直角三角形与勾股定理

直角三角形与勾股定理

一、选择题

1. （2014?山东枣庄，第3题3分）如图，AB∥CD，AE交CD于C，∠A=34°，∠DEC=90°，则∠D的度数为（ ）

A． 17° 考点： 分析： 34° B． 56° C． 124° D． 平行线的性质；直角三角形的性质 根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠A，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 解答： 解：∵AB∥CD， ∴∠DCE=∠A=34°， ∵∠DEC=90°， ∴∠D=90°﹣∠DCE=90°﹣34°=56°． 故选C． 点评： 本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键． 2. 1．（2014?湖南张家界，第7题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD=2，则AC的长是（ ）

4 A．B． 4 8 C． D． 8 考点：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理． 分析：求出∠ACB， 根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可． 解答：解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=60° ， ∴∠A=30°． ∵DE垂直平分斜边AC， ∴AD=CD， ∴∠A=∠ACD=30°， ∴∠DCB=60°﹣30°=30°， ∵BD=2， ∴CD=AD=4， ∴AB=2+4+2=6，

在△BCD中，由勾股定理得：CB=2在△ABC中，由勾股定理得：AC=故选：B． ， =4， 点评：本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的 内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中． 3. （2014?十堰9．（3分））如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（ ）

A．2 B． C． 2 D． 考点： 勾股定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线． 分析： 根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG，再根据勾股定理即可求解． 解答： 解：∵AD∥BC，DE⊥BC， ∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB ∵点G为AF的中点， ∴DG=AG， ∴∠GAD=∠GDA， ∴∠CGD=2∠CAD， ∵∠ACD=2∠ACB， ∴∠ACD=∠CGD， ∴CD=DG=3， 在Rt△CED中，DE==2． 故选：C． 点评： 综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD=DG=3．

4. （2014?娄底8．（3分））下列命题中，错误的是（ ） A．平行四边形的对角线互相平分 菱形的对角线互相垂直平分 B． 矩形的对角线相等且互相垂直平分 C． D．角平分线上的点到角两边的距离相等 考点： 命题与定理． 分析： 根据平行四边形的性质对A进行判断；根据菱形的性质对B进行判断；根据矩形的性质对C进行判断；根据角平分线的性质对D进行判断． 解答： 解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A选项的说法正确； B、菱形的对角线互相垂直平分，所以B选项的说法正确； C、矩形的对角线相等且互相平分，所以C选项的说法错误； D、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以D选项的说法正确． 故选C． 点评： 本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 5. （2014?山东淄博,第10题4分）如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（ ）

A． C． D． 2

考点： 勾股定理；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．

分析： 本题要依靠辅助线的帮助，连接CE，首先利用线段垂直平分线的性质证明BC=EC．求出EC后根据勾股定理即可求解． 解答： 解：如图，连接EC． ∵FC垂直平分BE， ∴BC=EC（线段垂直平分线的性质） 又∵点E是AD的中点，AE=1，AD=BC， 故EC=2

1 B．

利用勾股定理可得AB=CD=故选：C．

=．

点评： 本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质以及矩形的性质，本题的关键是要画出辅助线，证明BC=EC后易求解．本题难度中等．

二、填空题

1. （2014?山东威海，第17题3分）如图，有一直角三角形纸片ABC，边BC=6，AB=10，∠ACB=90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点A与点C重合，则四边形DBCE的周长为 18 ．

考点： 分析： 翻折变换（折叠问题） 先由折叠的性质得AE=CE，AD=CD，∠DCE=∠A，进而得出，∠B=∠BCD，求得BD=CD=AD==5，DE为△ABC的中位线，得到DE的长，再在解答： Rt△ABC中，由勾股定理得到AC=8，即可得四边形DBCE的周长． 解：∵沿DE折叠，使点A与点C重合， ∴AE=CE，AD=CD，∠DCE=∠A， ∴∠BCD=90°﹣∠DCE， 又∵∠B=90°﹣∠A， ∴∠B=∠BCD， ∴BD=CD=AD==5， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE==3，

∵BC=6，AB=10，∠ACB=90°， ∴， 点评： ∴四边形DBCE的周长为：BD+DE+CE+BC=5+3+4+6=18． 故答案为：18． 本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．本题中得到ED是△ABC的中位线关键． 2. （2014?山东枣庄，第18题4分）图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 （3

+3

） cm．

考点： 分析： 解答： 平面展开-最短路径问题；截一个几何体 要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图②的几何体表面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 解：如图所示： △BCD是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形， 在Rt△BCD中，CD=∴BE=CD=3cm， =3cm， =6cm， 在Rt△ACE中，AE=∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（3+3）cm． 故答案为：（3+3）． 点评： 考查了平面展开﹣最短路径问题，本题就是把图②的几何体表面展开成平面图形，根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质解决问题． 3. （2014?山东潍坊，第18题3分）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是__________尺．

考点：平面展开－最短路径问题；勾股定理的应用．

分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出． 解答：解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，

另一条直角边长5×3=15（尺），因此葛藤长15?20=25（尺）． 故答案为：25

点评：本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解． 4. 半径为2，点O2在射线OB上运动，且⊙O2始终与OA相切，当⊙O2和⊙O1相切时，⊙O2

的半径等于 ．

22

考点：圆和圆相切的性质，勾股定理． 分析： 作O2C⊥OA于点C，连接O1O2，设O2C=r，根据⊙O1的半径为2，OO1=7，表示出O1O2=r+2，O1C=7﹣r，利用勾股定理列出有关r的方程求解即可． 解答：如图，作O2C⊥OA于点C，连接O1O2， 设O2C=r，∵∠AOB=45°，∴OC=O2C=r， ∵⊙O1的半径为2，OO1=7， ∴O1O2=r+2，O1C=7﹣r， ∴（7﹣r）2+r2=（r+2）2，解得：r=3或15， 故答案为：3或15．

点评：本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是正确的作出图形，难度中等．

5. （2014?江西抚州，第14题，3分）如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A'B'C'重合在一起，将三角板A'B'C'绕其顶点C'按逆时针方向旋转角α（0°< α≤90°），有以下四个结论： ①当α=30°时，A'C与AB的交点恰好为AB的中点； ②当α=60°时，A'B'恰好经过点B； ③在旋转过程中，存在某一时刻，使得AA'?BB'； ④在旋转过程中，始终存在AA'?BB'，

其中结论正确的序号是 ① ② ④ .(多填或填错得0分，少填酌情给分）

解析：如图1，∵α=30°，∴∠ACA′=∠A=30°,∠BCA′=∠B=60°，∴DC=DA,DC=DB,∴DA=DB,∴D是AB的中点.正确

如图2，当α=60°时，取A′B′的中点E,连接CE,则∠B′CE=∠B′CB=60°,又CB=CB′,∴E、B重合，∴A′、B′恰好经过点B.正确 如图3，连接AA′,BB′,则⊿CAA′∽⊿CBB′,∴

AA?AC??tan60??3,∴AA′=3BB′.?BBBC错误

如图4，∠A′B′D=∠CBB′－60°,∠B′A′D=180°－(∠CA′A+30°), ∴∠A′B′D＋∠B′A′D=90°＋∠CBB′－∠CA′A ∵ ∠CBB′=∠CA′A ,

∴∠A′B′D＋∠B′A′D=90°,即∠D=90°, ∴AA′⊥BB′.正确 ∴①，②，④正确.

6. (2014年湖北咸宁13．（3分）)如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，点C是

上的一个动

点（不与A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．若DE=1，则扇形OAB的面积为

．

考点： 三角形中位线定理；垂径定理；扇形面积的计算．

分析： 连接AB，由OD垂直于BC，OE垂直于AC，利用垂径定理得到D、E分别为BC、AC的中点，即ED为三角形ABC的中位线，即可求出AB的长．利用勾股定理、OA=OB，且∠AOB=90°，可以求得该扇形的半径． 解答： 解：连接AB， ∵OD⊥BC，OE⊥AC，

∴D、E分别为BC、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴AB=2DE=2．

又∵在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，

∴OA=OB=AB=，

∴扇形OAB的面积为：故答案是：

．

=．

点评： 此题考查了垂径定理，勾股定理，扇形面积的计算以及三角形的中位线定理，熟练掌握定理是解本题的关键．

7. (2014?年山东东营,第14题3分)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行 10 米．

考点： 勾股定理的应用．

分析： 根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 解答： 解：如图，设大树高为AB=12m， 小树高为CD=6m， 过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形， 连接AC， ∴EB=6m，EC=8m，AE=AB﹣EB=12﹣6=6（m），

在Rt△AEC中，AC=故小鸟至少飞行10m． 故答案为：10．

=10（m）．

点评： 本题考查了勾股定理的应用，根据实际得出直角三角形，培养学生解决实际问题的能力．

8．（2014?四川宜宾，第14题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′= 1.5 ．

考点： 分析： 翻折变换（折叠问题） 首先根据折叠可得BE=EB′，AB′=AB=3，然后设BE=EB′=x，则EC=4﹣x，在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC的值，再在Rt△B′EC中，由勾股定理可得方程x2+22=（4﹣x）2，再解方程即可算出答案． 解答： 解：根据折叠可得BE=EB′，AB′=AB=3 设BE=EB′=x，则EC=4﹣x， ∵∠B=90°，AB=3，BC=4， ∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，，

∴B′C=5﹣3=2， 在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+22=（4﹣x）2， 解得x=1.5． 故答案为：1.5． 点评： 此题主要考查了翻折变换，关键是分析清楚折叠以后哪些线段是相等的． 9.（2014?四川凉山州，第16题，4分）已知一个直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 5或 考点： 专题： 分析： 勾股定理． 分类讨论． 已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长． 解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时： 第三边的长为：=； ．

解答： ②长为3、4的边都是直角边时： 第三边的长为：=5； 点评： 故第三边的长为：5或． 此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解． 10．（2014?四川凉山州，第26题，5分）如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为 20 cm．

考点： 分析： 解答： 平面展开－最短路径问题 将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 解：如图： 将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离，

A′B=故答案为：20． ==20（cm）． 点评： 本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 11．（2014?甘肃白银、临夏,第13题4分）等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是 cm．

考点：勾股定理；等腰三角形的性质． 分析：利用等腰三角形的“三线合一”的性质得到BD=BC=6cm，然后在直角△ABD中，利用 勾股定理求得高线AD的长度． 解答：解：如图，AD是BC边上的高线． ∵AB=AC=10cm，BC=12cm， ∴BD=CD=6cm， ∴在直角△ABD中，由勾股定理得到：AD=故答案是：8． ==（8cm）． 点评：本题主要考查了等腰三角形的三线合一定理和勾股定理．等腰三角形底边上的高线把 等腰三角形分成两个全等的直角三角形．

三、解答题

1. （2014?上海，第22题10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH． （1）求sinB的值；

（2）如果CD=，求BE的值．

考点：解直角三角形；直角三角形斜边上的中线． 分析：（1）根据∠ ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：，即可得出sinB的值； （2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=2，得AC=2，则CE=1，从而得出BE． 解答：解： （1）∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线， ∴CD=BD， ∴∠B=∠BCD， ∵AE⊥CD， ∴∠CAH+∠ACH=90°， ∴∠B=∠CAH， ∵AH=2CH， ∴由勾股定理得AC=CH， ∴CH：AC=1：， ∴sinB； ， （2）∵sinB∴AC：AB=1：， ∵CD=， ∴AB=2， 由勾股定理得AC=2，则CE=1， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， ∴BC=4， ∴BE=BC﹣CE=3．

点评：本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线，注意性质的应用，难度不 大． 2. （2014山东济南，第27题，9分）如图1，有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4，正方形

ABCD的四个顶点分别在l1,l2,l3,l4上，EG过点Ｄ且垂直于l1于点Ｅ，分别交l2,l4于

点Ｆ，Ｇ，EF?DG?1,DF?2．

（1）AE? ，正方形ABCD的边长＝ ；

EG绕点A顺时针旋转得到?AE?D?，旋转角为?(0????90?)，点D?（2）如图2，将?A在直线l3上，以AD?为边在的E?D?左侧作菱形AD?C?B?，使点B?,C?分别在直线l2,l4上． ①写出?B?AD?与?的函数关系并给出证明；

?②若??30，求菱形AD?C?B?的边长．

RT?GDC【解析】（1）在RT?AED，

中，AD=DC,又有?ADE和?DAE互余，?ADE和

?CDG互余，故?DAE和?CDG相等，?AED??GDC，知AE?GD?1,

22 又AD?1?2?3，所以正方形ABCD的边长为1?3?10．

’?，RT?AED?A?BM （2）①过点B?作B?M垂直于l1于点M，在RT中, ’B?M=AE’,AD?=AB?,故RT?AE’D??RT?AB?M，所以?D?AE,?B?AM互余，?B?AD?与?之和为90?，故?B?AD?=90?－?.

②过E点作ON垂直于l1分别交l1,l2于点O，N，

若??30?,?E?D?N?60?，AE?=1,故E?O=1553, E?N=, E?D??， 223由勾股定理可知菱形边长为2584?1?. 333.（( 2014年河南) 22.10分）（1）问题发现

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE 填空：（1）∠AEB的度数为 60 ；

（2）线段AD、BE之间的数量关系是 AD=BE 。

解:（1）①60；②AD=BE. …………………………………………2分 提示：（1）①可证△CDA≌△CEB,

∴∠CEB=∠CDA=1200， 又∠CED=600，

∴∠AEB=1200－600=600. ②可证△CDA≌△CEB,

∴AD=BE

（2）拓展探究

如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，∠ACB=∠DCE=900, 点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。

解：（2）∠AEB＝900；AE=2CM+BE. …………………………4分 （注：若未给出本判断结果，但后续理由说明完全正确，不扣分） 理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 900, ∴AC=BC, CD=CE, ∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB, 即∠ACD= ∠BCE

∴△ACD≌△BCE. ……………………………………………………6分 ∴AD = BE, ∠BEC=∠ADC=1350.

∴∠AEB=∠BEC－∠CED=1350－450=900．……………………………7分

在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高， ∴CM= DM= ME,∴DE=2CM.

∴AE=DE+AD=2CM+BE……………………………………………………8分

（3）解决问题

如图3，在正方形ABCD中，CD=2。若点P满足PD=1,且∠BPD=900，请直接写出点A到BP的距离。 (3)

3?13?1或………………………………………………………10分 22 【提示】PD =1，∠BPD=900,

∴BP是以点D为圆心、以1为半径的OD的切线，点P为切点． 第一种情况：如图①，过点A作AP的垂线，交BP于点P/， 可证△APD≌△AP/B,PD=P/B=1, CD=2,∴BD=2,BP=3, ∴AM=

1/13?1PP=(PB－BP/)= 222 第二种情况如图②，

可AM

得

1/13?1PP=(PB+BP/)= 222

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