专题12 空间的平行与垂直（教学案）-2019年高考理数二轮复习精品资料 Word版含解析

1．以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断，及文字语言、图形语言、符号语言的转换，难度适中；

2.以客观题形式考查有关线面平行、垂直等位置关系的命题真假判断或充要条件判断等．

3.以多面体或旋转体为载体(棱锥、棱柱为主)命制空间线面平行、垂直各种位置关系的证明题或探索性问题，以大题形式呈现．

1．点、线、面的位置关系 (1)平面的基本性质 名称 图形 文字语言 符号语言 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 A∈l?B∈l???l?α A∈α?B∈α?公理2 过不在一条直线上的三点有且只有一个平面 若A、B、C三点不共线，则A、B、C在同一平面α内且α是唯一的． 公理3 (2)平行公理、等角定理

公理4：若a∥c，b∥c，则a∥b.

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 平面α与β不重合，若P∈α，且P∈β，则α∩β＝a，且P∈a 等角定理：若OA∥O1A1，OB∥O1B1，则∠AOB＝∠A1O1B1或∠AOB＋∠A1O1B1＝180°. 2．直线、平面的平行与垂直 定理名称 线面平行的判定定理 文字语言 平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与此平面平行 图形语言 符号语言 a?α??b?α??a∥α a∥b??线面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任何一个平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a?β，α∩β＝b，?a∥b 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β 面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β且γ∩α＝a且γ∩β＝b?a∥b 线面垂直的判定定理 一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 a?α，b?α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b?l⊥α 线面垂直的性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 a⊥α，b⊥α?a∥b 面面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 a⊥α，a?β，?α⊥β 面面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 α⊥β，b∈β，α∩β＝a，b⊥a?b⊥α 3.熟练掌握常见几何体(柱、锥、台、球)的几何特征，明确各种几何体的直观图与三视图特征及相关面积体积的计算公式，熟练掌握线线、线面、面面平行与垂直等位置关系的判定与性质定理及公理，熟练进行线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化是解答相关几何题的基础.

【误区警示】

1．应用线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理时，必须按照定理的要求找足条件．

2．作辅助线(面)是立体几何证题中常用技巧，作图时要依据题设条件和待求(证)结论之间的关系结合有关定理作图．注意线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化．

a△b??

3．若a、b、c代表直线或平面，△代表平行或垂直，在形如a△c???b△c的命题中，要切实弄清有哪?a⊥α??

?

些是成立的，有哪些是不成立的．例如a、b、c中有两个为平面，一条为直线，命题a⊥β??α∥β是成立?a∥α??

?

的.a∥β???α∥β是不成立的．

由

得

，

所以，故.

因此，直线方法二：

与平面所成的角的正弦值是.

（Ⅰ）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.

由题意知各点坐标如下：

因此由

得

.

由所以

平面

得

. 与平面

.

（Ⅱ）设直线由（Ⅰ）可知设平面由

所成的角为.

. 可取

.

的法向量即

所以.

因此，直线与平面所成的角的正弦值是.

【变式探究】【2017江苏，15】 如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD， BC⊥BD， 平面ABD⊥平面BCD， 点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求证：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC.

A E B F D C (第15题)

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】证明：（1）在平面ABD内，因为AB⊥AD， EF?AD，所以EFAB.

又因为EF?平面ABC， AB?平面ABC，所以EF∥平面ABC.

（2）因为平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD?平面BCD=BD，

BC?平面BCD， BC?BD，

所以BC?平面ABD.

因为AD?平面ABD，所以BC? AD. 又AB⊥AD，

所以AD⊥平面ABC，

， AB?平面ABC， BC?平面ABC，

又因为AC?平面ABC， 所以AD⊥AC.

【变式探究】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D?A1F ，AC11?A1B1.

求证：（1）直线DE∥平面A1C1F； （2）平面B1DE⊥平面A1C1F.

【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】证明：（1）在直三棱柱

中，AC//AC11

在三角形ABC中，因为D,E分别为AB,BC的中点. 所以DE//AC，于是DE//AC11 又因为DE?平面所以直线DE//平面AC11F （2）在直三棱柱

中，

平面AC11F

因为AC11?平面A1B1C1，所以AA1?A1C1

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