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小车倒立摆系统文献综述

（该文的设计题目是“小车倒立摆的控制器设计”） 1 前言

倒立摆是处于倒置不稳定的状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。一般是由一个可以在水平轨道上自由移动的小车和倒置摆铰链而成。倒立摆的种类很多，目前研究的多为平面内摆动的摆，可粗略分单级、二级至多级倒立摆；按摆放位置分为水平轨道式和倾斜轨道式倒立摆；按控制电机可分为单电机和多电机倒立摆；据研究的目的和方法不同，又有悬挂式倒立摆、球平衡系统和平行式倒立摆。

倒立摆系统在控制系统研究中受到普遍重视。“倒立摆系统”已经被公认为自动控制理论中的典型试验设备，也是控制理论在教学和科研中不可多得的典型物理模型。倒立摆本身是一个自然不稳定体，在控制过程中能够有效地反映控制中许多关键问题，如稳定问题、非线性问题、鲁棒性问题、随动问题以及跟踪问题等都可以用倒立摆为例加以研究，通过对倒立摆系统的研究，不仅可以解决控制中的理论和技术实现问题，还能将控制理论所涉及的三个基础学科：力学、数学和电学（含计算机）有机的结合起来，在倒立摆系统进行综合应用。

倒立摆的研究不仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。在多种控制理论与方法的研究和应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的试验问题，控制理论在当前的工程技术界，主要是如何面向工程实际、面向工程应用问题。一项工程的实施也存在一种可行性的试验问题，用一套较好的、较完备的试验设备，将其理论及方法进行有效的检验，倒立摆可为此提供一个从控制理论通往实践的桥梁。在教学过程中，不但使学生具有扎实的理论基础，还应掌握如何把理论知识应用到一个复杂的实际系统中，进一步达到提高教学质量的目的。由于倒立摆系统与火箭飞行和双足机器人的行走有很大的相似性，因此倒立摆的研究对于火箭飞行以及机器人的控制等现代高科技术的研究具有重要的实践意义。目前对倒立摆系统的研究已经引起国内外学者的广泛关注，是控制领域研究的热门课题之一。 2 控制理论在倒立摆系统中的应用 2.1 传统控制方法在倒立摆控制中的应用

经典控制和现代控制理论的主要特征是基于模型的控制。经典控制理论主要采用传递函数、频率特性、根轨迹为基础的频域分析方法，能够很好地解决单输入单输出问题。所研究的系统多半是线性定常系统，对非线性系统，分析时采用的相平面法一般也不超过两个变量。现代控制理论采用状态空间法，把经典控制理论中的高阶常微分方程转化为一阶微分方程组，用以描述系统的动态过程。这种方法可以解决多输入多输出问题，系统既可以是线性的、定常的，也可以是非线性的、时变的。 2.1.1 经典控制理论

单级倒立摆系统的控制对象是一个单输入(力或加速度)和两个输出(角度和位移) 的非最小相位系统。它提供了用经典控制理论解决单输入多输出系统的控制方法。文献[1]-[2]中根据对系统的力学分析，应用牛顿第二定律，建立小车在水平方向运动和摆杆旋转运动的方程，并进行线性化，拉氏变换，得出传递函数，从而得到零、极点分布情况。根据使闭环系统能稳定工作的思想设计控制器。为此，需引入适当的反馈，使闭环系统特征方程的根都位于左

平面上。用经典控制理论的频域法设计非最小相位系统的控制器并不需要十分精确的对象数学模型。因为只要控制器使系统具有充分大的相位裕量，就能获得系统参数很宽范围内的稳定性。

2.1.2 现代控制理论

与经典控制理论相比，现代控制理论有较强的系统性，从分析到设计、综合都有比较完整的理论和方法。据目前国内外已有资料来看，已有用现代控制理论方法解决倒立摆平衡问题的记载[3-7]。文献[7]中是用状态反馈理论控制二级倒立摆的。文献[8]介绍对该系统进行控制时，三种数字控制器的设计方法，即:连续系统极点配置法、连续系统二次型性能指标法和离散系统二次型性能指标法。现仍以二级倒立摆为例，简述应用最优状态调节器理论和状态观测器理论的控制思想[9]~[11]。控制器采用了线性定常状态反馈和降阶观测器的结构。控制对象(小车、上摆、下摆) 分别由传感器检测出三个位置量y1,y2,y3。这三个位置量由观测器重构状态得

?1,y?2,y?3。到三个速度(角速度) 量y 三个位置量和三个速度(角速度) 量由控制器进行状态反

馈，组成一个闭环系统，达到使不稳定系统变为稳定系统，使系统的瞬态和静态性能良好的目的1 根据最优状态调节器理论，对于系统:

??Ax?Bu x?使性能指标 J?(xQx?uRu)dt 0?TT取最小的控制规律为 u?Kx

u??R?1BTP

在控制设计中应用最优状态调节器理论的关键在于由分析和实验找到能使系统稳定工作的“初始”控制，再根据对闭环系统的性能要求，调整二次性能指标中的加权矩阵Q 、R 来达到。

2.2 人工智能控制方法在倒立摆控制中的应用

随着科学技术的发展，被控对象日趋复杂，对控制性能的要求不断提高，使传统控制理论面临新的挑战。众所周知，被控对象愈复杂，数学模型愈难精确。加上系统本身的非线性以及某些不确定性，使针对线性化模型进行控制系统设计的各种理论对解决这些复杂系统无能为力。在这样复杂对象的控制问题面前，把人工智能的方法引入控制系统，得到新的控制上的突破。相应的模糊智能控制和神经网络控制是智能控制的重要方面。它们在倒立摆系统的控制上也起到了很大的作用。 2.2.1 模糊逻辑控制

模糊逻辑控制是采用模糊化、模糊推理、解模糊等运算的模糊控制方法。其主要工作是模糊控制器的设计[12]~[15]。现以倒立摆控制来简单说明模糊控制器设计的一般方法[13]。以摆杆的倾角和速度作为输入变量。可以将倾角描述成:向左倾角大、中、小、垂直、向右倾角小、中、大。速度描述成:倒得非常快、快、慢、静止、升得慢、快、非常快。它们都可以用模糊语言变量NB、NM、NS、ZE、PS、PM、PB 来表示。用类似的模糊集合可以对控制小车运动的输出进行定义。接着定义某些隶属函数，用来确定属于这些隶属函数的隶属度。最常用的是三

角函数，也可以用梯形或钟形函数。这个安排隶属度的过程就是对变量实现模糊化的过程。接着是建立一系列的模糊规则，要用这些规则来描述各种输入所产生的作用。例如可以建立如下一些规则:

如果摆杆向左倾斜大并倒的非常快，那么向左作快运动； 如果摆杆向左倾斜大并升的慢，那么向左作慢运动； 如果摆杆向左倾斜小并倒的快，那么向左作中等运动； ??

最后，模糊输出被分解成能够用于对物理装置进行控制的合成输出作用，即可以加到小车上的确切的驱动电压。这个过程称为解模糊判决。其方法之一是重心法，把模糊输出投影到输出隶属函数上再计算其重心。

此外，还有对倒立摆的双闭环模糊控制方案[15]。这个方案中有两个模糊控制器。一个作为内环，用于控制倒立摆的角度；另一个作为外环，用于控制小车的位置。这种方法便于调整隶属度、控制规则，比率因子等设计参数。 2.2.2 神经网络控制

神经网络系统是指利用工程技术手段模拟人脑神经网络的结构和功能的一种技术系统，它是一种大规模并行的非线性动力学系统。神经网络具有信息的分布存储、并行处理以及自学习能力等优点。用强化学习方法来实现倒立摆的平衡控制，至今已经取得了不少成果。1983 年Barto 等人设计了两个单层神经网络，采用AHC 学习算法实现了状态未离散化的倒立摆的平衡控制[16]。1989 年，Anderson 进一步用两个双层神经网络和AHC 方法实现了状态未离散化的倒立摆的平衡控制[17]。最近，Peng 通过将状态离散化成为162 个区域，实现了基于Q 学习算法和BP神经网络的倒立摆控制[18]。在强化学习方法中，控制器所能得到的反馈是当倒立摆偏离垂直方向的角度超出±12°或小车在±2. 4 米处和轨道两端相撞时环境给出的一个失败信号。Q学习算法是在各时间步Q 值的更新迭代中将失败信号进行反传并根据Q值来确定相应决策的优劣。BP 网络的输入为状态X和决策?，输出为Q值。在每个时间步k ，观察当前状态xk，选择和执行控制?k，再观察后继状态yk，并检测是否有失败信号，调整Q值，得到误差信号，更新网络的权重W，使网络实际输出逼近更新后的理想输出。通过Q学习和BP网络的有效结合，实现了状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制，证明了这种方法去实现某些状态连续控制系统无模型控制的可行性[19]。

将模糊控制与神经网络相结合应用于倒立摆控制，可充分体现两者的优越性。如文献[20 ]

中用再励式的模糊自适应控制方案控制倒立摆，简称GARIC(generalized approximate reasoning -based intelligent control) ，是美国NASA Ames 研究中心的H. R. Berenji 和加州伯克利大学的P.Khed Kar 提出的[21]，取得了相当成功的结果。文献[22]在采用一种解析式模糊控制器对倒立摆进行研究的基础上，又采用神经网络的BP 算法对模糊控制器的参数进行了训练，完善经验规则，使控制系统的动态特性得到明显改善。 2.3 拟人智能控制与倒立摆控制[23]

模糊控制、神经网络控制等智能控制理论的问世，促进了当代自动控制理论的发展。然而，基于这些智能控制理论所设计的系统往往需要庞大的知识库和相应的推理机，不利于实现实时控制。这又阻碍了智能控制理论的发展。因此，又有学者提出了一种新的理论——拟人智能控制理论。拟人智能控制的核心是“广义归约”和“拟人”。“归约”是人工智能中

的一种问题求解方法。这种方法是将待求解的复杂问题分解成复杂程度较低的若干问题集合，再将这些集合分解成更简单问题的集合，依此类推，最终得到一个本原问题集合，即可以直接求解的问题。另一核心概念是“拟人”，其含义是在控制规律形成过程中直接利用人的控制经验直觉以及推理分析。从倒立摆系统来看，要直接形成“拟人”控制规律，必须观察人的控制方式。当人摊平手心托着一根杆，杆向某个方向倾斜时，人将本能地使手移向同一方向。只要手的移动速度大于杆的倾斜速度，杆就可恢复竖直。参照上述人的控制方式，可直接形成如下控制规律

u?k?? (1) 式中，?为摆杆角位移；u为控制作用；k?为单位倾角所对应的控制作用。式(1) 表明，?为正(杆向右倾斜) 时，u为正(小车右移)。由于杆的质量惯性，摆杆将出现振荡。为了消除振荡稳定摆，引入阻尼信号。此外，摆杆的稳定是通过小车移动来控制的，因而控制规律中又

?。?的正反馈作用。必须引入小车的移动信号—线位移信号x和线速度信号x经分析，引入x，x综合以上各方面，最后形成了倒立摆的控制规律:

? （2） u?k???k???kxx?kx?x式中，k??,kx,kx?分别为单位角速度、单位线位移、单位线速度所对应的控制作用。在系数选择得当时，可实现倒立摆的稳定控制。

拟人智能控制理论，既不要求精确的数学模型，也不要建造推理机，而是根据物理结构模型直接形成控制规律，为复杂物理系统的自动控制设计提供了新的思路和理论指导。 3 总结

随着微电子技术的迅速发展，新的控制方法不断出现，实现对倒立摆的控制是对一种控制方法在理论和方法论上的检验，另外，由于倒立摆摆的控制方法在军工、航天和机器人领域有广泛的用途，对倒立摆的研究将是一个非常有意义的课题。

由于倒立摆装置被公认为自动控制理论中的典型试验设备，也是控制理论教学和科研中不可多得的典型物理模型，当前国内外有很多学者研究控制算法时都在利用倒立摆系统进行仿真验证，倒立摆系统稳定效果非常明了，可以通过摆动角度、位移和稳定时间直接度量，控制好坏一目了然。

国际上每年都有成百篇关于倒立摆控制研究的论文发表，其中大部分是建立在计算机基础上的仿真研究，主要是以一级倒立摆作为被控对象进行仿真，用二级倒立摆和平行倒立摆来仿真的文章则很少见，而用三级倒立摆进行仿真研究的还没见到。三级倒立摆的控制作为控制界的经典难题一直为人们所关注，也一直是研究的热点。目前，大约只有八分之一的学者在对实际物理摆进行设计、实验和控制研究。多数人用状态空间法对倒立摆建立数学模型，然后线性化求得控制函数再进行控制。到目前为止，声称能稳定三级倒立摆的单位并不多见，能用单电机成功控制三级倒立摆稳定在不同典型模式上，尚未见报道。

迄今为止，已成功实现了一级倒立摆系统两种典型的动平衡模式；实现了二级倒立摆实系统三种动平衡模式；实现了三级倒立摆系统四种典型的动平衡模式；实现了一级、二级、三级倒立摆系统不同平衡模式之间的动态切换；用一些控制算法对倒立摆进行控制，系统的鲁棒性很强，只要不改变任何控制参数，系统就可以保持平衡。

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