时间序列分析在四川省GDP中的应用

题 目：时间序列分析在四川省姓 名：杨杰学 号：完成日期：四川理工学院

统计学专业

学年论文

GDP预测中的应用

11071050122 2014年8月20日

目 录

摘 要 ................................................................................................................... 1 第1章 研究意义及内容 ..................................................................................... 2

1.1 研究意义 ..................................................................................................................... 2 1.2 本文主要内容 ............................................................................................................. 2

第2章 时间序列分析理论 ................................................................................. 2

2.1 时间序列分析预处理 ................................................................................................. 2

2.1.1 平稳性检验 ........................................................................................................ 2 2.1.2 纯随机性检验 .................................................................................................... 3 2.1.3 单位根检验 ........................................................................................................ 4 2.1.4 BIC准则定阶 ................................................................................................... 5 2.2 基本方法和模型 ......................................................................................................... 5

2.2.1 指数平滑法 ........................................................................................................ 5 2.2.2 差分运算 ............................................................................................................ 5 2.2.3 ARMA模型 ...................................................................................................... 6 2.2.4 ARIMA模型 ..................................................................................................... 8 2.3 ARIMA模型建模步骤 ................................................................................................ 9

2.3.1 数据的平稳性检验 ............................................................................................ 9

2.3.2 对差分后的序列进行ARMA(p,q)拟合 ....................................................... 10 2.3.3 参数检验 ........................................................................................................ 10 2.3.4 模型检验 ........................................................................................................ 10 2.3.5 模型预测 ........................................................................................................ 11

第3章 实证分析 ............................................................................................... 11

3.1 确定性分析--指数平滑法 ........................................................................................ 12 3.2 随机性分析 ................................................................................................................ 14 3.3 差分后ARIMA模型拟合法 ...................................................................................... 16

3.3.1 对数据进行平稳性处理 ................................................................................ 16

3.3.2 ARMA(p,q)模型的建立和检验 ................................................................... 17

第4章 结语 ....................................................................................................... 20 参考文献 ............................................................................................................. 20

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摘 要

国内生产总值(GDP)是衡量一个国家综合国力的重要指标。国内生产总值(GDP)是指在一定时期内（一季度或一年），一个国家或者地区的经济中所产生的最终产品和劳务价值，常被公认为衡量国家经济状况的最佳指标。这个指标把国民经济全部经济活动的产出成果概括在一个极为简明的统计数字之中,为评价和衡量国家经济状况、经济增长趋势及社会财富的经济表现提供了一个最为综合的尺度,可以说,它是影响经济生活乃至社会生活的最重要的经济指标。对其进行的分析预测具有重要的理论与现实意义。

而一个国家的国内生产总值又是由各省生产总值所构成的,因此研究各省生产总值对研究国内生产总值以及各省乃至全国经济都起着重要作用。

时间序列是指同一种现象在不同时间上的相继观察值排列而成的一组数字序列。时间序列预测方法则是通过时间序列的历史数据揭示现象随时间变化的规律,将这种规律延伸到未来,从而对该现象的未来做出预测。传统的时间序列分析方法在经济中的应用,主要是确定性的时间序列分析方法,包括指数平滑法、移动平均法、时间序列的分解等等。随着社会的发展,许多不确定因素在经济生活中的影响越来越大,必须引起人们的重视。1970年,Box和Jenkins提出了以随机理论为基础的时间序列分析方法,使时间序列分析理论上升到了一个新的高度,预测的精度大大提高。时间序列分析的基本模型有:ARMA模型和ARIMA模型。

本文基于时间序列理论,以四川省年1978至2005年28年来省内生产总值为基础,利用SPSS和Eviews软件对数据进行时间序列分析,建立时间序列模型,并对模型进行检验,综合各种条件最终确定较适合模型。

关键词：时间序列;GDP;指数平滑法;ARMA模型;ARIMA模型

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第1章 研究意义及内容

1.1 研究意义

国内生产总值(GDP)是指一个国家或地区所有常住单位在一定时期内生产活动的最终成果。这个指标把国民经济全部活动的产出成果概括在一个极为简明的统计数字之中,为评价和衡量国家经济状况、经济增长趋势及社会财富的经济表现提供了一个最为综合的尺度,可以说,它是影响经济生活乃至社会生活的最重要的经济指标。对其进行的分析预测具有重要的理论与现实意义。

而一个国家的国内生产总值又是由各省生产总值所构成的,因此研究各省生产总值对研究国内生产总值以及各省乃至全国经济都起着重要作用。

本文以四川省为例,利用时间序列分析方法,建立四川GDP时间序列模型,分析经济增长的内在特征。并对未来十年吉林经济发展做出预测,为政府制定经济发展战略提供依据。

1.2 本文主要内容

从《四川统计年鉴2012》及《中国统计年鉴2012》中选取四川省共28年的生产总值GDP作为数据,运用时间序列分析的两种基本的分析方法确定性时序分析和随机时序分析及软件对其进行分析、预测。

第2章 时间序列分析理论

2.1 时间序列分析预处理

2.1.1 平稳性检验

平稳性是某些时间序列具有的一种统计特征。对于平稳的序列我们就可以运用已知的时间序列模型对其进行分析预测。因此对数据进行平稳性检验是时间序列分析法的关键步骤。平稳时间序列有两种定义,根据限制条件的严格程度,分为严平稳时间序列和宽平稳时间序列。

对序列的平稳性有两种检验方法,一种是根据时序图和自相关图显示的特征做出判

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断的图检验方法;一种是构造检验统计量进行假设检验的方法。通常我们都选用图检验方法检验序列平稳性并用单位根统计检验法加以辅助。

2.1.2 纯随机性检验

纯随机性检验也称白噪声检验,是专门用来检验序列是否为纯随机序列的一种方法。我们知道如果一个序列是纯随机性序列,那么它的序列值之间应该没有任何相关关系,即满足

?(k)?0,?k?0，

但由于观察序列的有限性,导致纯随机序列的样本自相关系数不会绝对为零。因此,当某序列的自相关系数在零值附近时,可考虑它是纯随机性序列。

根据Barlett定理,我们可以构造检验统计量来检验序列的纯随机性: （1）假设条件

原假设：延迟期数小于或等于m期的序列值之间相互独立 H0:?1??2????m?0，?m?1

备择假设:延迟期数小于或等于m期的序列值之间有相关性 H1:至少存在某一?k个?0，?m?1,k?m （2）检验统计量

Q统计量

m?2 Q?n??k~?2(m)

k?1LB统计量

LB?n(n?2)?(k?1m?k2n?k?)~?2(m)

判别原则：

拒绝原假设,当检验统计量大于?12??(m)分位点,或该统计量的P值小于?时,则可以以的置信水平1??拒绝原假设,认为该序列为非白噪声序列；

接受原假设,当检验统计量小于?12??(m)分位点,或该统计量的P值大于?时,则

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认为在的置信水平1??下无法拒绝原假设,即不能显著拒绝序列为纯随机序列的假定。

2.1.3 单位根检验

定义: 通过检验特征根是在单位圆内还是单位圆上(外),来检验序列的平稳性。 DF检验只适用于AR(1)过程的平稳性检验，为了使检验适用于AR(p)过程的平稳性检验，人们对检验进行了一定的修正,得到增广检验(AugmentedDickey?Fuller）简称ADF检验。若AR(p)序列有单位根存在,则自回归系数之和恰好等于1。

?p??1?p?1????p?0 ?1??1????p?0??1????p?1??1

等价假设为

H0：??0?H1：??0其中：???1??2???p?1

检验统计量 ???S(?)??

ADF检验的三种类型：

第一种类型：无常数均值、无趋势的p阶自回归过程 xt??1xt?1???pxt?p??t

第二种类型：有常数均值、无趋势的p阶自回归过程 xt????1xt?1???pxt?p??t

第三种类型：既有常数均值、又有线性趋势的p阶自回归过程

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xt????t??1xt?1???pxt?p??t

2.1.4 BIC准则定阶

设{Xt,1?t?N}为一随机序列,对ARMA(p,q)模型,?是拟合残差方差,如果已知

?2p的上界P0和q的上界Q0,对于每一对（k,j）,0?k?P0,0?q?Q0,定义准则函数如下所示：

2? BIC(k,j)?ln(?(k,j))?(k?j)lnN， N BIC(k,i)的最小值点(p0,q0)成为BIC的定阶。

2.2 基本方法和模型

2.2.1 指数平滑法

指数平滑法是布朗(RobertG..Brown)所提出,布朗认为时间序列的态势具有稳定性和规则性,所以时间序列可被合理地顺势推延；他认为最近的过去趋势,在某种程度上会持续到最近的未来,所以将较大的权数放在最近的资料。

指数平滑法通过计算指数平滑值,配合一定的时间序列预测模型对现象的未来进行预测。其原理是任一期的指数平滑值都是本期实际观测值与前一期指数平滑值的加权平均。

指数平滑法的基本公式是：St?ayt?(1?a)St?1

St??时间t的平滑值yt??时间t的实际值St?1??时间t?1的实际值a??平滑常数，其取值范围为[0,1]

2.2.2 差分运算

几种差分介绍：

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一阶差分

?xt?xt?xt?1

p阶差分

?pxt??p?1xt??p?1xt?1

k步差分

?xt?xt?xt?k

差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法,Cramer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息。

差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息:

i ?xt?(1?B)xt??(?1)tCdxt?1

ddi?0d差分方式的选择：

序列蕴含着显著的线性趋势,一阶差分就可以实现趋势平稳。

序列蕴含着曲线趋势,通常低阶(二阶或三阶)差分就可以提取出曲线趋势的影响。对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算,通常可以较好地提取周期信息。

2.2.3 ARMA模型

ARMA模型的全称是自回归移动平均模型，它是目前最常用的拟合平稳序列的模

型。它可细分为AR模型、MA模型和ARMA模型三大类。

(1)AR模型

具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，简记为AR(p)：

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?xt??0??1xt?1??2xt?2????pxt?p??t???p?0 ?

2?E(?t)?0，Var(?t)???,E(?t?s)?0,s?t?E(x?)?0,?s?tst?特别当?0?0时，称为中心化AR(p)模型。同时，非中心化AR(p)模型也可以通过以下方式来转换为中心化AR(p)模型：

???01??1??2????pyt?xt??

我们称序列{yt}为序列?xt?的中心化序列。 引进滞后算子，中心化AR(p)模型简写为：

其中，?(B)?1??1B??2B????pB,称为p阶自回归系数多项式。2p?(B)xt??t（2）MA模型

具有如下结构的模型称为q移动平均模型，简记为MA(q)：

?xt????t??1?t?1??2?t?2????q?t?q? ??q?0

?2?E(?t)?0,Var(?t)???,E(?t?s)?0,s?t当??0时，模型称为中心化MA(q)模型。同时，非中心化MA(q)模型只需要做一个简单的位移yt?xt??，就可以转化为中心化MA(q)模型。

引进滞后算子，中心化MA(q)模型简写为：

其中，?(B)?1??1B??2B????qB,称为q阶移动平均系数多项式。2qxt??(B)?t（3）ARMA模型

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具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为ARMA(p,q)：

?xt??0??1xt?1??2xt?2????pxt?p??t??1?t?1???q?t?q???p?0,?q?0 ?

2?E(?t)?0，Var(?t)???,E(?t?s)?0,s?t?E(x?)?0,?s?tst?特别当?0?0时，称为中心化ARMA(p,q)模型。 引进滞后算子，中心化ARMA(p,q)模型简写为：

?(B)xt??(B)?t其中，?(B)?1??1B??2B2????pBp,称为p阶自回归系数多项式

?(B)?1??1B??2B2????qBq,称为q阶移动平均系数多项式

ARMA(p,q)模型的相关特性总结：

模型 自相关系数 拖尾 偏相关系数 AR(p)模型 p阶截尾 拖尾 MA(q)模型 q阶截尾 拖尾 ARMA(p,q)模型 拖尾 2.2.4 ARIMA模型

具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为ARIMA(p,d,q)：

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可见指数平滑法的初步预测结果是很粗糙的。

3.2 随机性分析

首先对数据进行平稳性与随机性检验，绘制如下时序图：

图2 原始GDP数据时序图

从图中可以看出GDP具有很明显的上升趋势。

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图3 原始GDP数据自相关图

图4 原始GDP数据单位根检验

在单位根检验结果中ADF统计量的值为1.449562，明显大于在1%、5%、10%三个检验水平下的DW临界值，并结合自相关图我们可以知道原始数据时非平稳的。为了能够对序列进行分析,要使其平稳化。故将选择两种方法,即差分法及取对数法分别对序列进

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行平稳化处理,从而进一步分析预测。

3.3 差分后ARIMA模型拟合法

3.3.1 对数据进行平稳性处理

由差分的选择我们可以知道序列蕴含着曲线趋势,通常低阶(二阶或三阶)差分就可以提取出曲线趋势的影响,我们对原始数据进行一、二阶差分,并验证其平稳性。时序图如下:

图5 一阶差分时序图

图6 二阶差分时序图

从一阶和二阶差分时序图中可以看出当二阶差分后，数据大致平稳，但是我们不能由此下论，接着做单位根检验得到如下结果：

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图7 二阶差分后数据单位根检验

从检验结果来看在1%水平下表现不平稳，因此不考虑用二阶差分后的数据进行拟合，进一步做三阶差分并进行单位根检验结果如下：

图8 三阶差分后数据单位根检验

明显看出，此时数据平稳，所以，我们认为ARIMA(p,d,q)模型的差分阶数等于3。

3.3.2 ARMA(p,q)模型的建立和检验

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ARMA(p,q)模型的识别与定阶可以通过样本的自相关与偏自相关函数的观察获

得。对三阶差分后的数据做自相关和偏相关分析得到结果如下：

图 9三阶差分数据的自偏相关图

A,1)模型，模型拟合估计结果如下：由图我们可以尝试拟合ARM(1

可以看到模型拟合效果很显著，即可以将模型表示为：

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1?1.140841B(1?B)xt?104.7970??t

1?1.576518B3对于得到的模型拟合结果还要做残差序列检验,结果如下:

(1,3,1)模型拟合正确。 从上图中可以知道残差序列为白噪声序列，即ARIMA3.3.3 ARIMA(1,3,1)模型预测

我们利用此模型对四川省GDP三阶差分值进行预测结果如下:

表三 2006-2007三阶差分预测

年份 2006 2007

表四 2006-2007预测值与实际值对比

年份 2006 预测值（亿元） 7721.86 实际值（亿元） 7385.1 相对误差 4.56% Forecast -1.04317 0.911468 STD 43.56642 46.70333 L95 84.34544 -90.6254 U95 86.4318 92.44832 19

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2007 9126.49 8690.24 5.02% 第4章 结语

本文主要通过对时间序列分析的理论阐述和结合四川省1978-2005年的国内生产总值GDP数据进行分析，简单的介绍了指数平滑法和ARIMA模型的拟合，通过将预测值和实际值的对比可以看到，利用拟合的ARIMA模型进行预测的结果明显要优于指数平滑法，但是，与此同时很显然的是两者的误差范围都比较大，如果直接用于实际的预测的话可能会得不到很好的结果。

这是因为我们在做差分的过程中由于次数过多导致的，因此，我们还可以尝试采取取对数等方法对数据进行处理,从而减少差分的次数,以取得较为理想的预测结果。此处不加以详述，以作为我自己的兴趣探讨。

参考文献

[1] 王燕. 时间序列分析（第三版）. 北京：中国人民大学出版社，2013. [2] 史代敏、谢小燕.应用时间序列分析.北京：高等教育出版社，2011.

[3] 张文彤、董伟.SPSS统计分析高级教程（第二版）. 北京：高等教育出版社，2013. [4] 《四川省统计年鉴2012》.中国统计出版社, 2013.

[5] 俞会新.中国人均的时间序列模型的建立与分析[J].河北工业大学学报, 2000. [6] 《新中国五十五年统计资料汇编》.中国统计出版社.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ir37.html