初中数学2016年中考八大题型典中典：初中数学2016年中考八大题型

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专题复习（三）——方案设计问题

题型概述

方案设计型问题是通过设置一个实际问题情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，要求学生运用学过的技能和方法，进行设计和操作，寻求恰当的解决方案，有时也给出几个不同的解决方案，要求判断哪个方案较优。它包括测量方案设计、作图方案设计和经济类方案设计等。【出处：21教育名师】 题型例析

类型1：利用方程、不等式（组）进行方案设计

这类问题往往列方程组或不等式（组）解应用题，但是列方程的关键又是找出题目中存在的的等量关系或不等式关系；对于设计方案题一般要根据题意列出不等式或不等式组，求不等式组的整数解（或者符合要求的解）。

【例题】（2015·四川甘孜、阿坝，第26题8分）一水果经销商购进了A，B两种水果各10箱，分配给他的甲、乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售，预计每箱水果的盈利情况如下表： 甲店 乙店

A种水果/箱 11元 9元

B种水果/箱 17元 13元

（1）如果甲、乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱，请你计算出经销商能盈利多少元？

（2）在甲、乙两店各配货10箱（按整箱配送），且保证乙店盈利不小于100元的条件下，请你设计出使水果经销商盈利最大的配货方案，并求出最大盈利为多少？ 考点：一元一次不等式的应用．

分析：（1）经销商能盈利=水果箱数×每箱水果的盈利；

（2）设甲店配A种水果x箱，分别表示出配给乙店的A水果，B水果的箱数，根据盈利不小于110元，列不等式求解，进一步利用经销商盈利=A种水果甲店盈利×x+B种水果甲店盈利×（10﹣x）+A种水果乙店盈利×（10﹣x）+B种水果甲店盈利×x；列出函数解析式利用函数性质求得答案即可．21世纪教育网版权所有

解答：（1）经销商能盈利=5×11+5×17+5×9+5×13=5×50=250；

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（2）设甲店配A种水果x箱，则甲店配B种水果（10﹣x）箱， 乙店配A种水果（10﹣x）箱，乙店配B种水果10﹣（10﹣x）=x箱． ∵9×（10﹣x）+13x≥100， ∴x≥2，

经销商盈利为w=11x+17?（10﹣x）+9?（10﹣x）+13x=﹣2x+260． ∵﹣2＜0，

∴w随x增大而减小， ∴当x=3时，w值最大．

甲店配A种水果3箱，B种水果7箱．乙店配A种水果7箱，B种水果3箱．最大盈利：﹣2×3+260=254（元）．2·1·c·n·j·y

点评：此题考查一元一次不等式的运用，一次函数的实际运用，找出题目蕴含的不等关系与等量关系解决问题．

【变式练习】

（2015?四川泸州,第21题7分）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵。两次共花费940元（两次购进的A、B两种花草价格均分别相同）。 （1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？

（2）若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用。 考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．. 专题：应用题．

分析：（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费940元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，两次共花费675元；列出方程组，即可解答．

（2）设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为（31﹣m）株，根据B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，得出m的范围，设总费用为W元，根据总费用=两种花草的费用之和建立函数关系式，由一次函数的性质就可以求出结论． 解答：

解：（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意得：

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，

解得：，

∴A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元．

（2）设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为（31﹣m）株， ∵B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍， ∴31﹣m＜2m， 解得：m＞

，

∵m是正整数， ∴m最小值=11，

设购买树苗总费用为W=20m+5（31﹣m）=15m+155， ∵k＞0，

∴W随x的减小而减小，

当m=11时，W最小值=15×11+155=320（元）．

答：购进A种花草的数量为11株、B种20株，费用最省；最省费用是320元．

点评：本题考查了列二元一次方程组，一元一次不等式解实际问题的运用，一次函数的解析式的运用，一次函数的性质的运用，解答时根据总费用=两种花草的费用之和建立函数关系式是关键．

类型2：利用函数进行方案设计与选择

首先根据具体的题意建立函数关系式，结合要求选择符合题意的答案进行合理的设计方案。 【例题】．(2015?江苏无锡,第18题2分)某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：①如果不超过500元，则不予优惠；②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过800元，则其800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．促销期间，小红和她母亲分别看一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款 838或910 元．

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考点：分段函数．

分析：根据题意知付款480元时，其实际标价为为480或600元，付款520元，实际标价为650元，求一次购买标价1130元或1250元的商品应付款即可． 解答：由题意知付款480元，实际标价为480或480×付款520元，实际标价为520×

=650元，

=600元，

如果一次购买标价480+650=1130元的商品应付款 800×08+（1130﹣800）×06=838元．

如果一次购买标价600+650=1250元的商品应付款 800×08+（1250﹣800）×06=910元． 故答案为：838或910．

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，考查函数的思想．属于基础题．

【变式练习】

（2015?四川广安，第22题8分）为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A、B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表： 目的地 车型 大货车 小货车

800 400

900 600

A村（元/辆）

B村（元/辆）

（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？

（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式．2-1-c-n-j-y

（3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．

考点：一次函数的应用．

分析：（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据大、小两种货车共15辆，运输152箱鱼

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苗，列方程组求解；

（2）设前往A村的大货车为x辆，则前往B村的大货车为（8﹣x）辆，前往A村的小货车为（10﹣x）辆，前往B村的小货车为[7﹣（10﹣x）]辆，根据表格所给运费，求出y与x的函数关系式；

（3）结合已知条件，求x的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案．

解答：（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得：

解得：．

∴大货车用8辆，小货车用7辆．

（2）y=800x+900（8﹣x）+400（10﹣x）+600[7﹣（10﹣x）]=100x+9400．（0≤x≤10，且x为整数）．

（3）由题意得：12x+8（10﹣x）≥100， 解得：x≥5， 又∵0≤x≤10， ∴5≤x≤10且为整数， ∵y=100x+9400，

k=100＞0，y随x的增大而增大， ∴当x=5时，y最小，

最小值为y=100×5+9400=9900（元）．

答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、2辆小货车前往B村．最少运费为9900元．

点评：本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用．关键是根据题意，得出安排各地的大、小货车数与前往B村的大货车数x的关系．

类型3：统计问题中的方案设计

解决此类问题关键是把握好关于统计中的几个概念：“平均数”“中位数众数”等的含义，运用它们来分析数据的特点，预测数据的发展趋势，由此选择或解释符合实际的方案。

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【例题】（2015?江苏徐州,第22题7分）某校分别于2012年、2014年随机调查相同数量的学生，对数学课开展小组合作学习的情况进行调查（开展情况分为较少、有时、常常、总是四种），绘制成部分统计图如下．请根据图中信息，解答下列问题： （1）a= 19 %，b= 20 %，“总是”对应阴影的圆心角为 144 °； （2）请你补全条形统计图；

（3）若该校2014年共有1200名学生，请你统计其中认为数学课“总是”开展小组合作学习的学生有多少名？

（4）相比2012年，2014年数学课开展小组合作学习的情况有何变化？

考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

分析：（1）先用80÷40%求出总人数，即可求出a，b；用40%×360°，即可得到圆心角的度数；

（2）求出2014年“有时”，“常常”的人数，即可补全条形统计图； （3）根据样本估计总体，即可解答；

（4）相比2012年，2014年数学课开展小组合作学习情况有所好转．

解答：（1）80÷40%=200（人），a=38÷200=19%，b=100%﹣40%﹣21%﹣19%=20%；40%×360°=144°， 故答案为：19，20，144；

（2）“有时”的人数为：20%×200=40（人），“常常”的人数为：200×21%=42（人），如图所示：

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（3）1200×

=480（人），

答：数学课“总是”开展小组合作学习的学生有480人；

（4）相比2012年，2014年数学课开展小组合作学习情况有所好转．

点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

【变式练习】

(2015·贵州六盘水，第23题12分)某学校对某班学生“五·一”小长假期间的度假情况进行调查，并根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下面的问题：

（1）（4分）求出该班学生的总人数． （2）（4分）补全频数分布直方图．

（3）（2分）求出扇形统计图中∠α的度数． （4）（2分）你更喜欢哪一种度假方式． 考点：频数（率）分布直方图；扇形统计图．.

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分析：（1）根据其它的人数和所占的百分比求出总人数； （2）分别求出徒步和自驾游的人数，从而补全统计图； （3）用360°乘以自驾游所占的百分比，求出∠α的度数； （4）根据自己喜欢的方式即可得出答案． 解答：解：（1）该班学生的总人数是：（2）徒步的人数是：50×8%=4（人）， 自驾游的人数是：50﹣12﹣8﹣4﹣6=20（人）； 补图如下：

=50（人）；

（3）扇形统计图中∠α的度数是：360°×

=144°；

（4）最喜欢的方式是自驾游，它比较自由，比较方便．

点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

类型4：图形问题中的方案设计

图形问题方案设计通常是先给出一个图形（可能是规则的也可能是不规则的），然后让你用直线或弧线将图形分成形状或面积相等的几部分，解决此类问题可借助对称的性质、角度的大小和面积公式等方法进行分割。【版权所有：21教育】

【例题】（2015?四川广安，第24题8分）手工课上，老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形，聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线，并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积（注：不同的分法，面积可以相等）

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考点：作图—应用与设计作图．

分析：（1）正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，连接HE、EF、FG、GH、HF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．

（2）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC、BD的交点，连接OE、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．

（3）正方形ABCD中，F、H分别是BC、DA的中点，O是AC、BD的交点，连接HF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．

（4）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC的中点，I是AO的中点，连接OE、OB、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可． 解答：根据分析，可得

．

（1）第一种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEH、△BEF、△CFG、△DHG， 每个最小的等腰直角三角形的面积是： （4÷2）×（4÷2）÷2 =2×2÷2 =2（cm）

（2）第二种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEO、△BEO、△BFO、△CFO， 每个最小的等腰直角三角形的面积是：

2

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（4÷2）×（4÷2）÷2 =2×2÷2 =2（cm）

（3）第三种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AHO、△DHO、△BFO、△CFO， 每个最小的等腰直角三角形的面积是： （4÷2）×（4÷2）÷2 =2×2÷2 =2（cm）

（4）第四种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEI、△OEI， 每个最小的等腰直角三角形的面积是： （4÷2）×（4÷2）÷2÷2 =2×2÷2÷2 =1（cm）．

点评：（1）此题主要考查了作图﹣应用与设计作图问题，要熟练掌握，解答此题的关键是结合正方形的性质和基本作图的方法作图．21·世纪*教育网 （2）此题还考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握．

【变式练习】

（2014?四川广安,第24题8分）在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四边形ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1）的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，…依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a的值． 考点：作图—应用与设计作图．

分析：平行四边形ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1），剪三次后余下的四边形是菱形的4种情况画出示意图． 解答：①如图，a=4，

②如图，a

222

5=， 2全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案 免费下载 | www.xsjjyw.com

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③如图，a=

4， 3

④如图，a=

5， 3

点评：此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知行四边形ABCD将平行四边形分割是解题关键．

类型5：测量问题中的方案设计

解决此类的问题往往用到对称性质，借助轴对称或者中心对称等知识点构建最短路径问题，再结合要求选择所要求的方案。

【例题】(2015·南宁，第11题3分)如图6，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°,N是弧MB的中点,P是直径AB上的一动点，若MN=1，则△PMN周长的最小值为（ ）. （A）4 （B）5 （C）6 （D）7

图6

考点：轴对称-最短路线问题；圆周角定理．.

分析：作N关于AB的对称点N′，连接MN′，NN′，ON′，ON，由两点之间线段最短可知

MN′与AB的交点P′即为△PMN周长的最小时的点，根据N是弧MB的中点可知∠A=∠NOB=

∠MON=20°，故可得出∠MON′=60°，故△MON′为等边三角形，由此可得出结论． 解答：解：作N关于AB的对称点N′，连接MN′，NN′，ON′，ON． ∵N关于AB的对称点N′，

∴MN′与AB的交点P′即为△PMN周长的最小时的点，

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∵N是弧MB的中点， ∴∠A=∠NOB=∠MON=20°， ∴∠MON′=60°， ∴△MON′为等边三角形， ∴MN′=OM=4，

∴△PMN周长的最小值为4+1=5． 故选B．

点评：本题考查的是轴对称﹣最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．

【变式练习】

（2015?四川凉山州,第26题5分）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点

P的坐标为 ．

【答案】（【解析】

试题分析：点B的对称点是点D，连接ED，交OC于点P，再得出ED即为EP+BP最短，解答即可．

试题解析：连接ED，如图，

，

）．

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