四边形复习提纲（经典题型解析）汇总

四边形复习提纲 【知识要点】

1、四边形的内角和等于1800， n边形的内角和等于(n-2)·1800，任意多边形 的外角和等于3600，n边形的对角线条数为n(n-3)/2. 2、平行四边形

性质：（1）平行四边形的对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分； （2）平行四边形是中心对称图形.

判定：（1）定义判定； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 3、矩形

性质：（1）具有平行四边形的所有性质； （2）四个角都是直角； （3）对角线相等（推论：直角三角斜边上的中线等于斜边的一半）； （4）既是中心对称图形，又是轴对称图形； （5）其面积等于两条邻边的乘积. 判定：（1）定义判定； （2）有三个角是直角的四边形； （3）对角线相等的平行四边形. 4、菱形

性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四条边相等；（3）对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；（4）既是中心对称图形，又是轴对称图形；（5）其面积等于两条对角线长乘积的一半（适用于所有对角线互相垂直的四边形）. 判定：（1）定义判定；（2）四条边相等的四边形；（3）对角线互相垂直的平行四边形. 5、正方形

性质：具有矩形、菱形的一切性质.

判定：（1）定义判定； （2）先判定四边形为矩形，再判定它也是菱形； （3）先判定四边形为菱形，再判定它也是矩形. 6、等腰梯形

性质：（1）两腰相等； （2）两条对角线相等； （3）同一底上的两个底角相等； （4）是轴对称图形. 判定：（1）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； （2）对角线相等的梯形是等腰梯形.

7、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。 8、两个中位线定理

三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.

梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半（推论：梯形面积等于中位线长与高的乘积）. 9、中心对称

定义：强调必须旋转．．．．180．．．°重合。 定理：（1）关于中心对称的两个图形是全等形.

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分（存在逆定理）. 10、各种四边形之间的相互关系。

矩形平行四边形四边形菱形梯形正方形

【方法总结】

与多边形的角度、边数、对角线数有关的问题，一般运用公式列方程解决。

2、分清各种四边形的联系与区别，明白定义、性质与判定方法的正确使用（可以根据条件与结论的前后顺序确定）。

1

3、对角线是研究四边形的常用辅助线，它既可以把四边形转化为三角形，又可以充分体现四边形的所有特征。 4、梯形中常添加辅助线，将其转化为平行四边形或者三角形：

（1）过较短底的顶点作梯形的高；（2）过一个顶点作腰的平行线；（3）过一个顶点作一条对角线的平行线； （4）延长两腰相交； （5）连结上底的一个顶点与另一腰的中点，并延长与下底的延长线相交. 梯形常用的辅助线如下图:

EADADADBCBEFCBEC

DFADADABCEBCEBCE

5、遇到有关中点的问题，常考虑构造中位线，或者使用“倍长中线法”.

6、解决折叠问题，抓住“折叠前后重合的图形关于折痕所在直线对称”这一关键。

7、“双重对称图形”判断妙着：一个轴对称图形，画出一条对称轴后，如果能画出与它垂直的另一条对称轴，那么这个轴对称图形同时也是中心对称图形，垂足即为对称中心；如果能画不出与它垂直的另一条对称轴，那么这个轴对称图形一定不是中心对称图形.

8、求特殊图形的面积，通常需要添加辅助线把它转化为规范图形，转化的方法主要有“割”、“补”两种. 9、在众多的定理中，要严格区分有无逆定理，比如平行线等分线段定理就不存在逆定理。 【典型例题剖析】

【例1】若一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是_______.

剖析：设此凸多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式，以及“外角和等于360”的推论，列方程，得 (n - 2)·180 =360. 解得 n=4.

【例2】下列图案既是中心对称，又是轴对称的是 （ ）

0

0

0

A. B. C. D.

剖析：由“方法总结”第7条，易知选A. 【例3】下列命题中，真命题是( )

A.有两边相等的平行四边形是菱形 B.有一个角是直角的四边形是矩形

C.四个角相等的菱形是正方形 D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

剖析：由各类平行四边形的判定方法可知，A、B、D都不对，它们分别缺少了 “两邻边”、“平行四边形”、“对角线互相平．．．．．．分”等条件；C中四边形的四个角相等，均为900，必是矩形，既是矩形又是菱形的四边形当然是正方形。故选C. ．

【例4】如图，□ABCD的周长为16cm，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（ ） A．4 cm B．6cm C．8cm D．10cm

AEDO

BC2

剖析：由题意知，AD+CD=8cm。□ABCD中，AC、BD互相平分，则OE为AC的垂直平分线，所以EC=EA。 因此，△DCE的周长=DE+EC+CD=DE+EA+CD=AD+CD=8cm。故选C.

【例5】如图，在□ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AC、BD分别交于E、F， 求证：四边形AFCE是菱形.

剖析：解题时，注意区分判定定理与性质定理的不同使用. ∵□ABCD中，AE∥CF，∴∠1=∠2. 又∠AOE=∠COF，AO=CO.

∴△AOE≌△COF，∴EO=FO. ∴四边形AFCE是平行四边形 . 又EF⊥AC，∴□AFCE是菱形.

【例6】如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、是菱形，EH⊥AC，垂足为H．求证：EH＝

OB2A1EDBD相交于O，四边形AEFC

C12FC．

F

111

剖析：容易证得，四边形HOBE是矩形，则EH = BO = BD = AC = FC.

222

【例7】探究规律：如图1，已知直线m∥n，A、B为直线n上的两点，C、P为直线m上的两点。 （1）请写出图中面积相等的各对三角形： 。

（2）如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么无论P点移动到任何位置总有： 与△ABC的面积相等；

理由是： 。

CPEm ENADOADn BAB第26题图1 图 1

CBC3 M263 题图 第图262 题 图 2 第 图

如图2，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图3所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（图3中折线CDE）还保留着，张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多。请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案。（不计分界小路与直路的占地面积）

（1）写出设计方案，并在图3中画出相应的图形； （2）说明方案设计理由。

剖析：本题从一个简单几何原理入手，逐步深入探究，并用它解决实际问题，较好地体现了新时期的教学理念——“创新”与“应用”两大主旋律。

（1）△ABC和△ABP, △AOC和△BOP, △CPA和△CPB分别面积相等。

（2）因为平行线间的距离相等，所以无论点P在m上移动到任何位置，总有△ABP与△ABC同底等高，因此，它们的面积

3

总相等.

解决问题：（1）画法如图.

A E N D B C F M

连结EC, 过点D作DF//EC, 交CM于点F, 连结EF, EF即为所求直路的位置. （2）设EF交CD于点H, 由上面得到的结论，可知： S△ECF=S△ECD, S△HCF=S△EDH. ∴S五边形ABCDE=S五边形ABCFE, S五边形EDCMN= S四边形EFMN.

【例8】采用如图所示的方法，可以把梯形ABCD折叠成一个矩形EFNM(图中EF,FN,EM为折痕)，使得点A与B、C与D分别重合于一点.请问，线段EF的位置如何确定;通过这种图形变化，你能看出哪些定理或公式(至少三个)？证明你的所有结论.

提示：EF为梯形ABCD的中位线，可以看出梯形的中位线定理、面积公式、等腰三角形的性质定理、平行线的性质定理等等。

基础题型

?A:?B?5:31．如图在平行四边形ABCD中，，求这个平行四边形各内角的度数

ADBC

解：?四边形ABCD是平行四边形

?AD∥BC，?A??B?180?

由于?A:?B?5:3 故设?A?5x，则?B?3x

4

即5x?3x?180?

解得x?22.5? 因此?A?5?22.5??112.5?，?B?3?22.5??67.5? ?平行四边形各内角度数分别是112.5?，67.5?，112.5?，67.5?

２．已知平行四边形ABCD的周长为38cm，AC，BD相交于O，且?AOB的周长比?BOC的周长小于3cm，如图，求平行四边形ABCD各边的长 解：?四边形ABCD为平行四边形 ?OA?O，CAB?CD，BC?AD

??AOB的周长＝OA?OB?AB

?BOC的周长＝OC?OB?BC 且?AOB的周长比?BOC的周长小于3cm

?(OC?OB?BC)?(OA?OB?BC)?3 ?BC?AB3? 又?平行四边形ABCD的周长为38cm ?BC?AB?19

?AB?8cm，BC?11cm ?CD?8cm，AD?11cm

３．如图，已知：在平行四边形ABCD中，BD是对角线，AE?BD于E，CF?BD于F 求证：AE?CF

AFDBEC

证明：方法一：?四边形ABCD是平行四边形 ?AB∥CD，AB?CD ??ABE??CDF ?AE?BD，CF?BD

??AEB??C F 5

?DF?12BCDE?12BC，

D F

?DE?13.如图，先将矩形纸片ABCD对折一次折痕为EF，展开后又将纸片折叠使点A落在EF上，此时折痕为BM，求?NBC度

数的大小

AMDAMDENBFENGFCB121212C

AE?BE?DF?FC?CD?AB?BN提示：根据题意得

过点N作NG?BC，垂足为G

NG?12BN

则

，??NBC?30?（直角三角形中30?角所对的直角边等于斜边的一半，反过来也成立）

14.过矩形ABCD对角线AC的中点O作EF?AC分别交AB，DC于E,F，点G为AE的中点，若?AOG?30?，求证：OG?13DC

FOCDFOCDAGEBAGEB

证明：连接CE

?四边形ABCD是矩形 ?OA?OC ?EF?AC

?EF是线段AC的垂直平分线 ?EA?EC

??AOG?30? ??ACB?60?，?OCE?30???BCE?30? ??G是AE中点 OG?AG?GE?12AE?12CEBE?12EC

?

11

?OG? ?OG?13AG?G?E

DC

15.在矩形ABCD，AB?6,BC?8，将矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，在展开，求折痕EF的长

EAODBFC

解：?AB?6,BC?8 ?由勾股定理可得AC?10 根据题意有AF?CF，设AF?CF?x，BF?8?x

2226?(8?x)?x由勾股定理AB?BF?AF，即 解得

222x?254

?FC?254

254?6?752，

S?AFCE?12AC?EF??S?AFCE?CF?AB?EF?15

2 （提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半）

16．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分?BAD，?AOD?120?，求?AEO的度数

AOBEDC答案：提示?ABE为等腰直角三角形，?OAB为等边三角形，?OBE为等腰三角形

?OBE?30?，?OEB?75?，?OEA?75??45??30?

17.如图，MN为过Rt?ABC的直角顶点A的直线，且BD?MN于D，CE?MN于点E，AB?AC，F为BC的中点，

求证：DF?EF

AMDENAMDENBFCBFC

证明：连接AF

12

??ABC为直角三角形，F为斜边BC的中点 ?BF?AF?CF

??BAC?90? ??BAM??NAC?90?

?BD?MN，CE?MN

??BAM??DBA?90?，?BDA??AEC?90? ??DBA??EAC，又?AB?AC ??DBA??EAC（AAS） ?DB?AE

?AB?AC，?BAC?90?，F为BC的中点 ??ABC??FAC?45?

??DBA??ABC??CAF??CAN，即?DBF??FAE

又?DB?AE，AF?BF ??DBF??EAF（SAS）?DF?EF

总结：在直角三角形中，出现中点时，常见的辅助线是斜边上的中线以及中位线

18．如图E是菱形ABCD边AD的中点，EF?AC于H，交CB的延长线于F，交AB于G，求证：AB与EF互相平分

AGFBHEDGFBAHEDCC

证明：?四边形ABCD是菱形

??BAC??D A?AC?EG，AH?AH ??AHE??AHG（ASA）?AE?AG

AE?12ADAG?12AB? ?

AE G?AD∥BC ??F????BGF??AGE ??AGE??BGF（AAS） ?EG?FG，AG?GB 即AB与EF互相平分

方法二：连接AF，BE

AE?12ADAG?12AB由，

得?AGE??AEG??BGF??BFG，则AE?AG?BG?BF

?AE∥BF且AE?BF?四边形AFBE为平行四边形 ?AB与EF互相平分

19．如图，在?ABC中，?ACB?90?，AD是?A的平分线，交BC于点D，CH是AB边上的高，交AD于F，DE?AB 13

于E．求证：四边形CDEF是菱形

CDFABHE

证明：?AD是?A的平分线 ??CAD??E A ??ACB?90?，CH?AB

??CAD??CDA?90?，?FAH??AFH?90?

??CDA??A

F??AFH??CFD ??CFD??C

D?CF?CD ?AD是?A的平分线，CD?AC，DE?AB ?CD?D E?CF?DE ?CH?A，BDE?AB ?CH∥D E ?四边形CFED是平行四边形 ?CD?C F?平行四边形CFED是菱形

20．菱形ABCD中，?DAB?120?，如果它的一条对角线长为12cm，求菱形ABCD的边长

解：

DDACAOCBB

若对角线AC?12cm，

如图?四边形ABCD为菱形，且?DAB?120???DAC??BAC?60?则?ADC为等边三角形?菱形ABCD的边长为12cm

若对角线BD?12cm，

14

如图?四边形ABCD为菱形，且?DAB?120???DAC??BAC?60?则?ADC为等边三角形 又?OD?OB?OD?OB?6cm 设OA?x，AD?2x，

222由勾股定理可得(2x)?x?6，解得x?23，?AD?43cm

综上所述：菱形ABCD的边长为12cm或43cm

22．如图，四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，F是BC上的一点，且BF?3FC

求证：AE?EF

ADADEEBFCBFC

证明：连接AF，设FC?k，则BC?4k

?四边形ABCD是正方形 ??B??C??D?90?，AB?BC?CD?AD?4k ?E为CD中点 ?DE?EC?2k

2222 在Rt?ABF中，AF?AB?BF?25k

2222 在Rt?ECF中，EF?EC?FC?5k

2222 在Rt?ADE中，AE?AD?DE?20k

222 则AE?EF?AF，??AEF是直角三角形

??AEF?90? ?AE?EF

（到初三的时候此题还有额外的证明方法）

23．如图，过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PE?BC于E，作PF?CD于F，连接AP，EF．求证：AP?EF，

AP?EF

ADADPFBCBPFHECE

15

证明：连接PC，延长AP交EF于点H

?四边形ABCD是正方形

??ABP??CBP?45?，AB?BC

?BP?BP ??ABP??CBP（SAS） ?AP?CP，?BAP??BCP

?PE?BC，PF?CD，BC?CD

?四边形PECF为矩形（有三个角为直角的四边形为矩形） ?PC?EF ?PA?E F?PF?EC，?EPF??PEC?90? ??PEF??EPC（HL）

??PFE??PCE ??PFE??BAP

?AB?BC，PE?BC ?AB∥PE ??BAP??EPH ??PFE??PEH?90? ??EPH??PEH?90? ?AP?EH

24．如图正方形ABCD中，M是AB的中点，MN?DM，BN平分?CBE，交MN于N求证：DM?MN

DCDCNFNAMBEAMBE

证明：取线段AD的中点F，连接FM ?四边形ABCD为正方形 ?AB?A，D?A??ABC?90?

?F为AD中点，M为AB中点 ?DF?A?FA?M

??AFM??AMF?45? ??DFM?135? ?BN平分?CBE ??CBN??EBN?45?

16

??MBN?135? ??DFM??MBN ?DM?M N??DMA??NMB?90?

??DMB??ADM?90? ??ADM??MBN 在?DMF与?MNB中

??MDF??NM??DF?MB??DFM??MBNASA)?DM?MN ? ??DMF??M(N

思考：若点M是线段AB上一个动点，其他条件不变，则上面的结论还成立么？

DCDCNFEANAMBMBE

请参考上面的解题思路，本题还有额外的证明方法，但是需要初三学习的知识，现在就不列举了

25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?BC，E，F分别是AD，BC的中点，且EF?BC，求证：梯形ABCD为

等腰梯形

AEDAEDBFCBMFNC

证明：过E分别作AB，DC的平行线交BC于M，N，易知四边形ABME和四边形DCNE 都是平行四边形 ?AE?B，MDE?NC，AB?EM，DC?EN

?E，F分别是AD，BC的中点 ?AE?DE，BF?CF

?BM?CN ?BF?BM?CF?NC

?MF?NF

?EF?BC ?EM?EN ?EF是线段MN的垂直平分线 ?ME?NE ?AB?CD

故梯形ABCD是等腰梯形

26．已知等腰梯形ABCD中，AB?CD，?B?60?，AD?15cm，BC?49cm，求它的腰长

17

ADADBCBEC

解：方法一：过点A作AE∥DC，交BC于点E

?AD∥B C?四边形AECD为平行四边形

?AD?EC，DC?AE

?AB?DC ?AE?AB ??B?60? ?四边形ABCD为等边三角形 ?BE?AB ?AD?15，BC?49 ?BE?BC?CE?BC?AD?49?15?34 ?AB?CD?34cm

方法二

ADBCMN

过点A作AM?BC，垂足为M，过点D作DN?BC，垂足为N

?四边形ABCD为等腰梯形 ?AB?CD，?B??C

??AMB??DNC?90? ??ABM??DCN（AAS） ?BM?CN

??AMN??MND??ADN?90?

?四边形AMND为矩形 ?AD?M N?BC?49，AD?15

?BM?CN?12(BC?AD)?12(49?15)?17

??B?60? ??BAM?30? ?AB?2BM?34cm

27．如图，在?ABC中，AB?AC，AD平分?BAC，CD?AD，点E是BC的中点E?1求证：①DE∥ABD ②

2(AB?AC)

18

AAFDDCBCBEE

证明：①延长CD交AB于点F ?AD?C，D??ADC??ADF?90?

?AD平分?BAC ??DAC??DAF ?AD?A D??ADC??ADF（ASA）（AD又是高，又是角平分线，很容易联想到“三线合一”）?AC?AF，FD?DC

?点E是BC的中点

?DE是三角形?CBF的中位线

?DE∥BFDE?1，

2BF

②?AB?AF?BF

?BF?AB?AC

DE?1(AB?AC ?2)

28．如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，BC?DC?AB，E是AD中点

求证：?CEB?90?

DCDCEEFABAB

证明：取BC中点F，连接EF 由梯形中位线性质可知

EF∥DC∥ABEF?1)且

2(DC?AB

?BC?DC?AB ?2EF?BC ?EF?CF?FB ??CEB?90?

19

与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析

第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。

例1如左下图1，在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE?CF,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）

⑴连结BF ⑵BF?DE ⑶证明：连结DB,DF,设DB,AC交于点O

∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AO?OC,DO?OB ∵AE?FC ∴AO?AE?OC?FC 即OE?OF ∴四边形EBFD为平行四边形 ∴BF?DE

DCFOEA图1BA图2BEODC

第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。

例2如右图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC?12，

BD?10，AB?m，那么m的取值范围是（ ）

A1?m?11 B2?m?22 C10?m?12 D5?m?6

解：将线段DB沿DC方向平移，使得DB?CE,DC?BE,则有四边形CDBE为平行四边形,∵在?ACE中,

AC?12,CE?BD?10,AE?2AB?2m

∴12?10?2m?12?10，即2?2m?22 解得1?m?11 故选A 第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。 例3已知：如左下图3，四边形ABCD为平行四边形 求证：AC2?BD2?AB2?BC2?CD2?DA

2 证明：过A,D分别作AE?BC于点E，DF?BC的延长线于点F ∴AC BD2?AE?DF22?CE?BF22?AB2?BE22?(BC?BE)?AB2222?BC22?2BE?BC

2222?(CD2?CF)?(BC?CF)?CD?BC?2BC?CF

则AC?BD?AB?BC2?CD2?DA2?2BC?CF?2BC?BE

∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB∥CD且AB?CD,AD?BC

0∴?ABC??DCF ∵?AEB??DFC?90

∴?ABE??DCF ∴BE?CF ∴AC

2?BD2?AB2?BC2?CD2?DA

20

2

CDA3E1PFD2BE图3CFB图4AK

第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。

例4：已知：如右上图4，在正方形ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点，求证：AP?AB 证明：延长CF交BA的延长线于点K ∵四边形ABCD为正方形

0∴AB∥CD且AB?CD,CD?AD,?BAD??BCD??D?90

∴?1??K 又∵?D??DAK?90,DF?AF ∴?CDF≌?KAF ∴AK?CD?AB ∵CE?0012CD,DF?12AD ∴CE?DF

∵?BCD??D?90 ∴?BCE≌?CDF ∴?1??2

∵?1??3?90 ∴?2??3?90 ∴?CPB?90,则?KPB?90 ∴AP?AB

第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。

例5如左下图5，在平行四边形ABCD中，点E为边CD上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。

解：延长AE与BC的延长线相交于F，则有 ?AED∽?FEC,?FAB∽?FEC,?AED∽?FAB

ADENFB图5CFBEC图6OD0000A

第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线

例6已知：如右上图6，在平行四边形ABCD中，AN?BN,BE?交BD于F，求BF:BD

解：连结AC交BD于点O,连结ON

∵四边形ABCD为平行四边形 ∴OA?OC,OB?OD?13BC,NE

BD2

21

∵AN?BN ∴ON∥

12ON1BF2∵BE?BC ∴BE:ON?2:3 ∴?

3FO3∴

BC且ON?12BC ∴

BE?BFFO

∴BF:BD?1:5 BO5综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形

BF?2转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。

22

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