孪生素数有无穷多对的简单证明

孪生素数有无穷多对的简单证明

大于1的正整数，如果仅有1和自身两个因子，则称它为素数，否则为合数，以pn表示第n个素数，例如，p1=2，p2=3，p3=5……p168=997，…。令dn=Pn+1-Pn，则d1=1，d2=2…。人们自然地提出一个问题，是不是有无穷多个dn=2？这是一个尚未解决的问题。

1、序号筛法 Eratosthenes筛法

即给定一个正整数x，把不超过x的一切正整数按大小关系排成一串，1，2，3，4，5，……x，记px是不大于X的最大素数，从上述数串中，首先划去1，然后逐项的划去。

2+2n 3+3n 5+5n ……

（n=1，2，3，4……）

最后该数串留下的数都是素数，显然对任何给定的正整数串，用上面的方法，也可以找出其中的素数。

令大写字母表示集合，N表示自然数集合，P表示所有素数的集合，P1表示从P中去掉2，3，后的集合，即P1={5，7，11，13，17，19……}对任何P∈P1，P的型式不为6K-1，就为6L+1，其中K，L为某个整数，对任何P∈P1，引入一个关联的伴生数，q，使得|p-q|=2，我们不妨约定，

222

1/2

若p=6k-1，取q=6k+1，若p=6k+1，取q=6k-1，q可以是素数，也可以合数。

例如：

p=5，7，11，13，17，19，23，29，31…… q=7，5，13，11，19，17，25，31，29…

令N0={0}UN={0。1，2，3，4，5……}，对任何P∈P1记

2

显然（p-1）/6和（pq+1）/6都是整数，Lp、Sp、L及S都是N的子集，N与L、N与S的差集分别简记为

。

引理1，若a∈Lp，则6a-1为合数，若b∈Sp，则6b-1为合数。 证明：对任何P∈P1，若a∈LP，则存在一个n∈N0。使得a=(P-1)/6+np；若n∈Sp，则存在一个m∈N0，使得b=(pq+1)/6+mp，由此有等式6a+1=p（p+6n）及6b-1=p（q+6m）为合数。

由引理1知，当a∈L，b∈s则6a+1；6b-1都是合数。 引理2，若a∈ 则6a+1为素数。

证明：显然，6a+1中没有2，3这两个因子，若a∈，由于

2

则对所有的P∈P1，a∈

2

，即a（P-1）/6（modp）。

2

又由于（p，6）=1必有6a+1P（modp）

若记K1={6a+1；a∈}，则对任何P∈P1，n∈N0 P+nP，都不是k1，中的元素这表明k1，中的数都是素数。证毕

引理3：若b∈则6b-1为素数。

证明：显然，6b-1没有2和3这两个因子，若b∈，由于

2

，则对所有的P∈P1，b∈，即b≡（qp+1）/6（modp），

又由于（6，p）=1，必有6b-1≡pq，（modp），当p＜q，则q=p+2，或者当p>q时，q=p-2，无论何种情况发生，都有6b-1≡p（modp）或6b-1≡ Pq（modp），若记k2={6b-1，b∈}，则对任何P∈P1，n∈N0，P+Pn都不是K2中的元素，这表明，K2中的数都是素数，证毕。

2

2

2、孪生素数猜想的等价命题。

令

，由引理2和引理3，立刻得到，若C∈M，则6c-1，

6c+1为一对孪生素数，反过来，若6c-1，6c+1为一对孪生素数，则c∈，c∈I，则 有c∈M，这就得到

命题1：孪生素数有无穷多对，等价于M有无穷多个元素，求孪生素数的方法，就是构造M集合中的元素个数。

例：求1000之内的孪生素数，首先确定出M集合中，166以内的元素个数。

M={1，2，3，5，7，10，12，17，18，23，25，30，32，33，38，40，45，47，52，58，70，72，77，87，95，100，103，107，110，135，137，138，143，147……}

然后对应地，若c为上述M中的元素之一时，求6c-1，6c+1之值，加上3，5这一对孪生素数，就可以得到1000之内的35对孪生素数，其值如下：

3，5；5。7；11，13；17，19；29，31；41，43；59，61；71，73；101，103；107，109；137，139；149，151；179，181；191，193；197，199；227，229；239，241；269，271；281，283；311，313；347，349；419，421；431，433；441，443；521，523；569，571；599，601；617，619；641，643；659，661；809，811；821，823；827，829；857，859；881，883。

3、序号筛法的简化 根据LP=

P2?16P2?16

+np,nεn0 +np,nεn0

SP=

设P=6m+1或P=6m-1 充号筛法可简化为 Lp={P±m+np nεN0} Sp={P?m+np nεN0}

P=6m+1时，取上面的符号，P=6m-1时取下面的符号。 证明：设P=6m+1

LP=

P2?16

+pn=

(6m+1)2?1

6pn

+pn=

36m2+12m+1?1

6

+pn=6m2+2m+

pn=m 6m?1 =m+≡m+pn≡p+m+pn(modp)

SP=

pq+16

+pn=

6m+1 6m?1 +1

6

+pn=36m2?pn=m 6m+1 ?m+

pn≡?m+pn≡p?m+pn(modp)

设P=6m-1 LP=

P2?16

+pn=

(6m?1)2?1

6

+pn=

36m2?2m+1?1

6

+pn=6m2?2m+

pn=m 6m?1 ?m+pn=?m+pn≡p?m+pn(modp)

SP=

pq+16

+pn=

6m+1 6m?1 +1

6

+pn=6m2+pn≡p+m+pn(modp)

综合上面可写为 Lp={P±m+np nεN0} Sp={P?m+np nεN0} 证毕

4、孪生素数有无穷多对的简单证明

根据孪生素数的等价命题，求孪生素数的对就是求M集合的元素个数。 根据引理1、引理2、引理3、M集合的元素C，使得6c-1及6c+1为一对孪生素数的充分肯必要条件是

C?LP(modp) C?LP(modp) P∈P1 如果有

定理：设χ=6W+1在自然数1、2、3、……W存在M集合，集合中的元素C可表6C-1、6C+1为孪生素数，且元素C在无穷远处仍然

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