详解：浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期高考仿真试题数学

浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期高考仿真试题 理 科 数 学

本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：

如果事件A，B互斥，那么 棱柱的体积公式

P?A?B??P?A??P?B? V?Sh

如果事件A，B相互独立，那么 其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高

P?A?B??P?A??P?B?

棱锥的体积公式

13如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 V?nSh

次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高

kkPn?k??Cnp?1?k?n?k,?k?0,1,2,?,n? 棱台的体积公式

13h球的表面积公式 S?4?R2 V?球的体积公式 V?433?1S?1S2S??S

2?R 其中S1,S2分别表示棱台的上底、下底面积，

其中R表示球的半径 h表示棱台的高

选择题部分（共50分）

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

x?10,?x?3,1．设f(x)??则f(6)的值为

f[f(x?5),x?10,?

A．5 B．6 C．7 D．8

【解析】f(6)?f??f?11????f?8??f??f?13????f?10??7． 【答案】C

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2．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为 A．6?3??

B．6?23?? C． 18?3?4?

D．18?23??

2【解析】S?1?圆=4????=?；

?2? S??底=2??3??4=2；3 ?4???S侧=3?2?3=18；

S总=?+23+18．

【答案】D

3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x为 A．13

B．12 C．22 D．11

【解析】x的值依次为：x?1；x?2； x?4； x?5； x?6；x?8； x?9； x?10； x?12．至此跳出程序．【答案】B

4．对于非空集合A,B，定义运算：

A?B?{x|x?A?B,且x?A?B}，已知

M?{x|a?x?b},N?{x|c?x?d}，其中

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a、b、c、d满足a?b?c?d，ab?cd?0，则M?N?

A．(a,d)?(b,c) B．(c,a]?[b,d) C．(a,c]?[d,b) D．(c,a)?(d,b)

【解析】由题意得：a?c?0?d?b，所以M?N?(a,c]?[d,b)． 其实也可以举出特例：如a??5，b?4，c??3，d?2． 【答案】C

1x14y5．若x，y > 0，且x?2y?1，则(x?252254)(y?)的最小值是

2582516A． B． C． D．

14

【解析】由题有：x?2y?1?2x?2y，即：x?2y???1??x?2y???．

2?? 另一方面：?x?1??1?xy1y??xy??? ???x??4y?4yx4xy ?xy?x?4y?14xy14xy?1?122?xy??x?2y?2?4xy?14xy

?xy?4xy1?2????x?2y????12?x?2y?

1x?2y??1??2?254由双勾函数的单调性知：???x?2y??． ?1??????x?2y?8?2??min【答案】C

6．在面积为2的?ABC中，E,F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则

PC?PB?BC的最小值是

2A．2 B．22 C．3 D．23 【解析】由题：S?ABC?2，

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所以S?PBC?1?12?????????PBPCsin??????????PBPC?2sin?，???0，??．

????????????2???????????????? PC?PB?BC?PC?PB?PC?PB??2

?????PC2?????PB2?????????PC?PB????2????2?????????PC?PB?PC?PBcos? ?????????????????2PC?PB?PC?PBcos??4?2cos?sin? 由函数f?x?? 在x??0,??4?2cosxsinx在x??0，??上的单调性知：

单调递减；

??3??上f?x??4?2cosxsinx4?2cosxsinx 在x?????,??上f?3??x??单调递增．

?4?2cos???23 故??sin???min???????．

3??【答案】D

7．已知点M(?3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为

y2A．x?28y2?1(x?1) B．x?2y28y2?1(x??1)

C．x?28?1 ?x?0? D．x?210?1(x?1)

【解析】如图：MP?PN?MA?ND?MB?NB

?2?2a?a?1．

故P点的轨迹为双曲线， 且c?3．

所以a?1，b?c?a?8． 【答案】A

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2222?1?m8．在等差数列?an?中，a2?5，a6?21，记数列??的前n项和为Sn，若S2n?1?Sn?15?an?对n?N?恒成立，则正整数m的最小值为 A．3

B．4

C．5 D．6

?d?4?an?4n?3．

【解析】a6?a4?4d?21?5?16 故

1an?14n?314n?114n?3??．

14n?5?18n?314n??18n?718n?318n?1 所以：S2n?1?Sn?????? （A）

S2n?1?Sn?1? （A）—（B）??11???1n8?18n?11? （B） 11n?874n?3

??14n?314n?3??18n?14n?321?3n8?3 ??

?0 所以?S2n?1?Sn?max?S3?S1? 所以【答案】C

?3cos??x?cos??3sin??y?sin?m15?1445?m?14315?19?1445?，

m?5．

?4.679．点M(x,y)满足：?(??R)，点N(x,y)满足：(x?3)?(y?3)?1

22uuur则|MN|的最小值是

A．32?3 B．32?4 C．5 D．4 【解析】因为??3cos??x?cos??3sin??y?sin?(??R)，

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所以??cos??0?sin??0??3??．（只考虑一个周期内） ????,?2??点M(x,y)的可行域为图中阴影部分（扇形且r1?1，r2?3）；

点N(x,y)的可行域为图中的圆P（圆心为（3，3），半径rP?1）． uuur 显然当|MN|达到最小值时，点M必定在圆弧AB上，

设其点M为?cos?，sin??， 则d??3?cos??19?62??3?sin???1?219?6?cos??sin?? ????2s?i?n??． （A）

4???2???1,??．

2??????5?7????3?? 因为???,，所以???，sin?????,?4?4?4?2???4??? 代入（A）式得：dmin?d??sin???4?2????2??4．

【答案】D

请同学们考虑下面这个题目：

如图，阴影是集合P?{(x,y)|(x?cos?)?(y?sin?)?4,0????}在平面直角坐标系上表示的点集，则阴影中间形如“水滴”部分的面积等于

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22

A．??C．

1163 3 B．

73??3 ??D．??2

【提示】圆心为?cos?，sin??，其中0????． 则圆心所在的轨迹为一半圆． 【答案】C

10．将函数y??x?2x?3?23（x??0,2?）的图象绕坐标原点逆时针旋转?（?为

锐角），若所得曲线仍是一个函数的图象，则?的最大值为 A．

?2 B．

?4 C．?3 D ．

?2

【解析】本题是函数旋转题型，这类题在今年十分流行，考生应引起重视．

以下就本题进行分析： 由y??x?2x?3?23 ??x?1?2?y??3?2， x??0,2?． ?4 图像如下：

L1与圆C相切， L2与圆相交． 由圆的知识易得：L1与x轴的夹角为 因此当函数的图象绕坐标原点逆时 针旋转???3?6．

?3时，L1刚好与y轴重合，

但当??时，L2可能与y轴重合，

此时，图像不满足函数的要求了． 则?的最大值为

【答案】C

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?3．

根据以上解法，请同学们考虑下面这个题目： 将函数yC?sinx(0?x?2?)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转?(0???2?)角，得到曲线

．若对于每一个旋转角?，曲线C都是一个函数的图象，则满足条件的角?的范围是

?（A）[0,] （B）[0,]?[44?3?5?,]447?4

（C）[0,]?[4?3?5?7?,]?[,2?) 444 （D）[0,]?[4?,2?)

【答案】C

非选择题部分（共100分）

注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上． 2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用

黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11．已知i是虚数单位，m、n?R，且m?i?1?ni，则【解析】因为m?i?1?ni，所以m?n?1．

m?nim?ni?m?nim?ni? ．

1?i1?i?i．

【答案】i

12．在(1?x)?(1?2223x)的展开式中，x的系数等于 ．(用数字作答)

24【解析】Ax?C【答案】?3

?x??C34?x?33??3x．

13．甲、乙、丙三人分别独立地解一道题，甲做对的概率是

三人全做错的概率是

1412，三人都做对的概率是

124，

，已知乙做对这道题的概率大于丙做对这道题的概率。设三人

中做对这道题的人数为?，则随机变量x的数学期望E?? ．

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11??1P=PP?乙乙丙???2?324【解析】由题：?，所以?．

?1?1?P??1?P??1?P=1乙丙丙???24?4?的可能取值有0、1、2、3．

P???0??131214，P???1??1124，P???2??14，P???3??124．

E??1312．

【答案】

14．已知等差数列{an}（公差不为零）和等差数列{bn}，如果关于x的方程

9x?(a1?a2??a9)x?b1?b2??b9?0有解，那么以下九个方程

2x?a1x?b1?0，x?a2x?b2?0，x?a3x?b3?0，??，x?a9x?b9?0中，

2222无解的方程最多有 个．

2【解析】关于x的方程9x?(a1?a2??a9)x?b1?b2??b9?0有解．

即：???a1?a2???a9??4?9??b1?b2???b9??0． 又数列{an}和{bn}为公差不为零的等差数列， 所以???9a5??4?9??9b5??022?a5?4b5?0．（A）

22故关于x的方程x?a5x?b5?0必定有解．

2另一方面：对关于x的方程x?a4x?b4?0，

有：?4?a4?4b4??a5?d1??4?b5?d2?，

22要想?4?0，则在理论上?a5?d1??4?b5?d2?．（B）

将（B）与（A）比较，当d1在减少的程度上比d2少的多，则（B）一定成立． 但由于对称关系：?6?a6?4b6??a5?d1??4?b5?d2?有可能就会小于零．

222第 9 页 共 23 页

综合考虑得无解的方程最多有4个．

【答案】4

15．已知?ABC的三边长a,b,c成等差数列，且a2?b2?c2?84,则实数b的取值范围

是 ．

【解析】本题是解三角形与不等式的综合题．一般有两中解法，一是化成角，利用角的

范围解出范围；二是化成边，利用三角形的一些性质和基本不等式等知识解出答案．

【答案】26?b?27

16．如图的倒三角形数阵满足：（1）第1行的，n个数，分别

是1，3，5，…，2n?1；（2）从第二行起，各行中的 每一个数都等于它肩上的两数之和；（3）数阵共有n行． 问：当n?2012时，第32行的第17个数是 ． 【解析】本题规律不易发现．

规律一：（偶数行）第2m行的第一个数是m?22m．如4?1?22，32?2?24． 规律二：（一行内）第n行数的相邻两个数之间相差2n． 由以上规律得：第32行的第1个数是16?2 第32行的第17个数是2【答案】237

17．若双曲线x?y?a(a?0)的左、右顶点分别为A、B，点P是第一象限内双曲

线上的点．若直线PA、PB的倾斜角分别为?，?，且??m?(m?1)，那么?的值是 ． 【解析】设点P（x0，y0），

则tan??kAP?y0x0?a22232相邻两个数之间相差2?2，

323632，

36?16?2?237．

，tan??kBP?y0x0?a．

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所以tan??tan??kAP?kBP??2y0x0?ax0?a?y0?1，

故?????2m?2????2m?2．

【答案】

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）

已知函数f(x)?2cos2x2?3sinx．

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和值域； （Ⅱ）若?为第二象限角，且f(???3)?13，求

cos2?1?cos2??sin2?的值．

【解析】(18)本题主要考查三角变换、正弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力．

满分14分．

解：（Ⅰ）因为 f(x)?1?cosx?3sinx ????????1分

?1?2cos(x??3)， ????????2分

所以函数f(x)的周期为2?，值域为[?1,3]． ?????4分

（Ⅱ）因为 f(???3)?1311所以 1?2cos?=，即cos???． ???????5分

33，

因为

cos2?1?cos2??sin2??cos??sin?2cos??2sin?cos??cos??sin?2cos?222 ????8分

?(cos??sin?)(cos??sin?)2cos?(cos??sin?)，??????11分

又因为?为第二象限角， 所以 sin??223． ??????12分

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所以原式?cos??sin?2cos???13??22323?1?222．????14分

19．（本题满分14分）

在直角坐标平面上有一点列P1(x1,y1),P2(x2,y2),?,Pn(xn,yn),?, 对一切正整数n，点Pn在函数y?3x?差数列?xn?． （Ⅰ）求点Pn的坐标；

（Ⅱ）设抛物线列C1，C2，C3，…，Cn，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，抛物线

Cn的顶点为Pn，且过点Dn（0，n2?1）.记与抛物线Cn相切于点Dn的直线的斜率为kn，求

1k1k2?1k2k3???1kn?1kn134的图象上，且Pn的横坐标构成以?52为首项，－1为公差的等

．

【解析】(19) 本题主要考查等差数列通项、求和公式、数列前n项和与通项的关系等

基础知识，同时考查运算求解能力及抽象概括能力．满分14分． 解:（Ⅰ）?xn??52?(n?1)?(?1)??n?134??3n?5432，

32,?3n?54)．????4分

?yn?3xn?.?Pn(?n?（Ⅱ）?Cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn，

∴设Cn的方程为y?a(x?2n?32)?212n?54．

2把Dn(0,n?1)代入上式,得a?1，??????7分

Cn的方程为y?x?(2n?3)x?n?1.??????8分 ∴

kn?y?|x?0?2n?3, ∵

22∴1kn?1kn?1(2n?1)(2n?3)?12(2n?1)[1?1(2n?3)],??10分

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∴1k1k212?151k2k3?17??171kn?1kn?19

12n?112n?3?[()?()???(?)]

=

11111(?)??. ??????14分 252n?3104n?620．（本题满分14分）

如图，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，

AB?1,AD?2，?ADC?60,AF?1,M是线段EF的中点.

?（Ⅰ）求二面角A?FD?B的正弦值；

（Ⅱ）设点P为一动点，若点P从M出发，沿棱按照M?E?C的路线运动到点C，

求这一过程中形成的三棱锥P?BFD的体积的最小值.

【解析】(20) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基

础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转 化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识．满分14分． 解：（Ⅰ）法一：易求BD?7,BF?0E MFC BDA 2,DF?5,

由勾股定理知?BFD?90， 设点A在面BFD内的射影为O，过A作AG?DF于G，连结DO， 则?AGO为二面角A?FD?B的平面角. ??????3分

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在?ADF中由面积法易求AG?25，??????5分

3010由体积法求得点A到面BFD的距离是AO?所以sin?AGO?64，

，

64所以求二面角A?FD?B的大小正弦值为

法二：易求BD?7,BF?2,DF???????7分

05,由勾股定理知?BFD?90，

过A作AG?DF于G，又过G作GH//BF交BD于H，连结AH. 则易证?AGH为二面角A?FD?B的平面角………………2分

2. 在?ADF中由面积法易求AG?，

5DG44?， 从而DG?,于是DF55所以GH?425,BH?15BD?75，??????3分

27在?BAD中由余弦定理求得cos?ABD?1225.??????4分

再在?BAH中由余弦定理求得AH2?.??????5分

104最后在?AGH中由余弦定理求得cos?AGH?64，???6分

所以求二面角A?FD?B的大小正弦值为

??????7分

（Ⅱ）设AC与BD交于O，则OF//CM，??????8分

所以CM//平面FBD，??????9分

当P点在M或C时，三棱锥P—BFD的体积的最小. ???10分

(VP?BFD)min?VC?BFD?VF?BCD?113???2?1sin120?. ???14分 326

21．（本题满分15分）

AMB?2?， 已知点A(?1,?0)，B(1,0)，动点M的轨迹曲线C满足???????????2AM?BMcos??3，过点B的直线交曲线C于P、Q两点.

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??????????（Ⅰ）求AM?BM的值，并写出曲线C的方程；

（Ⅱ）求△APQ面积的最大值.

【解析】(21) 本题主要考查椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系等基础知识，

同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．

解：（Ⅰ）设M(x,y)，在△MAB中，AB?2，?AMB?2?，

???????????????????2?2根据余弦定理得A． ??12分 M?BM?2AM?BMcos2?4????????????????????2即(． AM?BM)?2AM?BM(1?cos2)4?????????????????????22． (AM?BM)?4AM?BMcos?4????????????????????22而A，所以(. M?BMcos??3AM?BM)???434??????????所以AM?BM?4． ??????4分 ??????????又A， M?BM?4?2?AB???因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆（点M在x轴上也符合题意）， a?2，c?1． 所以曲线C的方程为

x24?y23?1． ??????6分

（Ⅱ）设直线PQ的方程为x?my?1．

?x?my?1?222由?x2，消去x并整理得(. 3m?4)y?6my?9?0y??1?3?4 ①

显然方程①的??0，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)． 则S ???2y?y?y?y?APQ121221?y??由韦达定理得y12226m23m?4，y1y2??93m?422． ????9分

3m?3y?y)?(y?y)?4yy?48?所以(． ????11分 111222(3m?4)2222m?3，则t≥3，(y1?y2)?令t?348t??2t1． ??????12分

由于函数?(t)?t?所以t?1t≥1t在[3,??)上是增函数．

21033m?3?3，当t?，即m?0时取等号．

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所以(y1?y2)2≤48103?2?9，即y1?y2的最大值为3．

所以△APQ面积的最大值为3，此时直线PQ的方程为x?1．??15分

22．（本题满分15分）

设函数f(x)?a2x2（a?0），g(x)?blnx．

（Ⅰ）关于x的不等式(x?1)2?f(x)的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围； （Ⅱ）对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x，若存在常数k,m，使得

f(x)?kx?m和g(x)?kx?m都成立，则称直线y?kx?m为函数f(x)与

22“分界线”．设a?g(x)的b?e，，试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”？

若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

【解析】(22) 本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、导数应用，同时考查推

理论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识．满分15分． （Ⅰ）解法一：不等式(x?1)2?f(x)的解集中的整数恰有3个，

等价于(1?a)x?2x?1?0恰有三个整数解，故1?a?0， 令h(x)?(1?a)x?2x?1，由h(0)?1?0． 且h(1)??a?0(a?0)，

所以函数h(x)?(1?a)x?2x?1的一个零点在区间(0,1)， 则另一个零点一定在区间[?3,?2)， ??????4分

?h(?2)?0,?h(?3)?0,433222222222故?解之得?a?． ??????6分

222解法二：(1?a)x?2x?1?0恰有三个整数解，故1?a?0，即a?1，

(1?a)x?2x?1??(1?a)x?1??(1?a)x?1??0，

22第 16 页 共 23 页

所以

11?a?x?11?a11?a，又因为0?4311?a32?1， ????4分

所以?3???2，解之得

122?a?． ?????6分

（Ⅱ）设F(x)?f(x)?g(x)?exx?ex2x?elnx，则

F(x)?x?'??(x?e)(x?xe)．

e时，F'(x)?0．

所以当0?x?因此x?e时，F'(x)?0；当x?e时，F(x)取得最小值0，

e处有公共点(e,e2e2)． ??8分

e)，

则f(x)与g(x)的图象在x?设f(x)与g(x)存在 “分界线”，方程为y?即y?kx?e2?ke2e，

e在x?R恒成立，

?k(x?由f(x)?kx?2?k则x?2kx?e?2ke?0在x?R恒成立 ． 所以??4k2?4(2ke?e)?4k2?8ke?4e?4(k?因此k?e)?0

2e． ???11分

ex?e2(x?0)恒成立． e2下面证明g(x)?设G(x)?elnx?xe?，则G?(x)?ex?e?e(e?x)x．

所以当0?x?因此x?e时，G'(x)?0；当x?e时，G'(x)?0．

ex?e2(x?0)

e时G(x)取得最大值0，则f(x)?ex?e2故所求“分界线”方程为：y?

． ??????15分

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浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期高考仿真试题

数学(理科)试题答案及评分参考

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

五、未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分． 一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算．每小题5分, 满分50分．

(1) A (6) D

(2) D (3) B (4) C

(5) C

(7) A (8)C (9)D (10) C

二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算．每小题4分, 满分28分．

(11) i (12) ?3 (13)

1312 (14) 4 (17)

?2m?2(15) 26?b?27 (16) 2三、解答题：本大题共5小题，共72分．

37

(18)本题主要考查三角变换、正弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力．满分14分．

解：（Ⅰ）因为 f(x)?1?cosx?3sinx ????????1分

?1?2cos(x??3)， ????????2分

所以函数f(x)的周期为2?，值域为[?1,3]． ?????4分

（Ⅱ）因为 f(???3)?1311所以 1?2cos?=，即cos???． ???????5分

33，

因为

cos2?1?cos2??sin2??cos??sin?2cos??2sin?cos?222 ????8分

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?(cos??sin?)(cos??sin?)2cos?(cos??sin?)?cos??sin?2cos?，??????11分

又因为?为第二象限角， 所以 sin??223． ??????12分

所以原式?cos??sin?2cos???13??22323?1?222．????14分

(19) 本题主要考查等差数列通项、求和公式、数列前n项和与通项的关系等基础知

识，同时考查运算求解能力及抽象概括能力．满分14分． 解：（Ⅰ）?xn??52?(n?1)?(?1)??n?134??3n?5432，

32,?3n?54)．????4分

?yn?3xn?.?Pn(?n?（Ⅱ）?Cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn，

∴设Cn的方程为y?a(x?2n?32)?212n?54．

2把Dn(0,n?1)代入上式,得a?1，??????7分

Cn的方程为y?x?(2n?3)x?n?1.??????8分 ∴

kn?y?|x?0?2n?3, ∵

22∴1kn?1kn1?1?1(2n?1)(2n?3)11kn?1kn?1?12(2n?1)[1?1(2n?3)],??10分

∴k1k21k2k3?1??1

11257792n?12n?311111)??. ??????14分 =(?252n?3104n?6?[()?()???(?)]

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(20) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知

识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思 想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识．满分14分． 解：（Ⅰ）法一：易求BD?7,BF?2,DF?5,

由勾股定理知?BFD?900，

设点A在面BFD内的射影为O，过A作AG?DF于G，连结DO， 则?AGO为二面角A?FD?B的平面角. ??????3分

2在?ADF中由面积法易求AG?，??????5分

5由体积法求得点A到面BFD的距离是AO?所以sin?AGO?643010，

，

64所以求二面角A?FD?B的大小正弦值为

法二：易求BD?7,BF?2,DF???????7分

05,由勾股定理知?BFD?90，

过A作AG?DF于G，又过G作GH//BF交BD于H，连结AH. 则易证?AGH为二面角A?FD?B的平面角………………2分

2. 在?ADF中由面积法易求AG?，

5DG44?， 从而DG?,于是DF55所以GH?425,BH?15BD?75，??????3分

27在?BAD中由余弦定理求得cos?ABD?1225.??????4分

再在?BAH中由余弦定理求得AH2?.??????5分

104最后在?AGH中由余弦定理求得cos?AGH?64，???6分

所以求二面角A?FD?B的大小正弦值为

??????7分

（Ⅱ）设AC与BD交于O，则OF//CM，??????8分

所以CM//平面FBD，??????9分

当P点在M或C时，三棱锥P—BFD的体积的最小. ???10分

(VP?BFD)min?VC?BFD?VF?BCD?第 20 页 共 23 页

113???2?1sin120?.??14分 326

(21) 本题主要考查椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时

考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．

解：（Ⅰ）设M(x,y)，在△MAB中，AB?2，?AMB?2?，

???????????????????2?2根据余弦定理得A． ??12分 M?BM?2AM?BMcos2?4????????????????????2即(． AM?BM)?2AM?BM(1?cos2)4?????????????????????22． (AM?BM)?4AM?BMcos?4????????????????????22而A，所以(. M?BMcos??3AM?BM)???434??????????所以AM?BM?4． ??????4分 ??????????又A， M?BM?4?2?AB???因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆（点M在x轴上也符合题意）， a?2，c?1． 所以曲线C的方程为

x24?y23?1． ??????6分

（Ⅱ）设直线PQ的方程为x?my?1．

?x?my?1?222由?x2，消去x并整理得(. 3m?4)y?6my?9?0y??1?3?4 ①

显然方程①的??0，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)． 则S ???2y?y?y?y?APQ121221由韦达定理得y?y??12226m23m?4，y1y2??93m?422． ????9分

3m?3所以(． ????11分 y?y)?(y?y)?4yy?48?111222(3m?4)2222m?3，则t≥3，(y1?y2)?令t?348t??2t1． ??????12分

由于函数?(t)?t?所以t?1t≥1t在[3,??)上是增函数．

210323m?3?3，当t?，即m?0时取等号．

所以(y1?y2)≤48103?2?9，即y1?y2的最大值为3．

所以△APQ面积的最大值为3，此时直线PQ的方程为x?1．??15分

第 21 页 共 23 页

(22) 本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、导数应用，同时考查推理论证

能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识．满分15分． （Ⅰ）解法一：不等式(x?1)2?f(x)的解集中的整数恰有3个，

等价于(1?a2)x2?2x?1?0恰有三个整数解，故1?a2?0， 令h(x)?(1?a2)x2?2x?1，由h(0)?1?0． 且h(1)??a2?0(a?0)，

所以函数h(x)?(1?a2)x2?2x?1的一个零点在区间(0,1)， 则另一个零点一定在区间[?3,?2)， ??????4分

?h(?2)?0,?h(?3)?0,4332故?解之得?a?． ??????6分

解法二：(1?a2)x2?2x?1?0恰有三个整数解，故1?a2?0，即a?1，

(1?a)x?2x?1??(1?a)x?1??(1?a)x?1??0，

22所以

11?a?x?11?a11?a，又因为0?4311?a32?1， ????4分

所以?3???2，解之得

122?a?． ?????6分

（Ⅱ）设F(x)?f(x)?g(x)?exx?ex2x?elnx，则

F(x)?x?'??(x?e)(x?xe)．

所以当0?x?因此x?e时，F'(x)?0；当x?e时，F'(x)?0．

e时，F(x)取得最小值0，

e处有公共点(e,e2e2)． ??8分

e)，

则f(x)与g(x)的图象在x?设f(x)与g(x)存在 “分界线”，方程为y?即y?kx?e2?ke2e，

e在x?R恒成立，

?k(x?由f(x)?kx??k第 22 页 共 23 页

则x?2kx?e?2ke?0在x?R恒成立 ． 所以??4k2?4(2ke?e)?4k2?8ke?4e?4(k?因此k?2e)?0

2e． ???11分

ex?e2(x?0)恒成立． e2下面证明g(x)?设G(x)?elnx?xe?，则G?(x)?ex?e?e(e?x)x．

所以当0?x?因此x?e时，G'(x)?0；当x?e时，G'(x)?0．

ex?e2(x?0)

e时G(x)取得最大值0，则f(x)?ex?e2故所求“分界线”方程为：y?． ??????15分

第 23 页 共 23 页

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