拉普拉斯变换

拉普拉斯变换

基本要求

拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。

知识要点

1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换

??[f(t)]?F(s)??f(t)edt

0??st逆变换

?[F(s)?]ft(?)2?j???j?1??j?Fse(ds)

st双边拉普拉斯变换： 正变换

FB(s)??f(t)?1???f(t)edt

?st逆变换

2?j???j???j?FB(s)eds

?0则f(t)e??tst（2） 定义域 若???0时，limf(t)et????t在?积分???0的全部范围内收敛，

??0?f(t)edt?st存在，即f(t)的拉普拉斯变换存在。?数f(t)的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若

??0就是f(t)的单边拉普拉斯变换的收敛域。?0与函

?[f1(t)]?F1(S),

?[f2(t)]?F2(S),

?1,

?2为常数时，则

?[?1f1(t)??2f2(t)]??1F1(s)??2F2(s)

（2） 原函数微分 若?[f(t)]?F(s)则?[df(t)]?sF(s)?f(0?) dtn?1dnf(t)n?[]?sF(s)??sn?r?1f(r)(0?) ndtr?0式中

f(r)drf(t)在0?时刻的取值。 (0?)是r阶导数

dtr 1

（3） 原函数积分 若?[f(t)]?F(s)，则?[?t??0F(s)f(?1)(0?)(?1)f(t)dt]??式中f(0?)??f(t)dt

??ss（4） 延时性 若?[f(t)]?F(s)，则?[f(t?t0)u(t?t0)]?e?st0F(s)

（5） s域平移 若?[f(t)]?F(s)，则?[f(t)e?at]?F(s?a)

1sF()（a?0） aas??（6） 尺度变换 若?[f(t)]?F(s)，则?[f(at)]?t?o?（7） 初值定理limf(t)?f(0?)?limsF(s) （8） 终值定理limf(t)?limsF(s)

t???s??（9） 卷积定理

若?[f1(t)]?F1(s)，?[f2(t)]?F2(s)，则有?[f1(t)?f2(t)]?F1(s)F2(s)

?[f1(t)f2(t)]?12?j[F1(s)?F2(s)]=

2?j??1??j??j?F1(p)F2(s?p)dp

3. 拉普拉斯逆变换 （1） 部分分式展开法 首先应用海维赛展开定理将F叠加起来即得到原函数（2）留数法

留数法是将拉普拉斯逆变换的积分运算转化为求被积函数F(s)e在围线中所有极点的留数运算，即?(?1)(s)展开成部分分式，然后将各部分分式逐项进行逆变换，最后

f(t)。

st[F(s)]?2?j???j?1??j?F(s)estds?12?j?cF(s)estds??[F(s)est的留数]

极点stn若

pi为一阶级点，则在极点s?pi处的留数ri?[(s?pi)F(s)e]?Xi2i?1s?pi

1dk?1若pi为k阶级点，则ri?[k?1(s?pi)kF(s)est](k?1)!ds4. 系统函数（网络函数）H（s） （1） 定义

s?pi

系统零状态响应的拉普拉斯变换与激励的拉普拉斯变换之比称为系统函数，即

2

H(s)?Rzs(s)冲激响应h(t)与系统函数H(s)构成变换对，即H(s)??[h(t)]系统的频率响E(s)s?jw应特性H(jw)?H(s)应特性。

（2） 零极点分布图

?H(jw)ej?(w)式中，H(jw)是幅频响应特性，?(w)是相频响

H(s)?零点；

N(s)K(s?z1)(s?z2)(s?zm) 式中，?是系数；z1，z2，?D(s)(s?p1)(s?p2)(s?pn)，

zm为H(s)的

p1，p2，pn为H(s)的极点。在s平面上，用“

”表示零点，“?”表示极

点。将H(s)的全部零点和极点画在s平面上得到的图称为系统的零极点分布图。对于实系统函数而言，其零极点要么位于实轴上，要么关于实轴成镜像对称分布。

（3） 全通函数

如果一个系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，而且零点与极点对于jw轴互为镜像，那么这种系统函数称为全通函数，此系统则为全通系统或全通网络。全通网络函数的幅频特性是常数。

（4） 最小相移函数

如果系统函数的全部极点和零点均位于s平面的左半平面或jw轴，则称这种函数为最小相移函数。具有这种网络函数的系统为最小相移网络。 （5） 系统函数H(s)的求解方法

错误！未找到引用源。由冲激响应h(t)求得，即H(s)??[h(t)]。

错误！未找到引用源。对系统的微分方程进行零状态条件下的拉普拉斯变换，然后由

H(s)?Rzs(s)获得。 E(s)错误！未找到引用源。根据s域电路模型，求得零状态响应的像函数与激励的像函数之比，即为

H(s)。

5. 系统的稳定性

若系统对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则此系统为稳定系统。 （1）稳定系统的时域判决条件用源。

若系统是因果的，则错误！未找到引用源。式可改写为（2） 对于因果系统，其稳定性的s域判决条件

错误！未找到引用源。若系统函数H(s)的全部极点落于s左半平面，则该系统稳定； 错误！未找到引用源。若系统函数H(s)有极点落于s右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极

3

?????h(t)dt?M（充要条件） 错误！未找到引

???0h(t)dt?M

点，则该系统不稳定；

错误！未找到引用源。若系统函数H(s)没有极点落于s右半平面，但在虚轴上有一阶极点，则该系统临界稳定。

内容摘要

拉氏变换的定义和收敛域

一.拉普拉斯

典型信号的拉氏变换

部分分式展开法

二．单边拉氏变换逆变换的求法

围线积分法

三．拉氏变换的基本性质 四．用拉普拉斯变换法分析电路

系统函数的定义 五．系统函数

由零极点的决定系统的时域特性 由零极点的分析系统的稳定性 由零极点的分析系统的频响特性 例1

求下列函数的拉氏变换 分析

拉氏变换有单边和双边拉氏变换,为了区别起见,本书以F?s?表示表示

f?t??tu?t?1?

f?t?单边拉氏变换,以 FB?s?f?t?双边拉氏变换。若文字中未作说明,则指单边拉氏变换。单边拉氏变换只研究t?0的

时间函数,因此,它和傅里叶变换之间有一些差异,例如在时移定理,微分定理和初值定理等方面。本例只讨论时移定理。请注意本例各函数间的差异和时移定理的正确应用。 解答

?11?F?s??L?tu?t?1???L??t?1?u?t?1??u?t?1????2??e?s

s??s例2

4

求三角脉冲函数f(t)如图4-2（a）所示的象函数

0?t?1?t f?t???2?t 1?t?2? ?0 其他? 分析

f?t?1o12t和傅里叶变换类似，求拉氏变换的时，往往要借助基本信号的拉氏变换和拉氏变换的性质，这比按拉氏变换的定义式积分简单，为比较起见，本例用多种方法求解。 解答

方法一：按定义式求解

方法二：利用线性叠加和时移性质求解 方法三：利用微分性质求解 方法四：利用卷积性质求解

方法一：按定义式求解

方法二：利用线性叠加和时移性质求解 由于 于是

?st F?s???f?t?edt0?1???tedt???2?t?e?stdt?st0?11112?1??t??e?st???e?stdt?2?e?stdt??te?stdt0?1?s?0?0?s121112221??e?s?2e?s?2?e?2s?e?s?e?2s?2e?ssssssss21?21?e?ss??f?t??tu?t??2?t?1?u?t?1???t?2?u?t?2?1s2L?f?t?t0???F?s?e?st0L?tu?t???F?s??1?s?2s1?2e?es221?21?e?ss????方法三：利用微分性质求解

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