高中数学人教A版选修2-2优化练习：第一章 1.3 1.3.1 函数的单调

[课时作业]

[A 组 基础巩固]

1．函数f (x )＝e x

x －2

的递减区间为( ) A ．(3，＋∞)

B ．(－∞，2)

C ．(－∞，2)和(2,3)

D ．(2,3)和(3，＋∞)

解析：函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．

f ′(x )＝e x (x －2)－e x (x －2)2＝e x (x －3)(x －2)2

. 因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，

所以e x >0，(x －2)2>0.

由f ′(x )<0得x <3.

又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)． 答案：C

2．若f (x )＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )

A ．a ≥3

B ．a ＝3

C ．a ≤3

D ．0

∵f ′(x )在(0,2)内单调递减，

∴????? f ′(0)≤0f ′(2)≤0，∴?????

0≤012－4a ≤0， ∴a ≥3.

答案：A

3．y ＝x ln x 在(0,5)上是( )

A ．单调递增函数

B ．单调递减函数

C ．在(0，1e )上单调递减，在(1e

，5)上单调递增 D ．在(0，1e )上单调递增，在(1e

，5)上单调递减 解析：∵y ′＝x ·1x

＋ln x ＝1＋ln x ， 令y ′>0，得x >1e

， 令y ′<0，得0

，故选C. 答案：C

4．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )

A ．f (0)＋f (2)<2f (1)

B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)

C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)

D ．f (0)＋f (2)>2f (1)

解析：由(x －1)f ′(x )≥0得f (x )在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f (x )恒为常数，故f (0)＋f (2)≥2f (1)．

答案：C

5.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图

象最有可能是( )

解析：由已知图象可知，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，0)上递增；当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(0,2)上递减；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(2，＋∞)上递增．

答案：C

6．若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)在R 上是增函数，则a ，b ，c 的关系式为________． 解析：f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≥0恒成立，

则?????

a ＞0Δ＝4

b 2－12a

c ≤0，得a ＞0，且b 2≤3ac . 答案：a ＞0且b 2≤3ac

7．函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为________．

解析：函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，

令f (x )＝x 2－x －2，f ′(x )＝2x －1＜0，得x ＜12

， ∴函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞，－1)．

答案：(－∞，－1)

8．若f (x )＝－12

x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝－x ＋b x ＋2

， ∵f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立，

∴b ≤x (x ＋2)在x ∈(－1，＋∞)上恒成立．

又x ∈(－1，＋∞)时，x (x ＋2)>－1，

∴b ≤－1.

答案：(－∞，－1]

9．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b

的图象在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0. (1)求函数y ＝f (x )的解析式；

(2)求函数y ＝f (x )的单调区间．

解析：(1)由函数f (x )的图象在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，知f ′(－1)＝－12

， 且－1＋2f (－1)＋5＝0，

即f (－1)＝－2，－a －61＋b

＝－2，① 又f ′(x )＝a (x 2＋b )－2x (ax －6)(x 2＋b )2

， 所以a (1＋b )＋2(－a －6)(1＋b )2＝－12.② 由①②得a ＝2，b ＝3.

(∵b ＋1≠0，∴b ＝－1舍去)

所以所求函数的解析式是f (x )＝

2x －6x 2＋3

. (2)f ′(x )＝－2x 2＋12x ＋6(x 2＋3)2

， 令－2x 2＋12x ＋6＝0，解得x 1＝3－23，x 2＝3＋ 23，则当x <3－23或x >3＋23时，f ′(x )<0；当3－230. ∴f (x )＝2x －6x 2＋3的单调递增区间是(3－23，3＋23)；单调递减区间是(－∞，3－23)和(3＋23，＋∞)．

10．设函数f (x )＝ax 3＋32

(2a －1)x 2－6x (a ∈R)，若函数f (x )在区间(－∞，－3)上是增函数，求实数a 的取值范围．

解析：f ′(x )＝3ax 2＋3(2a －1)x －6＝3(ax －1)(x ＋2)．

(1)若a ＝0，则f ′(x )＝－3(x ＋2)>0?x <－2，此函数在(－∞，－2)上单调递增，从而在(－∞，－3)上单调递增，满足条件．

(2)若a ≠0，则令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝1a

， 因为f (x )在(－∞，－3)上是增函数，即x <－3时

f ′(x )>0恒成立，a >0时，则－2>－3恒成立，即a >0.

a <0时，不合题意．

综上所述，实数a 的取值范围是[0，＋∞)．

[B 组 能力提升]

1．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在????12

，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0]

B ．[－1，＋∞)

C ．[0,3]

D ．[3，＋∞)

解析：∵f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在????12

，＋∞上是增函数． ∴f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在????12，＋∞上恒成立， 即a ≥1x 2－2x . ∵函数y ＝x －2与函数y ＝－2x 在????12，＋∞上为减函数，

∴a ≥4－2×12

＝3. 答案：D

2．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )

A ．(－1,1)

B ．(－1，＋∞)

C ．(－∞，－1)

D ．(－∞，＋∞)

解析：设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)，

则m ′(x )＝f ′(x )－2＞0，

∴m (x )在R 上是增函数．

∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，

∴m (x )＞0的解集为{}x |x ＞－1，

即f (x )＞2x ＋4的解集为(－1，＋∞)．

答案：B

3．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．

解析：显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，

f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x . 由f ′(x )>0，得函数f (x )的单调递增区间为(12

，＋∞)；由f ′(x )<0，得函数f (x )的单调递减区间为(0，12

)． 由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，

所以????? k －1<12

，解得1≤k <32. 答案：1≤k <32

4．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c 的最大值为________．

解析：由题意得f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ≤0在[－1,2]上恒成立，得

????? f ′(－1)≤0，f ′(2)≤0?????? 3－2b ＋c ≤0，12＋4b ＋c ≤0

? ?????

2b －c ≥3，4b ＋c ≤－12，以下有两种方法． 解法一：设b ＋c ＝x (2b －c )＋y (4b ＋c )， 即b ＋c ＝(2x ＋4y )b ＋(－x ＋y )c ，

令????? 2x ＋4y ＝1，－x ＋y ＝1，解得??? x ＝－12，y ＝12.

所以b ＋c ＝－12(2b －c )＋12

(4b ＋c ) ≤－12×3＋12

×(－12) ＝－152

， 当且仅当2b －c ＝3,4b ＋c ＝－12，即b ＝－32

，c ＝－6时，等号成立， 所以b ＋c 的最大值为－152

. 解法二：建立平面直角坐标系bOc ，作出可行域，如图，解

?????

2b －c ＝3，4b ＋c ＝－12得两直线l 1：2b －c ＝3与l 2：4b ＋c ＝ －12的交点坐标A ???

?－32，－6， 令b ＋c ＝m ，则c ＝－b ＋m 为平行线组，

易知平行线组c ＝－b ＋m 经过点A ???

?－32，－6时， m max ＝b ＋c ＝－152

. 答案：－152

5．已知函数y ＝a x 与y ＝－b x

在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调区间．

解析：因为函数y ＝ax 与y ＝－b x

在(0，＋∞)上都是减函数， 所以a <0，b <0.

由y ＝ax 3＋bx 2＋5得y ′＝3ax 2＋2bx .

令y ′>0，得3ax 2＋2bx >0，

所以－2b 3a

，0)时，函数为增函数．令y ′<0，即3ax 2＋2bx <0， 所以x <－2b 3a

，或x >0. 所以在(－∞，－2b 3a

)，(0，＋∞)上函数为减函数． 6．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e －

x (x ∈R ，e 为自然对数的底数) (1)若函数f (x )在(－1,1)内单调递减，求a 的取值范围．

(2)函数f (x )是否为R 上的单调函数？若是，求出a 的取值范围，若不是，请说明理由． 解析：(1)因为f (x )＝(－x 2＋ax )e －x ，所以f ′(x )＝[x 2－(a ＋2)x ＋a ]e －

x ， 要使f (x )在(－1,1)上单调递减，则f ′(x )≤0对一切x ∈(－1,1)都成立，

即x 2－(a ＋2)x ＋a ≤0对x ∈(－1,1)都成立，

令g (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋a ，则????? g (－1)≤0，g (1)≤0??????

1＋(a ＋2)＋a ≤0，1－(a ＋2)＋a ≤0，解得a ≤－32. 所以a 的取值范围是?

???－∞，－32. (2)①若函数f (x )在R 上单调递减，则f ′(x )≤0对

x ∈R 都成立，

即[x2－(a＋2)x＋a]e－x≤0对x∈R都成立，从而x2－(a＋2)x＋a≤0对x∈R都成立，令g(x)＝x2－(a＋2)x＋a，抛物线y＝g(x)开口向上，不可能对x∈R，g(x)≤0都成立．②若函数f(x)在R上单调递增，

则f′(x)≥0对x∈R都成立，

从而x2－(a＋2)x＋a≥0对x∈R都成立，

由于Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0，

故f′(x)≥0不能对一切x∈R都成立，

综上可知，函数f(x)不可能是R上的单调函数.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/irhl.html