2017届二轮复习 三角函数的图象与性质 专题卷（全国通用）

一、选择题

π

1．[2016·贵阳监测]下列函数中，以2为最小正周期的奇函数是( )

A．y＝sin2x＋cos2x C．y＝sin2xcos2x 答案 C

π??

解析 A中，y＝sin2x＋cos2x＝2sin?2x＋4?，为非奇非偶函数，

??π??

??4x＋故A错；B中，y＝sin2?＝cos4x，为偶函数，故B错；C中，y?1π

＝sin2xcos2x＝2sin4x，最小正周期为2且为奇函数，故C正确；D中，y＝sin22x－cos22x＝－cos4x ，为偶函数，故D错，选C.

π

2．[2016·唐山统考]将函数y＝3cos2x－sin2x的图象向右平移3个单位长度，所得图象对应的函数为g(x)，则g(x)＝( )

A．2sin2x π??

??2x－C．2cos6? ?答案 A

π??π??

???解析 因为y＝3cos2x－sin2x＝2sin3－2x＝－2sin2x－3?，将????π?π???π

????x－2其图象向右平移3个单位长度得到g(x)＝－2sin3?－3?＝－??2sin(2x－π)＝2sin2x的图象，所以选A.

π??

3．[2016·武昌调研]已知函数f(x)＝2sin?ωx＋6?－1(ω＞0)的图象向

??2π

右平移3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )

B．－2sin2x π????2x－D．2sin6? ?π???B．y＝sin4x＋2? ??D．y＝sin22x－cos22x

A．3 4C.3 答案 A

3B.2 2D.3 2π

解析 将f(x)的图象向右平移3个单位后得到图象的函数解析式2π?π???2ωππ??2ωπ

为2sin?ω?x－3?＋6?－1＝2sin?ωx－3＋6?－1，所以3＝2kπ，k∈

??????Z，所以ω＝3k，k∈Z，因为ω＞0，k∈Z，所以ω的最小值为3，故选A.

4．[2016·沈阳质检]某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是( )

3π??5

A．y＝sin?－6x＋5?

??3π??6??x＋C．y＝sin55? ?答案 C

解析 不妨令该函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)，由图知AT3ππ5π2π5π6π

＝1，4＝4－3＝12，于是ω＝3，即ω＝5，3是函数的图象递减时6π3π

经过的零点，于是5×3＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，所以φ可以是5，选C.

?π?3

?5．[2016·广州模拟]已知sinφ＝5，且φ∈2，π?，函数f(x)＝sin(ωx??

2π??6

B．y＝sin?5x－5?

??3π??5??x＋D．y＝－cos65? ?

?π?π

＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2，则f?4?的值为

??

( )

3A．－5 3C.5 答案 B

解析 由函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象的相邻两条对称轴之间的π?π???π

距离等于2，得到其最小正周期为π，所以ω＝2，f?4?＝sin?2×4＋φ?＝

????4

cosφ＝－1－sin2φ＝－5.

6．[2016·重庆测试]设x0为函数f(x)＝sinπx的零点，且满足|x0|＋1??

f?x0＋2?＜33，则这样的零点有( ) ??

A．61个 C．65个 答案 C

解析 依题意，由f(x0)＝sinπx0＝0得，πx0＝kπ，k∈Z，x0＝k，k1?1??π?????

???????∈Z.当k是奇数时，fx0＋2＝sinπk＋2＝sinkπ＋2?＝－1，|x0|＋????????1??

f?x0＋2?＝|k|－1＜33，|k|＜34，满足这样条件的奇数k共有34个；当??1?1??π?1??????

?????????k是偶数时，fx0＋2＝sinπk＋2＝sinkπ＋2＝1，|x0|＋fx0＋2?＝|k|??????????＋1＜33，|k|＜32，满足这样条件的偶数k共有31个．综上所述，满足题意的零点共有34＋31＝65个，选C.

二、填空题

π??

?7．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R)ω>0，|φ|<2?的部分图象如图所示，??

?ππ?

如果x1，x2∈?－6，3?，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________.

?

?

4B．－5 4D.5 B．63个 D．67个

3

答案 2

ππ－6＋3

Tπ?π?π

解析 由图可知，2＝3－?－6?＝2，则T＝π，ω＝2，又∵2

??

?π?π

＝12，∴f(x)的图象过点?12，1?，

??

ππ????π

即sin?2×12＋φ?＝1，得φ＝3，∴f(x)＝sin?2x＋3?.

????

ππ??π??πππ2π

????2×＋而x1＋x2＝－6＋3＝6，∴f(x1＋x2)＝f6＝sin63?＝sin3＝???3

2. π??

8．[2016·贵阳监测]为得到函数y＝sin?x＋3?的图象，可将函数y

?

?

＝sinx的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n个单位长度(m，n均为正数)，则|m－n|的最小值是________．

2π答案 3

ππ

解析 由题意可知，m＝3＋2k1π，k1为非负整数，n＝－3＋2k2π，

?2π?

k2为正整数，∴|m－n|＝?3＋2?k1－k2?π?，∴当k1＝k2时，|m－n|min

?

?

2π＝3. π????ωx＋9．[2014·湖南岳阳质检]已知函数f(x)＝sin4?的图象向左平?

π??π

移6个单位后与函数g(x)＝sin?ωx＋6?的图象重合，则正数ω的最小值

??为________．

23

答案 2

π??π

解析 将f(x)＝sin?ωx＋4?的图象向左平移6个单位后，得到函数

??π?π?π?π?????

????＋?的图象与g(x)???x＋x＋＋4的图象．又f1(x)＝sinωf1(x)＝sinω66????4????π??πππ

＝sin?ωx＋6?的图象重合，故ωx＋6ω＋4＝2kπ＋ωx＋6，k∈Z.所以ω

?

?

11

＝12k－2(k∈Z)．又ω＞0，故当k＝1时，ω取得最小值，为12－2＝232.

三、解答题

10．[2014·山东高考]已知向量a＝(m，cos2x)，b＝(sin2x，n)，函

?π??2π?数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点?12，3?和点?3，－2?.

?

?

?

?

(1)求m，n的值；

(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．

解 (1)由题意知f(x)＝a·b＝msin2x＋ncos2x.

?π??2π?

因为y＝f(x)的图象过点?12，3?和?3，－2?，

????

ππ??3＝msin6＋ncos6，

所以?4π4π

?－2＝msin＋ncos?33，

?即?31?－2＝－2m－2n，

(2)由(1)知

133＝2m＋2n，

??m＝3，解得?

??n＝1.

π????2x＋f(x)＝3sin2x＋cos2x＝2sin6?. ?π??

由题意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin?2x＋2φ＋6?.

??设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2)， 由题意知x20＋1＝1，所以x0＝0， 即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． π??

将其代入y＝g(x)得sin?2φ＋6?＝1，

??π

因为0＜φ＜π，所以φ＝6， π??

因此g(x)＝2sin?2x＋2?＝2cos2x.

??

π

由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－2≤x≤kπ，k∈Z， π??

所以函数y＝g(x)的单调递增区间为?kπ－2，kπ?，k∈Z.

??

1

11．[2016·天津五区县调考]已知函数f(x)＝3sinxcosx－cos2x＋2(x∈R)．

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)函数f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右π

平移6个单位长度，得到g(x)的图象，求函数y＝g(x)在x∈[0，π]上的最大值及最小值．

131

解 (1)f(x)＝3sinxcosx－cos2x＋2＝2sin2x－2cos2x＝π??

sin?2x－6? ??

πππππ

由2kπ－2≤2x－6≤2kπ＋2得kπ－6≤x≤kπ＋3(k∈Z)， ππ??

所以函数f(x)的单调递增区间为?kπ－6，kπ＋3?(k∈Z)．

?

?

(2)函数f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右π??π

?平移6个单位，得g(x)＝sinx－3?， ??

π?π2π?

因为x∈[0，π]得：x－3∈?－3，3?，

?

?

π???3?

所以sin?x－3?∈?－，1?

2????

π??3

??所以当x＝0时，g(x)＝sinx－3有最小值－2， ??π??5π

??x－当x＝6时，g(x)＝sin3?有最大值1. ?

1

12．[2016·福建质检]已知函数f(x)＝sinxcosx＋2cos2x. (1)若tanθ＝2，求f(θ)的值；

(2)若函数y＝g(x)的图象是由函数y＝f(x)的图象上所有的点向右π

平移4个单位长度而得到，且g(x)在区间(0，m)内是单调函数，求实数m的最大值．

解 (1)因为tanθ＝2，

11

所以f(θ)＝sinθcosθ＋2cos2θ＝sinθcosθ＋2(2cos2θ－1)＝sinθcosθ

2

sinθcosθ＋cosθ1tanθ＋11112

＋cosθ－2＝－2＝2－＝.

sin2θ＋cos2θtanθ＋1210

112π

( (2)由已知得f(x)＝2sin2x＋2cos2x＝2sin2x＋4 ). 2??π?π?

依题意，得g(x)＝2sin?2?x－4?＋4?，

????π?2?

即g(x)＝2sin?2x－4?.

??

π?π?π

因为x∈(0，m)，所以2x－4∈?－4，2m－4?.

??

ππ3π

又因为g(x)在区间(0，m)内是单调函数，所以2m－4≤2，即m≤8，3π故实数m的最大值为8.

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