概率阶段测试题（四）含答案

概率论与数理统计 测试题

阶段测试题（四）

一、填空（请将正确答案直接填在横线上。每小题 2分，共10分）： 1. 设X1，X2，1n，Xn为总体X的一个样本，若X??Xi且EX??，DX??2，则EX?

ni?1__________，DX? __________. 2. 设总体XN?2，?2?，X1，X2，116，X16是来自总体X的一个样本，且X??Xi, 则

16i?14X?8?服从 __________.

3. 设X1，X2，，Xn是从正态总体N?，?2中抽样所得的一个样本，则T???X??服从 S/n__________，其中S2? __________.

4．设某钢珠直径X服从正态分布N(?,1)，（单位：mm），其中?为未知参数，从刚生产出的一大堆钢

22珠中随机抽出9个，求得样本均值X?31.06，样本方差S?0.98，则?的极大似然估计值为

___________，的?极大似然估计值为___________. 5．设总体服从正态分布N2

??,??，?22

已知，当?不变时，样本容量n增大，则?的置信区间长度

变___________；当样本容量n不变时，?变大，则?的置信区间长度变___________.

二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分）

1. 设X1，X2，21nX?X是（ ）. ，Xn是来自总体X的样本，则???in?1i?1(A) 样本矩 (C) 二阶中心矩

2. 设总体X服从N2，32，X1，X2，(A) X服从N?2，0.9? (C) X服从N?20，9?

(B) 二阶原点矩 (D) 统计量

??，X10是X的样本，则有（ ）.

(B) X服从N?2，9? (D) X服从N?20，90?

3. 设X服从N0，?2，则服从自由度为?n?1?的t分布的随机变量是（ ）.

(A)

??nX S(B) nX S第1页，共12页

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(C)

nX S2(D) nX S24．设X1,X2,,Xn为总体X的样本，期望μ、方差σ2未知，X、s2分别为样本均值和样本方差，则

下列样本函数为统计量的是（ ）.

1n(A) ?(Xi?X)2

ni?1(C)

1nXi??(B) ?

ni?1?X??s/n (n?1)s2?2 (D)

?5. 设?为总体X的未知参数，?是?的估计量，则（ ）.

(A) ?是一个数，近似等于? (C)

?(B) ?是一个随机变量

(D) 当n越大，?的值可任意靠近?

???是一个统计量，且E???

??6. 设X1,X2,无偏估计.

Xn是取自总体X的一个样本，且EX??,DX??2，则（ ）是总体方差?2的

1n2X??(A) ???in?1i?11n(C) ?Xi?Xn?1i?11n2(B) ??Xi???

ni?11n(D) ?Xi?Xni?1??2

??2

7. 设X1,X2来自总体X，则下列统计量为总体期望EX的无偏估计的是（ ）.

(A) X1?X2 (B) X1?X2 (C) 2X1?X2 (D) 2X1?X2

8. 矩估计必然是（ ）.

(A) 无偏估计 (C) 极大似然估计

9. 设X1,X2,(B) 样本矩的函数 (D) 有效估计

,Xn是总体N?,?2的一个样本，其中?未知，则方差?2的置信度是1??的置信区

??间为（ ）.

??22?(n?1)S(n?1)S?,2(A) ?2?

?(n?1)?(n?1)????1?2?2???22?nS?nS,2(B) ?2?

?(n?1)?(n?1)????1?2?2?第2页，共12页

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??(n?1)S2(n?1)S2(C) ?2,2?(n)??(n)?1??22?10. 设总体X服从N2??? ??12??22?nSnS?(D) ?2,2?

?(n)?(n)??1???22????,??的分布, x,x,115)（ ）.

,x15为一组样本值，则?的置信度为95%的置信区间

(x?1.96?115,x?1.96?(A) 一定包含未知参数?

(C) 包含未知参数?的可能性为95%

三、计算与应用题（每小题8分，共64分）

1. 设X1，X2，(B) 一定不包含未知参数? (D) 前面三种说法都不正确

，X5是来自正态总体N?12，4?的一个样本.

（1）求样本均值超过13的概率； （2）求样本均值小于10的概率.

2. 设总体X服从N?，0.32，X1，X2，样本容量n至少应取多少才能使

??，Xn是总体X的一个样本，X是样本均值，试问：

PX???0.1?0.95 .

3. 设总体X服从N?，?2，已知样本容量n?24，样本方差S2?12.5227，求总体标准差?大于3的概率.

4. 设总体X服从区间[0,?]上的均匀分布，X1,X2,

5．设X1,X2,????Xn是来自总体X的样本，试求?的矩估计量.

,Xn是从总体X中抽得的一个简单随机样本，总体X的概率密度函数为

??1???x, 0?x?1 p(x,?)?? 0, 其他??其中?＞0是未知参数.试用极大似然法估计总体的未知参数?.

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6. 设X1,X2,Xn是从总体X中抽得的一个简单随机样本，总体X的概率密度函数为

x?1???e,x?0,??0 p(x,?)????0, 其他?试用极大似然法估计总体的未知参数?.

7. 设某种电子管的使用寿命服从正态分布，从中随机抽取16个进行检验，得平均使用寿命为1950小时，标准差S ＝ 300小时，试以95 ％ 的可靠性求出整批电子管平均使用寿命的置信区间与使用寿命的均方差的置信区间.

8. 设食品店的袋装糖果的重量服从正态分布N??,??，某天随机抽取9袋检验重量（单位：克）

2510， 485， 505， 505， 490， 495， 520， 515， 490

试在??0.01下，求均值?的置信区间.

四、证明题（共6分）

设总体X的期望为?，方差为?，分别抽取容量为n1,n2的两个样本，X1,X2为两个样本的均值，试证：如果a, b是满足a?b?1的常数，则Y?aX1?bX2就是?的无偏估计，并确定a, b使DY最小.

2

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阶段测试题（四）参考解答

一、填空 1. ?，

?2n

EX?E??1n?1n1?n?Xii?1???n?EXi?n??? i?1nDX?D??1n?1n12?2?n?Xii?1???n2?DXi?i?1n2n??n

2. N?0，1?

X服从N??2，?2 ??16? ??

4X?8??X?2?/4?X?2?/16服从N?0，1? 3. t?n?1?分布 , 1nn?1??X2i?X?

i?14. 31.06 0.85

??x?31.06 ?2?1n?12n?n?xi?xi?1?2?nS

当 n?9,S2?0.982 时 , ?2?8?0.9829?0.855. 短 , 短

∵若X服从N(?,?2)，当?2已知时，有

P???X????????????1?? 2??区间长度：L?2?????2n ∴当?不变时，??也不变，是常数，而样本容量n增大时，区间长度L变短.

2 又当样本容量n不变时，?变大，??变小，区间长度L变短.

2 二、单项选择

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概率论与数理统计 测试题

???(n?1)S2 (n?1)S2????2,?2??(n?1)21?(n?1)??2?? ??15?3002?15?3002???27.488,6.262???即 ( 221.61, 464.31 ) . 8. 解

x?19(510?485??515?490)?501.67 S2?1

228??(510?501.67)??(490?501.67)???149.62∴当??0.01,n?9时

查附表4，得：t0.005(8)?3.3554

故袋装糖果重量的均值?的置信度为99%的置信区间为

??X?tSX?tS???,?2n2n?????501.67?3.3554?149.62149.62??,501.67?3.3554??99???即 ( 487.99, 515.35 ).

四、证明题

证

由已知EX??，且EX1?EX2?EX??

?EY?E?aX1?bX2??aEX1?bEX2

?(a?b)???故 Y?aX1?bX2是?的无偏估计.

DY?D?aX1?bX2??a2DX1?b2DX2 ?a2?2?b2?2

n???a2?b2???21n2?n1n2?第11页，共12页

∴为使DY达到最小，只要a2n?b2n达到最小

12 记Z?a2n?b2

1n2 由a?b?1，得

Z?a2(1?a)2

n?1n2dZ2a2(1?a

da?n?)?01n2 解得 a?n1n b?n2

1?n2n1?n2由于驻点唯一，根据实际意义，DY在驻点处取得最小值. 即当a?n1n b?n2 时DY的最小值为

1?n2n1?n22(DY)min??n1?n.

2概率论与数理统计 测试题

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