1全国百套名校高三数学模拟试题分类汇编

高中数学培优教程

2009届全国百套名校高三数学模拟试题分类

汇编 07 立体几何

‘

三、解答题(第二部分)

41、(四川省成都市新都一中高2009级数学理科12月考试题)如图，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点． （Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD； （Ⅱ）求二面角A?A1D?B的大小； （Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离．

B

A

C A1 C1

解法一：（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．?△ABC为正三角形，?AO⊥BC．

?正三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，?AO⊥平面BCC1B1．

连结B1O，在正方形BB1C1C中，O，D分别为BC，CC1的中点，

?B1O⊥BD，?AB1⊥BD．

在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，?AB1⊥平面A1BD．

（Ⅱ）设AB1与A1B交于点G，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，

连结AF，由（Ⅰ）得AB1⊥平面A1BD．

?AF⊥A1D，?∠AFG为二面角A?A1D?B的平面角．

在△AA1D中，由等面积法可求得AF?又?AG?12AB1?455，

24551042，?sin∠AFG?AG?AF?．

所以二面角A?A1D?B的大小为arcsin（Ⅲ）△A1BD中，BD?A1D?104．

6，S△BCD?1．

5，A1B?22，?S△A1BD?- 1 -

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在正三棱柱中，A1到平面BCC1B1的距离为3． 设点C到平面A1BD的距离为d． 由VA?BCD?VC?ABD得

11

13S△BCD?3?13S△A1BD?d，?d?3S△BCDS△A1BD?22．

?点C到平面A1BD的距离为

22．

解法二：（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．

?△ABC为正三角形，?AO⊥BC．

?在正三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，?AD⊥平面BCC1B1． ?????????????取B1C1中点O1，以O为原点，OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立

空间直角坐标系，则B(1，2，0)， 0，3)，B1(1，23)，A(0，0，0)，D(?1，1，0)，A1(0，，?????AB1?(1，2，?????????1，0)，BA1?(?1，3)，BD?(?2，2，3)．

z A F C O B x D B1C1A1?????????????????AB1?BD??2?2?0?0，AB1?BA1??1?4?3?0， ?????????????????AB1⊥BD，AB1⊥BA1．

?AB1⊥平面A1BD．

y （Ⅱ）设平面A1AD的法向量为n?(x，y，z)．

????AD?(?1，1，?????3)，AA1?(0，2，0)．

?????????n⊥AD，n⊥AA1，

?????n???x?y?3z?0，??AD?0，??y?0，?????? ???????2y?0，?x??3z．?n?AA1?0，?0，1)为平面A1AD的一个法向量． 令z?1得n?(?3，????由（Ⅰ）知AB1⊥平面A1BD，?AB1为平面A1BD的法向量．

????????n?AB1?3?366cos?n，AB1??．?二面角A?A1D?B的大小为arccos． ???????442?22n?AB1????????????0，0)，AB1?(1，2，?（Ⅲ）由（Ⅱ），AB1为平面A1BD法向量，?BC?(?2，3)．

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????????BC?AB1?22 ?点C到平面A1BD的距离d???????222AB1

42、(枣庄市·理科)如图，已知AB⊥平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F

是CD的中点。 （I）求证：AF//平面BCE；

（II）求证：平面BCE⊥平面CDE；

（III）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小。 (解)（I）解：取CE中点P，连结FP、BP，

∵F为CD的中点， ∴FP//DE，且FP=

12DE. 12DE.

又AB//DE，且AB=

∴AB//FP，且AB=FP，

∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP。…………2分 又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE， ∴AF//平面BCE。 …………4分

（II）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD。

∵AB⊥平面ACD，DE//AB，

∴DE⊥平面ACD，又AF?平面ACD，

∴DE⊥AF。又AF⊥CD，CD∩DE=D， ∴AF⊥平面CDE。 …………6分

又BP//AF，∴BP⊥平面CDE。又∵BP?平面BCE， ∴平面BCE⊥平面CDE。 …………8分

（III）由（II），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），建立

空间直角坐标系F—xyz.设AC=2，

则C（0，—1，0），B(?3,0,1),E,(0,1,2).………………9分

设n?(x,y,z)为平面BCE的法向量, ……10分 ??3x?y?z?0,则n?CB?0,n?CE?0,即?令z?1,则n?(0,?1,1).?2y?2z?0.显然，m?(0,0,1)为平面ACD的法向量。

|m?n||m|?|n|1222设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为?,则cos????.

??45，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°。…………12分 43、(烟台·理科)四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，PA=AB=BC=2，E为PA中点，过E作平行于底面的面EFGH分别与另外三条侧棱交于F，G，H，已知底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AB⊥AD，∠BCD=135° （1）求异面直线AF，BG所成的角的大小；

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（2）设面APB与面CPD所成的锐二面角的大小为θ，求cosθ. (解)由题意可知，AP、AD、AB两两垂直， 可建立空间直角坐标系A—xyz，由平面几

何知识知：AD=4，D（0，4，0），B（2，0，0）， C（2，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），

F（1，0，1），G（1，1，1）…………2分 （1）AF?(1,0,1),BG?(?1,1,1),?AF?BG?0

?AF与BG所成的角为

?2. …………4分

（2）可证明AD⊥平面APB，∴平面APB的法向量为n?(0,1,0)

??y?1?m?CD?0??设平面CPD的法向量为m?(1,y,z),由?

z?2???m?PD?0?m?(1,1,2). …………10分

m?n|m|?|n|6666?cos?m,n???,即cos?? …………12分

DAB?90?， AB∥44、(临沂一中·理科)如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠CD，

AD=CD=2AB=2，E，F分别是PC，CD的中点．

（Ⅰ）证明：CD⊥平面BEF；

（Ⅱ）设PA?k?AB,且二面角E?BD?C为60?，

SM求k的值. (解)

（Ⅰ）证明：

??DF?AB??矩形ABFD?BF?CD.………………………2分 ?DAB?90???DF//ABDABC PA⊥平面ABCD，AD⊥CD. ……………………………………………3分

由三垂线定理得PD?CD??E是PC中点???EF?CD. ………………………………………5分

??EFPD?F是CD中点??∴ CD⊥平面BEF. ……………………………………………………………………6分 （Ⅱ）连结AC且交BF于H，可知H是AC中点，连结EH,

由E是PC中点,得EH∥PA, PA⊥平面ABCD.

得EH⊥平面ABCD，且EH?1PA?k.…………………………………………8分

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作HM⊥BD于M，连结EM，由三垂线定理可得EM⊥BD.

故∠EMH为二面角E—BD—F的平面角，故∠EMH=600.……………………10分 ∵ Rt△HBM∽Rt△DBF, 故

HMDF?HBBD.

15得

HM1?15, 得 HM?.

在Rt△EHM中，EH?tan60?,

HM得

5k?23,?k?215.………………………………………………………12分 5解法2：（Ⅰ）证明，以A为原点，

建立如图空间直角坐标系A?xyz. 则B(0,1,0)，C(?2,2,0)，D(?2,0,0). 设PA = k,则P(0,0,k),

E(?1,?1,k),F(?2,1,0).………………………………………………………2分

2????????????k得CD?(0,?2,0),BE?(?1,0,),BF?(?2,0,0).…………………………4分 2??????????CD?BE,?CD?BE?0,则?CD?平面BEF.………………6分 有???????????CD?BF,??CD?BF?0,

(Ⅱ)?PA?k(k?0),?BE?(?1,0,k2????P(0,0,k),平面BCD的一个法向量AP?(0,0,k),…7分

),BD?(?2,?1,0).

??????????? 设平面BDE的一个法向量n?(x,y,z),有n?BE,且n?BD，

???????x?kz?0,??n?BE?0,?2则?????? 得? 取x?1,???n?BD?0,??2x?y?0,AP?n?得n?(1,?2,2).……………10分

k由

AP?n??????|cos?AP?n?|?cos60?, ………………………………………11分

得?1,2k5?42k2得5k?4?16.?k?212?215. …………………12分

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