三角形、等腰三角形以及全等三角形的证明

儒洋教育学科教师辅导讲义

学员姓名： 年 级： 课时数： 辅导科目： 学科教师： 课 题 授课时间： 教学目标 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形中的几条重要线段：

（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质

（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180°

（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。

4. 补充性质：在?ABC中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则三角形、等腰三角形以及全等三角形的证明 备课时间： S?ABE?S?CDE?S?BDE?S?CAE。 AEB DC

三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用。三角形又是多边形的一种，而且是最简单的多边形，在几何里，常常把多边形分割成若干个三角形，利用三角形的性质去研究多边形。实际上对于一些曲线，也可以利用一系列的三角形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究它们。因此，学好本章知识，能为以后的学习打下坚实的基础。 5. 三角形边角关系、性质的应用 【分类解析】

例1. 锐角三角形ABC中，∠C＝2∠B，则∠B的范围是（ ） A. 10??∠B?20? C. 30??∠B?45? 分析：

因为?ABC为锐角三角形，所以0??∠B?90? 又∠C＝2∠B，?0??2∠B?90? ?0??∠B?45?

又∵∠A为锐角，?∠A?180??∠B?∠C为锐角 ?∠B?∠C?90?

?3∠B?90?，即∠B?30? ?30??∠B?45?，故选择C。

例2. 选择题：已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（ ）

A. 锐角三角形

B. 直角三角形

C. 钝角三角形

D. 无法确定

B. 20??∠B?30? D. 45??∠B?60?

?? 分析：由于三角形的外角和等于360°，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。 解：∵三角形的一个外角等于160° ∴另两个外角的和等于200° 设这两个外角的度数为2x，3x ?2x?3x?200 解得：x?40

2x?80，3x?120 与80°相邻的内角为100° ∴这个三角形为钝角三角形 应选C 例3. 如图，已知：在?ABC中，AB?11AC，求证：∠C?∠B。 22AEF 分析：欲证∠C?为与题设AB?BC 1∠B，可作∠ABC的平分线BE交AC于E，只要证∠C?∠EBC即可。21AC联系，又作AF//BE交CB的延长线于F。 2 显然∠EBC＝∠F，只要证∠C?∠F即可。由AF?2AB?AC可得证。 证明：作∠ABC的角平分线BE交AC于E，过点A作AF//BE交CB的延长线于F ?AF//BE，?∠F?∠EBC，∠FAB?∠ABE 又∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE ∴∠F＝∠FAB，∴AB＝BF 又∵AB＋FB＞AF，即2AB＞AF

1AC，?AC?AF 21 ?∠F?∠C，又∵∠F?∠ABC

21 ?∠C?∠B

2 又∵AB?

例4. 已知：三角形的一边是另一边的两倍。求证：它的最小边在它的周长的11与之间。 64 分析：首先应根据已知条件，运用边的不等关系，找出最小边，然后由周长与边的关系加以证明。

AcBabC 证明：如图，设?ABC的三边为a、b、c，其中a?2c，

?b?a?c，a?2c ?b?c

因此，c是最小边，?b?3c 因此，a?b?c?2c?3c?c，即c?1(a?b?c) 611(a?b?c)?c?(a?b?c) 6411 故最小边在周长的与之间。

64 ?中考点拨：

例1. 选择题：如图是一个任意的五角星，它的五个顶角的和是（ ） A. 50 B. 100 C. 180 D. 200 ABGFECD 分析：由于我们学习了三角形的内角、外角的知识，所以需要我们把问题转化为三角形角的问题。 解：?∠C?∠E?∠AGF，∠B?∠D?∠AFG ?∠A?∠B?∠C?∠E?∠D?∠A?∠AGF?∠AFG?180? 所以选择C

例2. 选择题：已知三角形的两边分别为5和7，则第三边x的范围是（ ） A. 大于2

B. 小于12

C. 大于2小于12

D. 不能确定

分析：根据三角形三边关系应有7?5?x?7?5，即12?x?2 所以应选C

例3. 已知：P为边长为1的等边?ABC内任一点。 求证：

3?PA?PB?PC?2 2

AEPBFC 证明：过P点作EF//BC，分别交AB于E，交AC于F， 则∠AEP＝∠ABC＝60° ?∠EAP?∠EAF?60??∠APE?60? 在?AEP中，

?∠APE?∠AEP，?AE?AP?∠AFE?∠ACB?60?，∠AEF?60?

??AEF是等边三角形 ?AF?EF

?AE?AP???BE?EP?BP?PF?FC?PC??AE?EB???EP?PE??FC?AP?BP?PC

AB?EF?FC?AP?BP?PC

AB??AF?AC??AP?BP?PC?PB?PA?PC?AB?AC?2?PA?PB?AB???PB?PC?BC?PC?PA?AC? ?2?PA?PB?PC??AB?BC?AC?3

?2?PA?PB?PC?

题型展示：

32 例1. 已知：如图，在?ABC中，D是BC上任意一点，E是AD上任意一点。求证： （1）∠BEC＞∠BAC； （2）AB＋AC＞BE＋EC。

AFEBDC 分析：在（1）中，利用三角形内角和定理的推论即可证出在（2）中，添加一条辅助线，转化到另一个三角形中，利用边的关系定理即可证出。 证明：（1）∵∠BED是?ABE的一个外角， ?∠BED?∠BAE 同理，∠DEC?∠CAE

?∠BED?∠DEC?∠BAE?∠CAE 即∠BEC?∠BAC （2）延长BE交AC于F点

?AB?AF?BE?EF 又EF?FC?EC

?AB?AF?EF?FC?BE?EF?EC 即AB?AC?BE?EC

例2. 求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45°。

已知：如图，在?ABC中，?C?90?，?EAB、?ABD是?ABC的外角，AF、BF分别平分∠EAB及∠ABD。 求证：∠AFB＝45° CAEFBD 分析：欲证∠AFB?45?，须证∠FAB?∠FBA?135? ∵AF、BF分别平分∠EAB及∠ABD

∴要转证∠EAB＋∠ABD＝270°

又∵∠C＝90°，三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和 ∴问题得证

证明：∵∠EAB＝∠ABC＋∠C ∠ABD＝∠CAB＋∠C

∠ABC＋∠C＋∠CAB＝180°，∠C＝90°

?∠EAB?∠ABD?∠ABC?∠C?∠CAB?∠C?180??90??270? ∵AF、BF分别平分∠EAB及∠ABD ?∠FAB?∠FBA?11?∠EAB?∠ABD???270??135? 22 在?ABF中，∠AFB?180??∠FAB?∠FBA?45?

【实战模拟】

1. 已知：三角形的三边长为3，8，1?2x，求x的取值范围。

???ABC中，AB?BC，?BCA??，?CAD??， 2. 已知：D点在BC的延长线上，使AD?BC，求α和β间的关系为？

BA??CD 3. 如图，?ABC中，?ABC、?ACB的平分线交于P点，?BPC?134?，则?BAC? （ ） A. 68°

B. 80°

C. 88°

D. 46°

APBC 4. 已知：如图，AD是?ABC的BC边上高，AE平分?BAC。 求证：?EAD?1??C??B? 2ABEDC

5. 求证：三角形的两个外角平分线所成的角等于第三个外角的一半。

等腰三角形：

等腰三角形的性质：1.两腰相等，对应的两个底角相等； 2.三线合一定理，尤其是中点线的处理

3.满足三角形的条件，2边之和大于第三边，2边之差小于第三边。 等腰三角形的判定：1.底角相等的三角形是等腰三角形； 2.满足三线合一定理的是等腰三角形。

注：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形易错点在于没有考虑完全可能的情况，导致丢分。

例1、已知等腰三角形的一个内角为65°则其顶角为（ ）

A. 50° B. 65° C. 115° D. 50°或65°

解析：65°角可能是顶角，也可能是底角。当65°是底角时，则顶角的度数为180°－65°×2=50°；当65°角是顶角时，则顶角的度数就等于65°。所以这个等腰三角形的顶角为50°或65°。故应选D。

提示：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再求解。

例2、 已知等腰三角形的一边等于3，另一边等于4，则它的周长等于_________。

解析：已知条件中并没有指明3和4谁是腰长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。当3是腰长时，这个等腰三角形的底边长就是4，此时等腰三角形的周长等于10；当4是腰长时，这个三角形的底边长就是3，则此时周长等于11。故这个等腰三角形的周长等于10或11。

提示：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。

例3、 若等腰三角形一腰上的中线分周长为12cm和9cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。

解析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形。若设这个

等腰三角形的腰长是xcm，底边长为ycm，可得 或

解得5cm。

或即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是

提示：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。

二、由于题目条件得出的图形不确定性引发结论不唯一：

例4、 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为55°，求这个等腰三角形的顶角的度数。

解析：依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为35°，图2中顶角为145°。 例6、在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为45°，则底角∠B=____________。

解析：按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图。

如图1，当交点在腰AC上时，ΔABC是锐角三角形，此时可求得∠A=45°，所以

∠B=∠C=

（180°－45°）=67.5°。

如图2，当交点在腰CA的延长线上时，ΔABC为钝角三有形，此时可求得

∠BAC=135°，所以∠B=∠C=（180°－135°）=22.5°

练习：

1．若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） A．50°

B．80° C．65°或50° D．50°或80°

2.某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（ ） A．9cm

B．12cm C．15cm

D．12cm或15cm

2 3. 已知直角三角形两边x、y的长满足x?4?y2?5y?6?0，则第三边长

为 ．

4.若一个等腰三角形的一个角为96度，则其底掉为 ．

5.若一个等腰三角形的周长为18，则其腰长的取值范围是 ． 6.若一个等腰三角形的周长为18，则其底边的取值范围是 ．

全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．

寻找对应边和对应角，常用到以下方法：

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．

(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．

要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法：

(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．

(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．

1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

A B

D

C

2. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD?A 1AB 2D C B

3. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

A 1 2 B E C F D

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

A 1 2 F C D E

5. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

A B B D C

6. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

7. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

A B

D

C

8. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD?1AB 2

A D C B

9. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

A 1 2 B E C F D

10. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

A 1 2 F C D E

11. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

A B B D C

12. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。

13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C

E D C F A B

14. 已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C

A D B

C

15. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB

C A

P B D

16. 已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE

17. 已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC

D C B

F A E

18．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．

20．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：

AD+BC=AB．

PEDCAB

21．如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B

A CD

22．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．

（1）求证：MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

B

23．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点， （1）求证：△AED≌△EBC．

（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：

A

OE

B

24．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点

的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．

DC

求证：BD=2CE．

FAEDBC

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/is4.html