数关系式是：l=﹣x2

﹣x+，

l=﹣x2

﹣x+=

﹣（x+3）2+15，

∵﹣＜0，

∴l有最大值，

当x=﹣3时，l的最大值是15．

点评：此题主要考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求二次函数解析式和函数交点求法以及平行四边形的性质等知识，利用数形结合得出PM=CE进而得出等式是解题关键．

11．（2013?绥化）如图，已知抛物线

y=（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．

（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；

（2）在（1）的条件下，解答下列问题；

①求出△BCE的面积；

②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．

考点：二次函数综合题．2364070

专题：综合题．

分析：（1）将M坐标代入抛物线解析式求出a的值即可；

（2）①求出的a代入确定出抛物线解析式，令y=0求出x的值，确定出B与C坐标，令x=0求出y的值，确定出E坐标，进而得出BC 与OE的长，即可求出三角形BCE的面积；②根据抛物线解析式求出对称轴方程为直线x=﹣1，根据C与B关于对称轴对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求，设直线BE解析式为y=kx+b，将B与E坐标代入求出k与b的值，确定出直线BE解析式，将x=﹣1代入直线BE解析式求出y的值，即可确定出H的坐标．

17

解答：解：（1）将M（﹣2，﹣2）代入抛物线解析式得：﹣2=（﹣2﹣2）（﹣2+a），解得：a=4；

（2）①由（1）抛物线解析式y=（x﹣2）（x+4），

当y=0时，得：0=（x﹣2）（x+4），

解得：x1=2，x2=﹣4，

∵点B在点C的左侧，

∴B（﹣4，0），C（2，0），

当x=0时，得：y=﹣2，即E（0，﹣2），

∴S△BCE

=×6×2=6；

②由抛物线解析式

y=（x﹣2）（x+4），得对称轴为直线x=﹣1，

根据C与B关于抛物线对称轴直线x=﹣1对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求，

设直线BE解析式为y=kx+b，

将B（﹣4，0）与E（0，﹣2）代入得：，

解得：，

∴直线BE解析式为y=﹣x﹣2，

将x=﹣1代入得：y=﹣2=﹣，

则H（﹣1，﹣）．

点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，对称的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

12．（2013?苏州）如图，已知抛物线

y=x2+bx+c（b，c是常数，且c＜0）与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的

负半轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0）．

（1）b=

+c，点B的横坐标为﹣2c（上述结果均用含c的代数式表示）；

18

（2）连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线

y=x2+bx+c交于点E，点D是x轴上的一点，其坐标为（2，0）．当C，D，E三点在

同一直线上时，求抛物线的解析式；

（3）在（2）条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PB，PC，设所得△PBC的面积为S．

①求S的取值范围；

②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有11个．

考点：二次函数综合题．2364070

专题：压轴题．

分析：（1）将A（﹣1，0）代入

y=x2+bx+c，可以得出b=+c；根据一元二次方程根与系数的关系，得出﹣1?x B =，即x B=

﹣2c；

（2）由

y=x2+bx+c，求出此抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，c），则可设直线BC的解析式为y=kx+c，将B点坐标代入，运用待定

系数法求出直线BC的解析式为

y=x+c；由AE∥BC，设直线AE得到解析式为

y=x+m，将点A的坐标代入，运用待定系数法求出直线

AE得到解析式为

y=x+

；解方程组，求出点E坐标为（1﹣2c，1﹣c），将点E坐标代入直线CD的解析式

y=

﹣x+c，求出c=﹣2，进而得到抛物线的解析式为

y=x2﹣x﹣2；

（3）①分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时，由0＜S＜S△ACB，易求0＜S＜5；（Ⅱ）当0＜x＜4时，过点P作PG⊥x轴于点G，交

CB于点F．设点P坐标为（x ，x2

﹣x﹣2），则点F坐标为（x ，x﹣2），PF=PG﹣GF=

﹣x2+2x，S=PF?OB=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

根据二次函数的性质求出S最大值=4，即0＜S≤4．则0＜S＜5；

②由0＜S＜5，S为整数，得出S=1，2，3，4．分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时，根据△PBC中BC边上的高h小于△ABC中BC

边上的高

AC=，得出满足条件的△PBC共有4个；（Ⅱ）当0＜x＜4时，由于S=﹣x2+4x，根据一元二次方程根的判别式，得出满足条件

的△PBC共有7个；则满足条件的△PBC共有4+7=11个．

解答：解：（1）∵抛物线

y=x2+bx+c过点A（﹣1，0），

∴0=×（﹣1）2+b×（﹣1）+c，∴b=+c，

∵抛物线

y=x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）、B（x B，0）（点A位于点B的左侧），

∴﹣1与x B 是一元二次方程x2+bx+c=0的两个根，

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∴﹣1?x B

=，

∴x B=﹣2c，即点B的横坐标为﹣2c；

（2）∵抛物线

y=x2+bx+c与y轴的负半轴交于点C，

∴当x=0时，y=c，即点C坐标为（0，c）．设直线BC的解析式为y=kx+c，

∵B（﹣2c，0），

∴﹣2kc+c=0，

∵c≠0，

∴k=，

∴直线BC的解析式为

y=x+c．

∵AE∥BC，

∴可设直线AE得到解析式为y=x+m，∵点A的坐标为（﹣1，0），

∴×（﹣1）+m=0，解得

m=，

∴直线AE得到解析式为

y=

x+．

由，解得，，

∴点E坐标为（1﹣2c，1﹣c）．

∵点C坐标为（0，c），点D坐标为（2，0），

∴直线CD的解析式为y=

﹣x+c．∵C，D，E三点在同一直线上，

∴1﹣c=﹣×（1﹣2c）+c，

∴2c2+3c﹣2=0，

∴c1

=（与c＜0矛盾，舍去），c2=﹣2，

∴b=+c=

﹣，

∴抛物线的解析式为

y=x2﹣x﹣2；

（3）①设点P坐标为（x ，x2

﹣x﹣2）．

∵点A的坐标为（﹣1，0），点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，﹣2），

∴AB=5，OC=2，直线BC的解析式为

y=x﹣2．

分两种情况：

（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时，0＜S＜S△ACB．

20

∵S△ACB

=AB?OC=5，

∴0＜S＜5；

（Ⅱ）当0＜x＜4时，过点P作PG⊥x轴于点G，交CB于点F．∴点F坐标为（x ，x﹣2），

∴PF=PG﹣GF=

﹣（x2﹣x﹣2）+（x﹣2）=

﹣x2+2x，

∴S=S△PFC+S△PFB

=PF?OB=（﹣x2+2x）×4=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

∴当x=2时，S最大值=4，

∴0＜S≤4．

综上可知0＜S＜5；

②∵0＜S＜5，S为整数，

∴S=1，2，3，4．

分两种情况：

（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时，设△PBC中BC边上的高为h．

∵点A的坐标为（﹣1，0），点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，﹣2），∴AC2=1+4=5，BC2=16+4=20，AB2=25，

∴AC2+BC2=AB2，∠ACB=90°，BC边上的高

AC=．

∵S=BC?h，∴h===S．

如果S=1，那么h=×1=＜，此时P点有1个，△PBC有1个；

如果S=2，那么h=×2=＜，此时P点有1个，△PBC有1个；

如果S=3，那么h=×3=＜，此时P点有1个，△PBC有1个；

如果S=4，那么h=×4=＜，此时P点有1个，△PBC有1个；

即当﹣1＜x＜0时，满足条件的△PBC共有4个；

（Ⅱ）当0＜x＜4时，S=﹣x2+4x．

如果S=1，那么﹣x2+4x=1，即x2﹣4x+1=0，

∵△=16﹣4=12＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PBC有2个；如果S=2，那么﹣x2+4x=2，即x2﹣4x+2=0，

∵△=16﹣8=8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PBC有2个；如果S=3，那么﹣x2+4x=3，即x2﹣4x+3=0，

∵△=16﹣12=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PBC有2个；如果S=4，那么﹣x2+4x=4，即x2﹣4x+4=0，

∵△=16﹣16=0，∴方程有两个相等的实数根，此时P点有1个，△PBC有1个；

即当0＜x＜4时，满足条件的△PBC共有7个；

综上可知，满足条件的△PBC共有4+7=11个．

故答案为+c，﹣2c；11．

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