高考数学总复习 专题7.2 利用参数方程解距离、面积最值或范围问题通关

1．选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(其中为参数）．现以坐标原点为极点，轴的非

负半轴为极轴建立极坐标标系，曲线的极坐标方程为（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）若点坐标为【答案】（1）

，直线交曲线于，

两点，求

．

．

的值．

；（2）

【解析】试题分析：（1）根据参普互化和极值互化的公式得到标准方程；（2）联立直线和圆的方程，得到关于t的二次，再由韦达定理得到

．

（2）其代入得，

则所以

．

（为参数）．以平面直角坐标系

的原点为极点，轴的正半

．

2．已知曲线的参数方程为

轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，设直线的极坐标方程为

（1）求曲线和直线的普通方程；

（2）设为曲线上任意一点，求点到直线的距离的最值．

【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为

【解析】试题分析：（1）根据参数方程和极坐标化普通方程化法即易得结论的普通方程为；

直线的普通方程为．（2）求点到线距离问题可借助参数方程，利用三角函数最值法求解即

可故设， ．即可得出最

值

（2）由于为曲线上任意一点，设

由点到直线的距离公式得，点到直线的距离为

，

．

∵ ，

∴ ，即 ，

故点到直线的距离的最大值为，最小值为．

3．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数，

，等边

），在以坐标原点为的顶点都在上，且

极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程是

点，，依逆时针次序排列，点的极坐标为（1）求点，，的直角坐标； （2）设为上任意一点，求点到直线

．

距离的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：

（1）由题意可得点的直角坐标

．

，点的极坐标为，直角坐标为，点的极

坐标为，直角坐标为

（2）由题意可得直线的方程为，利用点到直线距离公式可得点到直线距离

结合三角函数的性质可得．

（2）设点

直线的方程为

， ，则点到直线

距离

（其中，），

因为，所以，所以，所以．

4．平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴

建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程； （2）已知与直线平行的直线过点

，且与曲线交于

两点，试求

．

【答案】（1）直线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．（2）． ，

【解析】试题分析：（1）先利用加减消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，再利用

得直线的极坐标方程，最后根据

，

将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，（2）

．

先根据点斜式写出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求试题解析：（1）将

，

代入直线方程得

，

由可得，

曲线的直角坐标方程为．

5．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，以轴正半轴为

极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

．

（2）若与交于两点，点的极坐标为，求的值．

【答案】（1），；（2）

【解析】试题分析：（1）消去参数把曲线的参数方程转化为直角坐标方程，进一步把曲线的极坐标方

程转化为直角坐标方程；（2）把曲线把曲线的参数方程为参数），代入．得

，设是对应的参数，进一步利用根和系数的关系求出结果．

6．选修4-4：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系

中，曲线的参数方程为

，其中为参数，

．在以坐标原点

为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线的极坐标方程为

．

（1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程； （2）若是曲线上的动点，为线段

的中点．求点到直线的距离的最大值．

【答案】（1）． ．（2）．

【解析】试题分析：（1）首先利用关系式把极坐标转化成直角坐标，进一步把极坐标方程转化成直角坐标方程．

（2）先把直角坐标方程转化成参数方程，进一步利用点到直线的距离公式，再利用三角函数的最值求

出结果．

试题解析：（1）∵直线的极坐标方程为由

，

，可得直线的直角坐标方程为

，即

．

．

将曲线的参数方程消去参数，得曲线的普通方程为．

7．[选修4－4：坐标系与参数方程]

[来源:学+科+网]

2t，2 （其中t为参数）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为{，现以坐标原点为极点，2y??4?t2x??x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为??4cos?．

（1）写出直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）过点M?1，0?且与直线l平行的直线l?交C于A， B两点，求AB． 【答案】(1)见解析;(2) 14．

【解析】试题分析：（1）先根据加减消元得直线l的普通方程，再根据

?2?x2?y2,x??cos?,y??sin?将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先求直线l?参数

方程标准形式，再代入曲线C的直角坐标方程，根据参数几何意义得AB?t1?t2，最后利用韦达定理代入求值．

2t，2 消去参数t，得直线l的普通方程为x?y?4?0． 试题解析：（1）由{2y??4?t2x??又由??4cos?得??4?cos?，

所以曲线C的直角坐标方程为x?y?4x?0．

2222t,2 （2） 过点M?1，0?且与直线l平行的直线l?的参数方程为{2y?t.2x?1?22将其代入x?y?4x?0得t?2t?3?0，

2则t1?t2??2，t1t2??3， 所以AB?t1?t2??t1?t2?2?4t1t2?14．

8．选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线l过点P?1,2?，且倾斜角为?， ???0,???? ?．以直角坐标系的原点O为极点，

2?x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为?23?sin2??12．

（1）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程，并判断曲线C是什么曲线； （2）设直线l与曲线C相交与M,N两点，当PM?PN?2，求?的值．

??【答案】(Ⅰ) 曲线是焦点在轴上的椭圆；(Ⅱ)

?． 4x?1?tcos???? ，【解析】试题分析：（1）由题易知，直线的参数方程为{（ t为参数），???0,?；

y?2?tsin??2?x2y2??1，椭圆； 曲线的直角坐标方程为43（2）将直线代入椭圆得到3cos2??4sin2?t2??6cos??16sin??t?7?0，

??所以PM?PN?t1?t2?7?，解得。 ?2??3cos2??4sin2?4

9．已知曲线的极坐标方程为：，以极点为坐标原点，以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，

曲线的参数方程为：(为参数)，点．

(1)求出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

的值．

的极坐标方程两边同时乘于极径，由

，

(2)设曲线与曲线相交于，两点，求【答案】（Ⅰ）

，

；（Ⅱ）

【解析】试题分析：（1）由题意，将曲线

，即将其转化为普通方程；由曲线的参数方程经过消参，即可求得曲线的普通方

程．（2）由（1）易知曲线为圆，为直线，利用直线参数方程中参数的几何意义，将问题转化为的值，由此可联立直线参数方程与圆的方程消去试题解析：(Ⅰ)

，

，

，

，由韦达定理，从而问题可得解．

的直角坐标方程为:

，

的普通方程为

（Ⅱ）将

得：，，

由的几何意义可得：10．在平面直角坐标系

中，直线的参数方程为

（为参数，．

），以为极点，以

轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （Ⅱ）设的坐标． 【答案】（Ⅰ）

，曲线：

；（Ⅱ）

，直线交曲线于

两点，是直线上的点，且

，当最大时，求点

或．

【解析】试题分析：（Ⅰ）将直线的参数方程消去参数可得普通方程，利用转化公式可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程．（Ⅱ）根据直线的参数方程中参数t的几何意义求解，并结合三角函数的知识可得当

时，最大，此时

最大．然后利用参数方程可得点的坐标．

（Ⅱ）设直线上的三点将整理得则

代入

， ，

所对应的参数分别为

，

，

11．【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：

2t2 ?sin2??2acos?(a?0)，过点P??2， (t为参数)，?4?的直线l的参数方程为： {2y??4?t2x??2?直线l与曲线C分别交于M、N两点．

(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； (2)若|PM |，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值

【答案】(1) y?x?2;(2) a?1．

2

【解析】试题分析： ?1?由?sin??2acos?(a?0)得： ??sin???2a?cos?，即可求得曲线C的直角坐标方程，消去参数t得直线l的普通方程

2PN?2?将直线l的参数方程代入到曲线C的直角坐标方程中可得关于t的二次方程，由PM，，

MN成等比数列，可得PM?PN?|MN|2，变形后代入韦达定理可得关于a的方程，解出即可得到

答案

解析：(1)由?sin??2acos?(a?0)得： ??sin???2a?cos?

22∴曲线C的直角坐标方程为： y?2ax (a > 0)

22t2 消去参数t得直线l的普通方程为y?x?2 由{2y??4?t2x??2?

12．选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为

??????2，?cos??，直线的极坐标方程为l?????a，且l过点A，曲线C1的参数方程为4?4???{x?2cos?,y?3sin?, (θ为参数)．

(Ⅰ)求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值；

(Ⅱ)过点B??1,1?与直线l平行的直线l1与曲线 C1交于M,N两点，求BM?BN的值．

【答案】（Ⅰ）dmax?14?2210；(Ⅱ) ．

27x??cos?【解析】试题分析：（1）由直角坐标与极坐标互换公式{y??sin? ，可得直线l的直角坐标方程为

x2?y2??2（2）直线l1的参数方程为x?y?2?0，再由点到直线的距离公式及辅助角公式可求得最值。

3x??1?tcos?,x2y24??1．由参数t的几何意义可得，代入曲线C1的普通方程为{ （t为参数）

433y?1?tsin?,4BM?BN?t1t2?10。 7???????a，故a?2， 44??试题解析：(Ⅰ)由直线l过点A可得2cos?则易得直线l的直角坐标方程为x?y?2?0

根据点到直线的距离方程可得曲线C1上的点到直线l的距离

d?2cosa?3sina?22?7?sina????22,sin??2217,cos?， 77?dmax?7?214?22 ?22

13．[选修4-4：坐标系与参数方程]

2t2 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{（t为参数），以原点为极点， x轴的正半

2y?t2x?2?轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为??2acos???（Ⅰ）求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）已知P?2,0?，直线l与曲线C交于M， N两点，若MN2?????(a?0)． 4??MP?NP，求a的值．

22【答案】（Ⅰ）?cos???sin??2?0， x?y?2ax?2ay?0．

（Ⅱ）a?32． 5【解析】试题分析：（Ⅰ）消去参数，即可得到直线的普通方程，在利用极坐标与直角坐标的互化，即可得到直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，求得t1?t2,t1t2，进而得到t1?t2，再由题设

MN?MP?NP，即可求解a的值．

2

（Ⅱ）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立并整理得t?22t?4?22a?0， 设点M， N分别对应参数t1， t2，则t1， t2恰为上述方程的根， 由??0可得222??2?4?4?22a?0，得a???2． 2则t1?t2??22?0， t1t2?4?22a，所以t1?t2?由MN2?t1?t2?2?4t1t2 ?82a?8，

?MP?NP，得t1?t2?t1t2，

322或a?（舍去）． 532即82a?8?4?22a，解得a?故a?32． 514．选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x?m?2t,y?2t，以坐标原点为极点， x （t为参数）

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为?2?点F．

（1）求m的值及直线l的普通方程；

4，且直线l经过曲线C的左焦

1?sin2?

（2）设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值． 【答案】（1）见解析．（2）46．

x2y2??1，【解析】试题分析：（1）将??x?y， ?sin??y代入上式并化简得所以F?2,0，42222??又直线l的普通方程为x?y?m，将焦点代入得得m??2，所以直线l的普通方程为

x?y?2?0；（2）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为2cos?,2sin?，所以椭圆C的内

接矩形的周长为L?24cos??22sin??46sin?????（其中tan??矩形的周长取得最大值46．

????2），此时椭圆C的内接

（2）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为2cos?,2sin?（0???矩形的周长为L?24cos??22sin??46sin?????（其中tan??形的周长取得最大值46．

???2），所以椭圆C的内接

??2），此时椭圆C的内接矩

15．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为{x?cos?y?3sin? （?为参数），曲线C2的参数方程为

2t2{ （t为参数）．

2y?1?t2x??

（I）求曲线C1和C2的普通方程；

（II）设P?0,1?，若曲线C1和C2交于A,B两点，求PA?PB及AB的值．

y232?1；【答案】（I）曲线C1的普通方程为x?曲线C2的普通方程为x?y?1?0；（II）AB?．

232【解析】试题分析：

（I）由参数方程消去参数可得曲线C1和C2的普通方程．（II）结合（I）中的结论，利用直线的参数方程中参数的几何意义求解即可．

2ty222?1整理得 （t为参数）代入x?（II）将{32y?1?t2x??2t2?2t?2?0，

设A、B对应参数分别为t1,t2，

则t1?t2?2,t1t2??1， 2∴PA?PB?t1t2?1，

AB?t1?t2??t1?t2?2?4t1t2?1932?4??． 22216．已知曲线C1的极坐标方程为： ??4cos?，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直

1x?3?t2 (t为参数)，点A?3,0? 角坐标系，曲线C2的参数方程为： {3y?t2（1）求出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；

（2）设曲线C1与曲线C2相交于P， Q两点，求AP?AQ的值． 【答案】（1）x?y?4x， y??3?x?3?（2）3

22【解析】试题分析：（1）利用??x?y∴?cos??x， ?sin??y将极坐标方程化为直角坐标方程，消去参数t可得普通方程；

（2）将直线的参数方程代入C1的直角坐标方程得t2?t?3?0，利用AP?AQ?t1,t2求解即可．

222

∴C2的普通方程为y??3?x?3?

17．在平面直角坐标系xOy中，圆O:x?y?1，把圆O上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线C，且倾斜角为?，经过点Q1,3的直线l与曲线C交于A,B两点．

22??（1）当???4时，求曲线C的普通方程与直线l的参数方程；

（2）求点Q到A,B两点的距离之积的最小值．

2tx292 ?y2?1， l的参数方程是{【答案】(1) C的方程为（t是参数）．(2) ． 442y?3?t2x?1?【解析】试题分析： ?1?由圆O上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线C，代入点坐标求出普通方程，将???4时代入，求直线的参数方程(2)将参数方程代入利用公式求出Q到

A,B两点的距离之积的最小值。

解析：（1）设圆O上任意一点的坐标为?x0,y0?，曲线C上一点的坐标为?x,y?,

1x{根据题意，得{，即 2 ．

y?y0y0?yx?2x0x0?又点?x0,y0?在圆O:x?y?1上，

22?1?所以?x??y2?1，

?2?2

即曲线C的方程为

x?y2?1， 42由题知， Q1,3,?????4，

2t2 （是参数）

所以直线l的参数方程是{． t2y?3?t2x?1?

18．选修4-4：坐标系与参数方程

x?2cost, （t为参数）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{，以坐标原点为极点， x轴

y?sint的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为?cos??3?sin??6?0． （1）求直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；

（2）设M是曲线C上的一动点，求M到直线l的距离的最小值．

【答案】(1)见解析;(2)

610?130．

10【解析】试题分析：（1）消去参数，即可到曲线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可把直线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设M?2cost,sint?，利用点到直线的距离公式，即可表示出点M到直线l的距离d，即求解距离的最值．

试题解析：

x?2cost,x2 得?y2?1， （1）由{y?sint4x2?y2?1． 故曲线C的普通方程为4由?cos??3?sin??0，及x??cos?， y??sin?， 得x?3y?6?0．

故直线l的直角坐标方程为x?3y?6?0．

19．选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中， C1的参数方程为{x?tcos? （t为参数， 0????），以坐标原

y??1?tsin???点O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， C2的极坐标方程为??22cos???（Ⅰ）求C2的直角坐标方程，并指出其图形的形状；

???． 4?（Ⅱ）C1与C2相交于不同两点A,B，线段AB中点为M，点N?0,?1?，若MN?2，求C1参数方程中sin?的值．

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） sin??3或sin??1． 5?cos??x 可将C2的极坐标方程化为直角坐标方程，由方程可知为圆；【解析】试题分析：（Ⅰ）由{

?sin??y

（Ⅱ）将{x?tcos?22 代入?x?1???y?1??2整理得t2??2cos??4sin??t?3?0，由

y??1?tsin?t1?t2?2，利用韦达定理求解即可． 2

MN?2，得

试题解析：

（Ⅰ）由??22cos???????2?得??2cos??2sin?，所以??2?cos??2?sin? 4?将{?cos??x22 代入得x2?y2?2x?2y，即?x?1???y?1??2，所以C2的直角坐标方程为

?sin??y22?x?1???y?1??2，表示以?1,1?为圆心、2为半径的圆．

20．选修4 — 4：坐标系与参数方程

2t2 （t为参数）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{，以原点为极点， x轴的正2y??1?t2x?2?半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为??22acos???（1）分别写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）已知点P?2,?1?，直线l与曲线C相交于M,N两点，若|MN|?6PM?PN，求a的值．

2????4??（a?5）． 6【答案】（1）y?x?3， ?x?a???y?a??2a2（2）a?1 【解析】试题分析：

（1）将直线的参数方程消去参数可得普通方程；先将曲线C的极坐标方程变形，然后将

22

??x?y,?cos??x,?sin??y代入可得直角坐标方程．（2）将直线的参数方程代入圆的方程，

再根据一元二次方程根与系数的关系，并结合参数方程中参数t的几何意义求解．

222

2t2 代入x2?y2?2ax?2ay?0中， （2）将{2y??1?t2x?2?整理得t?2t?5?6a?0， 设M,N两点对应参数分别为t1,t2， 则t1?t2??2 ， t1t2?5?6a ∵|MN|?6PMPN， ∴?t1?t2??6t1t2， 又a?2225， 6∴t1t2?0，

∴?t1?t2???6t1t2，

2

∴?t1?t2??2t1t2?0，即?2解得a?1，符合题意． ∴a?1．

2??2?2?5?6a??0 ，

21．选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x?1?tcos?,，以原点O为极点， x轴 （t为参数）

y?2?tsin?的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆M的极坐标方程为??4cos??6sin?． （1）求圆M的直角坐标方程，并写出圆心和半径；

（2）若直线l与圆M交于A,B两点，求AB的最大值和最小值． 【答案】(1)见解析;(2) AB的最大值为213，最小值为211．

【解析】试题分析：（1）根据?cos??x，?sin??y，把直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，进而得到圆心和半径；（2）把直线l的参数方程代入圆M的标准方程，得

?1?tcos??2???2?tsin??3?22?13，利用根与系数的关系表示AB，从而得到最值．

（2）把直线l的参数方程代入圆M的标准方程， 得?1?tcos??2???2?tsin??3??13， 整理得t??2cos??2sin??t?11?0，

222???2cos??2sin???44?0，

设A,B两点对应的参数分别为t1,t2，

2

则t1?t2?2sin??2cos?， t1t2??11． 所以AB?t1?t2??t1?t2?2?4t1t2??2cos??2sin??2?4???11??4sin2??48．

因为sin2???1,1， 所以AB??211,213?，

????即AB的最大值为213，最小值为211． 22．选修4-4：坐标系与参数方程

以平面直角坐标系的原点O为极点， x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直

2t,x?23cosa,2 (a为参数)， (t为参数)，曲线C1的参数方程为{线l的参数方程为{y?2sina2y??2?t2x?曲线C2的极坐标方程为??6???0,2??． （1）求曲线C1和C2的公共点的极坐标；

（2）若P为曲线C1上的一个动点，求P到直线l的距离的最大值． 【答案】(1) ?6,??????4??， ?6，?， ?6，?， ?6，? (2) dmax?32 ??3??4???5??4???7??4?【解析】试题分析：（1）第（1）问，先把曲线C1 化成直角坐标方程，再解方程组得到两曲线交点的坐标，再把交点直角坐标化成极坐标． (2)第（2）问，利用参数方程设点P23cosa,2sina，再求出P到直线l的距离，最后利用三角函数求它的最大值．

??

[来源:学科网]

所以其极坐标分别为?6,????4??， ?6，?， ?6，?， ?6，?．

??3??4???5??4???7??4?

23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x?tcos? （t为参数， ?为直线的倾斜角，

y?2?tsin?且???2），以原点O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为??4cos?．

（1）若直线l经过圆C的圆心，求直线l的倾斜角； （2）若直线l与圆C交于A， B两点，且

3?5?，点P?0,2?，求PA?PB的取值范围． ???46【答案】(1)

3? (2) ?23?2,42?

??4【解析】试题分析：

（1）由题知，直线l经过定点?0,2?，且直线过圆心?2,0?，由斜率公式可得直线l的斜率为k??1，

则倾斜角为

3?． 42（2）联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程可得t?4t?sin??cos???4?0，设A， B两点对

应的参数分别为t1， t2，由韦达定理结合直线参数方程的几何意义可得

??? ?42sin??PA?PB?1t?2t???1t??t??，结合角的范围和三角函数的性质可得24??的取值范围为?23?2,42?． PA?PB??试题解析：

（1）由题知，直线l经过定点?0,2?，

圆C的直角坐标方程为?x?2??y2?4，圆心为?2,0?， ∴直线l的斜率为k??1， 故直线l的倾斜角为

23?． 4

24．在平面直角坐标系中，直线l的方程为3x?y?23?0以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos?? ? ??1－cos???．

(1)写出直线l的一个参数方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)已知直线l与曲线C交于A，B两点，试求AB中点N的坐标．

【答案】（1）{x?t?2?73? ， y2?2x；（2）?，?．

?33?y?3t??3t．可得直线的一个参数方

【解析】试题分析：(1)由直线的方程3?x?2??y．令x?t?2,y?程

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22曲线C的极坐标方程为2cos????1，则?1?cos??2?cos?,由极坐标与直角坐标的互－cos???．化公式即可得到曲线C的直角坐标方程；

(2)将{x?t?2,y?3t. 代入y2?2x得3t2?2t?4?0．

2．由此可求AB中点N的坐标． 3设A,B对应的参数为t1,t2,?t1?t2?试题解析：(1)

直线的方程3x?y?23?0,

?3?x?2??y．

?令x?t?2,y?3t．

?直线方程3x?y?23?0的一个参数方程为{x?t?2,y?3.t(t? 参数)

由题意可得?1?cos??2?cos?,

即?sin??2?cos?，得曲线C的直角坐标方程为y?2x．

22222

25．选修4-4：坐标系与参数方程

x?1?tcos? （t为参数）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{，以坐标原点O为极点，以x1y??tsin?2轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为?2?（1）写出曲线C的直角坐标方程； （2）已知点P的直角坐标为?1,范围．

12．

4sin2??3cos2??1??，直线l与曲线C相交于不同的两点A， B，求PA?PB的取值?2?x2y2?8???1;(2) ?2,?． 【答案】(1) 43?3?【解析】试题分析：（1）由ρcosθ?x，ρsinθ?y，可把曲线C的极坐标方程为?2?22124sin2??3cos2?转化为4y?3x?12，化成标准形式即可；（2）将直线l的参数方程与椭圆C的直角坐标方程联立，得3?1?tcos??2?1??4??tsin???12，整理得?3?sin2??t2??4sin?+6cos??t?8?0，

?2?2∴PA?PB?

8，结合正弦函数的有界性，即可得到PA?PB的取值范围． 23?sin?

26．选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线C1： x?y?1经过伸缩变换{22x'?2x 后得到曲线C2．以坐标原点O为极

y'?y点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为???2sin?． （Ⅰ）求出曲线C2、C3的参数方程；

（Ⅱ）若P、Q分别是曲线C2、C3上的动点，求PQ的最大值．

【答案】（1）{x?2cos?x?cos?43?3 ， { （2）

y?sin?y??1?sin?3【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意，根据伸缩公式可求得曲线C2的普通方程，再普通方程与参数方程的互换公式进行转换，从而求出曲线C2的参数方程，同理可根据互换公式，将曲线C3的极坐标方程转化为参数方程．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线C3是以点?0，?1?为圆心，半径r?1的圆，则可任取曲线C2上的点

P?2cos?，sin??，由两点间的距离公式，求出点P到圆心的距离d，从而求出PQmax?d?r，从

而问题可得解．

（Ⅱ）设P?2cos?,sin??，则P到曲线C3的圆心?0,?1?的距离

1?16?d?4cos???sin??1? ??3sin??2sin??5 ??3?sin????，

3?3?2222∵sin???1,1，∴当sin????431时， dmax?．

33∴PQmax?dmax?r ?4343?3?1?． 3327．选修4-4：坐标系与参数方程 椭圆C的参数方程为{x?2cos? （?为参数），以直角坐标系的原点为极点， x轴正半轴为极轴的

y?sin?极坐标中，直线l的方程为??10．

2cos??sin?（1）求出直角坐标系中l的方程和椭圆C的普通方程；

（2）椭圆C上有一个动点M，求M到l的最小距离及此时M的坐标．

【答案】(1)见解析;(2) 25-?81717?85, M?． ,???517??17【解析】试题分析：（1）根据?cos??x，?sin??y，把直线的极坐标方程转化为直角坐标方程；根

据平方关系，把椭圆的参数方程转化为普通方程；（2）利用点到直线公式得d?利用正弦型函数的有界性求最值即可．

10?17sin?????5

28．选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是??4sin?．以极点为平而直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是{x?tcos? （?为参数）

y?1?tsin?（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且AB?15，求直线l的倾斜角?的值． 【答案】（1）x2??y?2??4（2）??2?3或

2?． 32222【解析】试题分析：（1）由曲线C的极坐标方程得??4?sin?，根据x?y??， x??cos?， （2）将直线l的参数方程代入到圆的方程，得y??sin?，即可求出曲线C的直角坐标方程；

t2?2tsin??3?0，结合韦达定理和弦长公式即可求出直线l的倾斜角?的值．

试题解析：（1）由??4sin?得??4?sin? ∵x?y??， x??cos?， y??sin?，

∴曲线C的直角坐标方程为x?y?4y?0，即x2??y?2??4．

2222222（2）将{x?tcos? 代入圆的方程，化简得t2?2tsin??3?0．

y?1?tsin?

设A,B两点对应的参数分别为t1、t2，则{t1?t2?2sin?,t1t2??3.

∴AB?t1?t2?∴4sin2??3 ∵??0,??

?t1?t2?2?4t1t2?4sin2??12?15．

?∴sin??3?2?，即??或． 23329．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点P的极坐标为

，曲线C的参数方程为

(α为参数)．

(1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；

(2)若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l：ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0距离的最小值． 【答案】(1)见解析;(2)

．

【解析】试题分析：（1）根据参数方程转化为直角坐标的公式得到曲线的直角坐标方程；（2）用参数形式表示出点Q的坐标，根据点到直线的距离写出表达式，由化一公式求得最值．

(2)直线l的普通方程为x＋2y＋1＝0， 曲线C的参数方程为

(α为参数)，

设Q(2cos α，－＋2sin α)，则M，

故点M到直线l的距离

d＝＝≥＝－1，

∴点M到直线l的距离的最小值为－1．

30．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以直角坐标系的原点为

极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程； （2）若直线与曲线相交于，两点，求【答案】（1）

，

；（2）

．

的面积．

【解析】试题分析：（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即得到曲线的直角坐标方程； 由直线的参数方程，消去参数，即可得到直线的普通方程； （2）把直线的参数方程代入曲线的方程，得到

，

，利用弦长公式，得到

的长，

再利用点到直线的距离公式求的原点到直线的距离，即可求解三角形的面积．

（2）由直线的参数方程为（为参数），得（为参数），

代入，得，

设，两点对应的参数分别为，， 则

，

，

所以，

因为原点到直线的距离，

所以．

31．在直角坐标系xOy中，直线l:3x?y?9?0．以直角坐标系的原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两个坐标系取相同单位长度，曲线C的极坐标方程为???23cos?，

????,??．

?2?（1）求曲线C的参数方程；

（2）求曲线C上一点P到直线l的距离的最小值及此时点P的坐标．

?3?【答案】(1) {x??3?3cos?y?3sin?；(2)答案见解析． （?为参数且????,2??）

【解析】试题分析：(1)把曲线C的极坐标方程化为普通方程，进而转化为曲线C的参数方程；(2) 设

P?3?3cos?,3sin?，利用点到直线距离表示目标函数，结合正弦型函数的图象与性质求得最

小值及此时点P的坐标．

??

（2）设P?3?3cos?,3sin?， ??????,2??

则P到l的距离d????23sin?????63?3?3cos??3sin??93?? ?

22???33?7又????,2??，∴当???时，点P的坐标为??3?,? ???226??点P到直线l的距离的最小值为3?3． 32．选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线l过点P?1,0?，且倾斜角为?，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆

C的极坐标方程为??4cos?．

（1）求圆C的直角坐标方程及直线l的参数方程；

112cos2??3??（2）设直线l与圆C的两个交点分别为A， B，求证： ． PAPB3x?1?tcos?, （t为参【答案】（1）圆C的直角坐标方程为?x?2??y?4．直线l的参数方程为{y?tsin?22数）．（2）见解析

【解析】试题分析：（1）先根据x??cos?,y??sin?将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据直线参数方程标准形式写直线l的参数方程；（2）根据参数几何意义得

ABt1?t211，联立直线参数方程与圆方程，根据韦达定理化简证得结论． ???PAPBPAPBt1t2

2（2）将直线l的参数方程代入圆C： ?x?2??y2?4，得t?2tcos??3?0，

2设A， B两点对应的参数分别为t1， t2，

则t1?t2?2cos?， t1t2??3，

11所以 ????PAPBPAPBt1t2ABt1?t2?t1?t2?32?4t1t22cos2??3． ?333．以平面直角坐标系的坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系． 已知直线l的参数方程为{x?2?3ty??1?2t，曲线 （为参数）

的极坐标方程

为?sin??4cos? ．

(1)求曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线与曲线C相交于A、B两点，求AB．

2【答案】（1）y?4x（2）143 2【解析】【试题分析】（1）借助极坐标与直角坐标之间的互化关系进行求解；（2）先将直线的参数方程代入抛物线方程中，借助根与系数的关系及直线方程中的参数的几何意义求弦长：

x?t34．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{，在以O为极12 （t为参数， a?0）

y?ta点， x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l:?cos???sin??b?0与C2:???4cos?相交于

A、B两点，且?AOB?900．

（1）求b的值；

（2）直线l与曲线C1相交于M、N，证明： C2M·C2N（C2为圆心）为定值． 【答案】(1) b?2；(2)证明见解析．

【解析】试题分析：（1），先将直线lC2极坐标方程化为直角坐标方程，再由条件得直线l过圆C2的

圆心，解得b的值； (2）代入消元得曲线C1的普通方程，设直线参数方程标准形式，代入C1，由韦达定理以及参数几何意义得C2M·C2N?t1·t2?8．

35．选修4-4：坐标系与参数方程 已知圆锥曲线C: {x?2cos? ，(?为参数)和定点A0,?3， F1,F2是此曲线的左、右焦点，以

y?sin???原点O为极点，以x轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线AF2极坐标方程；

（2）P是曲线C上任意一点，求P到直线AF2距离的最值． 【答案】（Ⅰ）?sin???cos??3?0;（Ⅱ）见解析．

【解析】试题分析：（Ⅰ）把C的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为直角坐标方程

x2C:?y2?1；得到直线AF2的直角坐标方程，利用x??cos?、y??sin? 化为极坐标方程；

4（Ⅱ）设点P （2cos?，sin?），由点到直线的距离公式得点P到直线AF2距离的距离为d?sin??2cos??32，根据正弦函数的值

域求得点P到直线AF2的距离的最大值和最小值．

x2?y2?1， ?F2试题解析：（Ⅰ）曲线C:4直线AF2的直角坐标方程为y?x?3 {?3,0

?x??cos? ，所以直线AF2的极坐标方程为?sin???cos??3?0

y??sin?（Ⅱ）P到直线AF2的距离d?sin??2cos??32

?5sin??????3?525? cos??,sin??????55?2?5?310?65?310?6 ?,dmin??2222?dmax?

7、我们各种习气中再没有一种象克服骄傲那麽难的了。虽极力藏匿它，克服它，消灭它，但无论如何，它在不知不觉之间，仍旧显露。——富兰克林

8、女人固然是脆弱的，母亲却是坚强的。——法国 9、慈母的胳膊是慈爱构成的，孩子睡在里面怎能不甜？——雨果 10、母爱是多么强烈、自私、狂热地占据我们整个心灵的感情。——邓肯 11、世界上一切其他都是假的，空的，唯有母亲才是真的，永恒的，不灭的。——印度

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