湖南省岳阳县第一中学2014年物理奥赛教案 第三讲 能量和动量

湖南省岳阳县第一中学2014年物理奥赛教案

第三讲 能量和动量

知识要点：功和功率。动能和动能定理。重力势能。引力势能。质点及均匀球壳壳内和壳外的引力势能公式（不要求导出）。弹簧的弹性势能。功能原理。机械能守恒定律。碰撞。冲量。动量。动量定理。动量守恒定律。反冲运动及火箭。

一、功和功率 1、功

功的定义式：物体(可看作质点)在恒力的作用下产生了位移，则力F对物体所做的功为：W=FScos? 功有正负之分，正功和负功的物理意义必须从与做功相联系的能量转化角度去理解。

注意：当不能把物体当作质点处理时，物体的位移与力的作用点的位移是不相等的，这时公式中的S理解为力的作用点的位移 。

特别是在绳子牵引之类的问题，要注意作用点的位移。

功的定义式中力应为恒力。如F为变力，则可以采用如下方法处理：(1)微元法，即把变力做功转化为恒力做功，如讨论向心力对物体不做功时就用这个方法；(2)图像法，即作出力F与位移变化的图像，求出图线与位移轴之间所围的面积。一般用在作出的图线是直线的情况下；(3)等效法，即用机械能的增量或者pt等效代换变力的。

有两种类型的做功值得注意：

一是恒力(保守力)做功的特点：只与运动的初末位置有关，与具体过程无关；如重力、匀强电场中的电场力等；

一是耗散力：与具体路径有关，如摩擦力。当摩擦力大小一定时，摩擦力的功为fs。 如果物体的运动轨迹ab是一条曲线，力也是一个变力，则必须将ab分a 成很多无限小的小段，然后求每小段的功之和。这种求和一般要用到积分的知识，但在某△s △h 些情况下也有比较简单的结果，例如，质量为m的物体在重力的作用下从a点运动到b点，如图所示，取任意一个小段△s，它在重力方向上的投影为△h，重力在这一小段位移上做的b 功为mg△h,将所有小段的功加起来，即

W(a→b)=?mg?h=mg??h=mgh(a→b)

aabb可见，重力做功仅仅取决于质点初位置和终止位置，而与其★注意：功的定义式中S怎么取值？ 在求解功的问题时，有时遇到力的作用点位移与受力物体的等，S是取力的作用点的位移，还是取物体（质心）的位移呢？

运动路线无关。 （质心）位移不我们先看下面

一些事例。

1、如图所示，人用双手压在台面上推讲台，结果双手前进了一段位移而讲台未移动。试问：人是否做了功？

2、第二个图中，柔软绳子盘在一根光滑的直杆上，现用手握住绳子的一端，以恒定的水平速度v将绳子拉直。忽略地面阻力。求拉力做功时，S是否可以取绳子质心的位移？

3、人登静止的楼梯，从一楼到二楼。楼梯是否做功？ 4、如图所示，双手用等大反向的力F压固定汽缸两边的活塞，活塞移动相同距离S，汽缸中封闭气体被压缩。施力者（人）是否做功？

在以上四个事例中，S若取作用点位移，只有第1、2、4例是做功的（注意第3例，楼梯支持力的作用点并未移动，而只是在不停地交换作用点），S若取物体（受力者）质心位移，只有第2、3例是做功的，而且，尽管第2例都做了功，数字并不相同。

所以，用不同的判据得出的结论出现了本质的分歧。

面对这些似是而非的“疑难杂症”，我们先回到“做功是物体能量转化的量度”这一根本点。

第1例，手和讲台面摩擦生了热，内能的生成必然是由人的生物能转化而来，人肯定做了功。S宜取作用点的位移；第2例，求拉力的功，S取作用点位移为佳；第3例，楼梯不需要输出任何能量，不做功，S取作用点位移；第4例，气体内能的增加必然是由人输出的，压力做功，S取作用点位移。

但是，如果分别以上四例中的受力者用动能定理，第1例，人对讲台不做功，S取物体质心位移；第2例，动能增量对应S取L/2时的值——物体质心位移；第4例，气体宏观动能无增量，S取质心位移。（第3例的分析暂时延后。）

以上分析在援引理论知识方面都没有错，如何使它们统一？原来，功的概念有广义和狭义之分。在力学中，功的狭义概念仅指机械能转换的量度；而在物理学中功的广义概念指除热传递外的一切能量转换的量度。所以功也可定义为能量转换的量度。一个系统总能量的变化，常以系统对外做功的多少来量度。能量可以是机械能、电能、热能、化学能等各种形式，也可以多种形式的能量同时发生转化。由此可见，上面分析中，第一个理论对应的广义的功，第二个理论对应的则是狭义的功，它们都没有错误，只是在现阶段的教材中还没有将它们及时地区分开来而已。而且，我们不难归纳：求广义的功，S取作用点的位移；求狭义的功，S取物体（质心）位移。

那么我们在解题中如何处理呢？这里给大家几点建议： 1、抽象地讲“某某力做的功”一般指广义的功；2、讲“力对某物体做的功”常常指狭义的功；3、动能定理中的功肯定是指狭义的功。

思考：足够长的水平传送带维持匀速v运转。将一袋货物无初速地放上去，在货物达到速度v之前，与传送带的摩擦力大小为f ，对地的位移为S 。试问：求摩擦力的功时，是否可以用W = fS ？

提示：按一般的理解，这里应指广义的功（对应传送带引擎输出的能量），所以“位移”取作用点的位移。注意，在此处有一个隐含的“交换作用点”的问题，仔细分析，不难发现，每一个（相对皮带不动的）作用点的位移为2S 。（另解：求货物动能的增加和与皮带摩擦生热的总和。）故不能用W = fS。

思考：如图所示，人站在船上，通过拉一根固定在铁桩的缆绳使船靠岸。试问：缆绳是否对船和人的系统做功？

解：分析同上面的“第3例”。 2、功率

力所做的功与所用时间的比值，称为该力在这段时间内的平均功率，记为：P=W/t 若将W=Fscos?代入上式得：P=Fvcos?

讨论：若式中v用平均速度，则P为平均功率；若v为瞬时速度，则P为瞬时功率，其中?为F与v的夹角。

【例1】用锤子击钉，设木板对钉子的阻力跟钉子进入木板的深度成正比，每次击钉对钉子做的功相同，已知击第一次时，钉子进入板内1cm，则击第二次时，钉子进入木板的深度为多少？(0.41cm)

解析：

【例2】一支灌溉水枪需均匀喷撒半径为12米的农田，已知从4米深井里每分钟抽出80升水喷出，试求水泵的电机功率。(131W)

解析：

二、动能定理

对于单个质点，合外力对物体所做的功等于物体动能的增量，即 W合＝Ek2-Ek1

若研究对象是物体系，则动能定理可表示为：物体系动能增量，等于作用于物体系的所有引力和内力所做功的代数和。表示为

ΣEk2-ΣEk1=ΣW外+ΣW内

这里特别要注意到对质点系也要考虑内力做功的代数和，如内力是滑动摩擦力，这对滑动摩擦力所做的功总是负功，其绝对值恰等于滑动摩擦力与相对位移的乘积。即等于系统损失的机械能。而如内力是静摩擦力，则这对摩擦力所做的功总是等于零。

应用动能定理要注意全过程分析与分阶段分析。

【例3】总质量为M的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节质量为m的车厢中途脱节，司机发觉时，机车已行驶了L距离，于是立即关闭油门，撤去牵引力，设运动的阻力与质量成正比，且关闭油门

ML

前牵引力恒定，求最终拖车和卡车相隔的距离。( )

M-m

【例4】长为2L的线系住两个相同的小钢球，放在光滑的地板上，在m 图所示的水平恒力，求：

(1)钢球第一次相碰时，在与F垂直的方向上钢球对地的速度。 2L F (2)经若干次碰撞后，最后两球一直处于接触状态下运动，那么因碰撞量是多少？(解析：

【例5】一质量为m的小物体，放在半径为R的光滑半球顶上，相对静止，如图所示，现使半球面以加速度a=g/4匀加速向右运动，面时，离半球底面的距离h。(0.81R)

解析：

线中央作用如

而失去的总能

FL ,FL) m

m

初始时，它们间求物体离开球

【例6】一固定的斜面，倾角为?=45o，斜面长为L＝2.00m，在斜面下端有一斜面与垂直的挡板，一质量为m的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为0，质点沿斜面下滑到斜面最底端与档板发生弹性碰撞。已知质点与斜面间的动摩擦因数为? =0.20，试求此质点从开始运动到与挡板发生第11次碰撞的过程中运动的总路程。(1998年第15届预赛试题) (9.86m)

解析：

三、机械能、功能关系 1、势能

由相互作用的物体之间的相对位置或物体内部各部分间相对位置决定的能叫势能。

势能属于一个系统，系统能够具有势能的条件是，系统内存在一种保守力，该力做功只与系统内部物体的相对位置有关，而与物体位置变化的途径无关，故势能总与一种力对应。如重力对应重力势能，弹力对应弹性势能，分子力对应分子势能，电场力对应电势能等。

2、重力势能

物体由于被举高而具有的能量，叫重力势能。EP=mgh.

EP的大小是相对的，式中h是物体重心离零势面的高度。势能是属于物体和地球所共有。引力势能：MmEP=-G

r

3、弹性势能

1

物体因内部发生弹性形变而具有的势能，叫弹性势能。其表达式为EP=kx2 .

2

4、机械能

系统内各物体的动能和势能的总和叫机械能。是物体由于机械运动而具有的能。它属于一个系统。 5、机械能守恒定律

在只有重力(或弹力)做功的条件下，系统的动能和势能可以互相转换，但总的机械能保持不变。 定律的适用条件是：既没有外力做功又没有耗散内力做功，即只有重力或弹簧的弹力做功。系统可以受别的力，也可以有保守力做功。

6、功能关系

除重力或弹力外别的力(包括外力和耗散力)对系统做的功等于系统机械能的变化量。即对一个物体系而，设外力做的功为W外，内部非保守力做的功为W内非保，那么有

W外+W内非保=?EP+?Ek

功能原理适用于既有外力做功又有内部非保守力做的情况。

【例7】劲度系数为k的轻质弹簧水平放置，左端固定，右端连接一个质量为m的木块，开始时木块静止平衡于某一位置，木块与水平面之间的动摩擦因数为?，然后加一个水平向右的恒力于木块上。 k F m (1)要保证在任何情况下都能拉动木块，些恒力F不得小于多少？

?mg3?mg

(2)用这个力F拉木块，当木块的速度再次为零时，弹簧可能的伸长量是多少？( ≤x≤ )

kk解析：

【例8】如图所示，露天娱乐场的空中列车由多节质同车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一的中圆形光滑轨道，若列车全长L=4πR，R远大于每一节车度，整个列车刚好能通过光滑圆轨道，两节车厢间的相互

一节车厢的重力，求第一节车厢到达最高点时对轨道的压力。(mg/2)

解析：

【例9】如图所示，长为L的细绳上端固定在天花板上靠近墙壁的O 质量为m的小球，竖直悬挂起来，A点是平衡时小球的位置，现保持绳

L A点拉开到绳水平的位置B，然后在OA连线上于墙上固定一细长的钉

量均为m的相半径为R的空厢的长度和高作用力远小于

L B O点，下端系一绷直，将小球从子于某点，问下

6列两种情况下，钉子到悬点O的距离各是多少？(3L/5，L-L) 3(1)将球释放后，绳被钉子挡住，以钉子O1为圆心做圆周运动。 (2)将球释放后，绳被钉子O2挡住，小球刚好能击中钉子。 解：

A

【例10】如图所示，A、B、C三物块质量均为m，置于光滑水平台面上。B、C间夹有原已完全压紧不能再压缩的弹簧，两物块用细绳相连，使弹簧不能伸展。物块A以初速度v0沿B、C连线方向向B运动，相碰后，A与B粘合在一起。然后连接B、C的细绳因受扰动而突然断开，弹簧伸展，从而使C与A、B分离。脱离弹簧后C的速度为v0.

(1)求弹簧所释放的势能△E． (2)若更换B、C间的弹簧，当物块A以初速v向B运动，物块CA B C v0 m m m

在脱离弹簧后的速度为2v0，则弹簧所释放的势能△E'是多少？

(3)若情况(2)中的弹簧与情况(1)中的弹簧相同，为使物块C在脱离弹簧后的速度仍为2v0，则A的初

12m速v应为多大？(1)mv0；(2)(v?6v0)2；(3)v3=4v0.

312

四、冲量和动量 1、冲量

冲量是力对时间的积累效应，如果一个恒力F作用在一个物体上，作用时间为t，那么力在这段时间内的冲量为：I=Ft。方向与力F的方向相同。

如果作用力是一个变力，由必须将时间分成很多无限小的小段，分别计算出每一小段时间内的冲量，然后求这些冲量之和，这里要注意的是，冲量是一个矢量，应该求各小段时间内冲量的矢量和。

2、质点动量定理

I=mv2-mv1

式中v1、v2分别为起始时刻和终了时刻的速度。注意这是一个矢量方程式，通常可以分方向列式，有 Ix= mvx2-mvx1 Iy= mvy2-mvy1 Iz= mvz2-mvz1

注意：动量定理与动能定理在解题中的应用，如下题：

太空飞船在宇宙飞行时，和其它天体的万有引力可以忽略，但是，飞船会定时遇到太空垃圾的碰撞而受到阻碍作用。设单位体积的太空均匀分布垃圾n颗，每颗的平均质量为m ，垃圾的运行速度可以忽略。飞船维持恒定的速率v飞行，垂直速度方向的横截面积为S ，与太空垃圾的碰撞后，将垃圾完全粘附住。试求飞船引擎所应提供的平均推力F 。

分析：太空垃圾的分布并不是连续的，对飞船的撞击也不连续，如何正确选取研究对象，是本题的前提。建议充分理解“平均”的含义，这样才能相对模糊地处理垃圾与飞船的作用过程、淡化“作用时间”和所考查的“物理过程时间”的差异。物理过程需要人为截取，对象是太空垃圾。

先用动量定理推论解题。

取一段时间Δt ，在这段时间内，飞船要穿过体积ΔV = S·vΔt的空间，遭遇nΔV颗太空垃圾，使它们获得动量ΔP ，其动量变化率即是飞船应给予那部分垃圾的推力，也即飞船引擎的推力。

F =

?P?M?vm?n?V?vm?nSv?t?v = = = = nmSv2 ?t?t?t?t如果用动能定理，能不能解题呢？

同样针对上面的物理过程，由于飞船要前进x = vΔt的位移，引擎推力F须做功W = Fx ，它对应飞船和被粘附的垃圾的动能增量，而飞船的ΔEk为零，所以：

11ΔMv2 即：FvΔt = （n m S·vΔt）v2 221得到：F = nmSv2

2W =

两个结果不一致，不可能都是正确的。分析动能定理的解题，我们不能发现，垃圾与飞船的碰撞是完全非弹性的，需要消耗大量的机械能，因此，认为“引擎做功就等于垃圾动能增加”的观点是错误的。但

在动量定理的解题中，由于I = Ft ，由此推出的F =?P/?t必然是飞船对垃圾的平均推力，再对飞船用平衡条件，F的大小就是引擎推力大小了。这个解没有毛病可挑，是正确的。

【例11】一枚质量为M的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止，如果喷出气体的速度为v，那么

1

火箭发动机的功率是多少？(Mgv )

2解析：

【例12】如图所示，长为L、线密度为ρ的链条由图示位置从静止开端距地面为h)，试求链条落地过程中地面的支持力。

[2h+3(L-x)]ρg 解析：

L 始自由下落(底

h

扩展：长为L、总质量为m的柔软绳索放在水平台上，用手将绳索的一端以恒定速率v0向上提起，求

mgm

当提起高度为x时手的提力。(F=x +v02 )

LL

【例13】一根均匀柔软绳长为L，质量为m，对折后两端固定在一个端突然从钉子上脱落，求下落的绳端点离钉子的距离为x时，钉子对绳子

13x

力是多少？mg(1+)

2L

解析：

x 钉子上。其中一另一端的作用

3、质点系动量定理

对质点系同样有：I外=P2-P1

即质点系所有外力提供的总冲量等于质点系总动量的增量。

【例14】质量为M的金属块和质量为m的木块用细线连在一起，从静止开始以加速度a在水中加速下沉，经时间t1，细线断了，求：

(1)再经时间t2，木块刚好停止下沉，此时金属块下沉的速度v为多大？

(2)细线断开后，再时间t3，金属块下沉速度为v1，木块此时的速度u多大？(设题目所求范围内，金

(M+m)a(t1+t2)(M+m)a(t1+t2)-Mv

属块与木块既没有沉入水底，也没有浮出水面，不计水的阻力) ,

Mm

解析：

【例15】质量为别为m1、m2、m3的三个质点A、B、C位桌面上，用已拉直的不可伸长的柔软细绳AB和BC连接，角? 为一锐角，如图所示，今有一冲量为J的冲击力沿BC方向作

m1 求质点A开始运动时的速度。

A Jm2cos?

(vA= ，方向沿AB方向)

m2(m1+m2+m3)+m1m3sin2?

解析：

【例16】如图所示，四个质量均为m的质点，用同样长轻绳联结成菱形ABCD，静止放在水平光滑的桌面上。若突个历时极时沿CA方向的冲击，当冲击结束的时刻，质点A

A 他质点也获得一定速度，∠BAD=2?(?

4mV

(mV+2mVD1+mVC= )

1+2sin2?

解析：

m3 C

m2 B ? 于光滑的水平ABC为π-?，用于C质点，

D 2? 且不可伸长的然给质点A一的速度为V，其C

受冲击后所具

B

4、动量守恒定律

当质点系所受外力的总冲量为零时，质点系的动量守恒，即

P1=P2

注意：动量守恒定律是一个矢量式，同样可以分方向列式。 5、弹性碰撞

碰撞是两个质点之间的相互作用，因为一般碰撞过程很短暂，两质点互相碰撞的力相对其它作用力来说要大得多，因此常可忽略碰撞期间其它力的作用，于是由相互碰撞的两个质点组成的动量守恒。

对于弹性碰撞，除了动量守恒外，碰撞过程中动能也保持不变。因此有

m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2' 1111

m1v12 +m2v22 =m1v1'2 + m2v2'2 2222

以上两个方程可得：

①v2-v1=v1'-v2'，此式说明，碰撞前m2趋近于m1的速度等于碰撞后m1远离m2的速度，即碰撞前后两物体的相对速度不变。

②碰后速度分别为

(m1-m2)v1+2m2v2(m2-m1)v2+2m1v1v1'= ，v2'=

m1+m2m1+m2讨论：

(1)当m1=m2时，v1'=v2，v2'=v1.即两球碰后交换速度。

(2)当m2>>m1，且v2=0时，v1'=-v1，v2'=0，即m1被弹回。

(3)当m1>>m2，且v2=0时时，v1'≈v1，v2'≈2v1，即m1速度不变，m2以2倍v1前进。

对于非弹性碰撞，如果碰撞后两个物体的速度相同(即一起运动)，这种碰撞叫完全非弹性碰撞，由动量守恒有，碰撞后速度为

m1v1+m2v2v1'=v2'=

m1+m2

为了区别碰撞的性质，引入恢复系数e，定义为分离速度和接近速度的比值： v2'-v1'e= v1-v2将此定义与动量守恒结合起来，可得：

m2(v1-v2)m1(v2-v1)

v1'=v1-(1+e) ，v2'=v2-(1+e)

m1+m2m1+m2

完全弹性碰撞中，e=1，完全非弹性碰撞中，e=0，当0

一般碰撞后质点系机械能的损失为：

1m1m2△E=(1-e2)(v1-v2)2

2m1+m2

由上式可看出，e越小，碰撞前相对速度越大，碰撞中能量损失就越多。 6、范性过程

范性过程是指两个物体碰撞后连在一起运动了，其它还有一些类型的两个物体的相互作用，其特征和范性碰撞类似，即相互作用后两个物体速度相同了。

范性过程可长可短，范性过程中两个物体的相互作用力可以是各种性质的力，例如：弹力、摩擦力、万有引力、库仑力等。范性过程中动量守恒，动能不守恒。

7、动量守恒定律的推广

由于一个质点在不受外力的作用时，它的总动量是守恒的，所以一个质点系的内力不能改变它质心的

运动状态，这个讨论包含三层含意：

(1)如果一个质点系的质心原来是不动的，那么在无外力作用的条件下，它的质心始终不动，即位置不变。

(2)如果一个质点系的质心原来是运动的，那么在无外力作用的条件下，这个质心系的将以原来的速度做匀速直线运动。

(3)如果一个质点系的质心在某一外力作用下做某种运动，那么内力不能改变质心的这种运动。比如某一物体原来做抛体运动，如果突然炸成两块，那么这两块物体的质心仍然继续做原来的抛体运动。 B R 【例17】如果一个质量为mA的半圆形槽A原来静止在水平面上，圆槽半径为R，将一个质量为mB的滑块B由静止释放，若不计一切摩擦，问A的最大A 位移为多少？2mBR

mA+mB

解析：

【例18】如图，甲、乙两小孩子各乘一辆冰车在水平冰面上游戏。甲和他的冰车质量共为M=30kg，乙和他的冰车质量也是M=30kg。游戏时，甲推着一个质量为m=15kg的箱子，和他一起以大小为v0=2.0m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来。为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住。若不考虑冰面的摩擦力，求

(1)甲至少要以多大的速度(相对于地面)将箱子推出，才能避免与乙相撞。(5.2m/s) (2)甲在推出箱子时对箱子做了多少功？(1.7?102J) 解析：

【例19】如图所示，在光滑水平面上有一静止的劈形木块A，质量为M，一质量为m的小球，沿水平方向以速度v碰撞木块A，碰后小球被竖直向上弹起，若碰

v v2M-m

撞中没有机械能的损失，求小球被弹起的高度。(× ) A 2gM

【例20】如图所示,在光滑的水平面上沿着一条直线有一定V 间隔地排列着1、2、3、.??、N共N个大小相同的小球,除

2 1 N 3 第一个小球的质量为3M外,其它球的质量均为m,当给小球1一个冲量得到速度V去对心碰撞球2,若在碰撞时均无机械能损失,求各球不能再碰撞时,球1,球2,球N的速度各为多大? （解析：

【例21】如图所示，一水平放置的圆环形刚性窄槽固定在桌面上，

Ⅲ Ⅱ m3 m2 大小相同的刚性小球，它们的质量分别是m1、m2、m3，m2=m3=2m1，小

刚好接触且无摩擦，开始进，三个小球处于等间距的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个位

m1 v0 静止，m1以初速度v0=πR/2(v0=?0R，其中?0=π/2 rad/s)沿槽运动，R为圆

Ⅰ 球半径之和。设各球之间的碰撞皆为弹性碰撞。求此系统的运动周期T。

解析：

3N-1）V 2槽内嵌着三个球与槽的两壁置，m2、m3环内半径与小(T=20s)

【例22】质量为M的滑块有两段长度为L且相互连通的光BC，开始时静置于光滑水平面上，连接处是光滑圆弧，AB与水角，BC为水平方向，如图所示。将一质量为m的光滑小球放入止开始下滑。试求：小球经过多少时间后由C滑出？(设小球在忽略)。

解析：

A ? B C 滑直轨道AB和平面成?=60?A，让它自由静B处拐弯时间可

L(4M+3m+M)

3(M+m)g

【例23】有一块质量和线度足够大的水平板，绕竖直轴以匀角速度?转动。在板上方h高处有一群相同的小球(可视为质点)，它们以板的旋转轴为中心、R为半径均匀地在水平面内排成一个圆圈。现让这群小球同时由静止开始下落，设每个球与平板发生碰撞的时间非常短，而且碰撞前后小球在竖直方向上速度的大小不变，仅是方向反向，而在水平方向上则会产生摩擦，动摩擦因数为?。

(1)试求这群小球第二次和第一次与平板碰撞时，单位长度上小球个数之比k1；

1?g(2)如果R<2(g为重力加速度)，而且k1=，试这群小球第三次和第一次与平板碰撞时，单位长度

?2上小球个数之比k2。

解析：

1???(2?2gh??R)?2?1?(8?h/R)k1=? k2=?2/?=R/R2=1/2

1???(2?2gh??R)?1?(8?2h/g)2?【例24】如图所示，两根长度均为L的刚性轻杆，一端通m 球形铰链连接，另一端分别与质量为m和2m的小球相连。将此L L 拢，铰链在上、竖直地放在水平桌面上，然后轻敲一下，使两小

m 2m 但两杆始终保持在竖直平面内。忽略一切摩擦，试求：两杆夹角为2m的小球的速度v2 。(v2 =

解析：

3gL(2?2))

20过质量为m的装置的两杆合v2 球向两边滑动，

为90°时，质量

【例25】如图所示，一个质量为M ，半径为R的光滑均质半球，静置于光滑水平桌面上，在球顶有一个质量为m的质点，由静止开始沿球面下滑。试求：

(1)质点离开球面以前的轨迹。 m M (2) 当质点m滑到方位角θ时（未脱离半球），质点的速度v的大小、方向怎样？ R (3)?角时，小球绕球心的角速度?。 解析：

x2y22gR(1?cos?)(M2?2Mmsin2??m2sin2?)(1)+2 = 1；(2)v1 = 22MM?Mm?m(M?m)sin?R2(R)M?m(3) ω =

v相R =

2g(m?M)(1?cos?) 2R(M?msin?)第三讲 能量和动量

知识要点：功和功率。动能和动能定理。重力势能。引力势能。质点及均匀球壳壳内和壳外的引力势能公式（不要求导出）。弹簧的弹性势能。功能原理。机械能守恒定律。碰撞。冲量。动量。动量定理。动量守恒定律。反冲运动及火箭。

一、功和功率 1、功

功的定义式：物体(可看作质点)在恒力的作用下产生了位移，则力F对物体所做的功为： W=FScos?

功有正负之分，正功和负功的物理意义必须从与做功相联系的能量转化角度去理解。

注意：当不能把物体当作质点处理时，物体的位移与力的作用点的位移是不相等的，这时公式中的S理解为力的作用点的位移 。

特别是在绳子牵引之类的问题，要注意作用点的位移。

功的定义式中力应为恒力。如F为变力，则可以采用如下方法处理：(1)微元法，即把变力做功转化为恒力做功，如讨论向心力对物体不做功时就用这个方法；(2)图像法，即作出力F与位移变化的图像，求出图线与位移轴之间所围的面积。一般用在作出的图线是直线的情况下；(3)等效法，即用机械能的增量或者pt等效代换变力的。

有两种类型的做功值得注意：

一是恒力(保守力)做功的特点：只与运动的初末位置有关，与具体过程无关；如重力、匀强电场中的电场力等；

一是耗散力：与具体路径有关，如摩擦力。当摩擦力大小一定时，摩擦力的功为fs。

a 成很多无限小如果物体的运动轨迹ab是一条曲线，力也是一个变力，则必须将ab分

的小段，然后求每小段的功之和。这种求和一般要用到积分的知识，但在某△s △h 些情况下也有比较简单的结果，例如，质量为m的物体在重力的作用下从a点运动到b点，如图所示，取任意一个小段△s，它在重力方向上的投影为△h，重力在这一小段位移上做的b 功为mg△h,将所有小段的功加起来，即

W(a→b)=?mg?h=mg??h=mgh(a→b)

aabb可见，重力做功仅仅取决于质点初位置和终止位置，而与其★注意：功的定义式中S怎么取值？ 在求解功的问题时，有时遇到力的作用点位移与受力物体的等，S是取力的作用点的位移，还是取物体（质心）的位移呢？一些事例。

1、如图所示，人用双手压在台面上推讲台，结果双手前进讲台未移动。试问：人是否做了功？

2、第二个图中，柔软绳子盘在一根光滑的直杆上，现用手端，以恒定的水平速度v将绳子拉直。忽略地面阻力。求拉力做以取绳子质心的位移？

3、人登静止的楼梯，从一楼到二楼。楼梯是否做功？ 4、如图所示，双手用等大反向的力F压固定汽缸两边的活

运动路线无关。 （质心）位移不我们先看下面

了一段位移而握住绳子的一功时，S是否可

塞，活塞移动相同距离S，汽缸中封闭气体被压缩。施力者（人）是否做功？

在以上四个事例中，S若取作用点位移，只有第1、2、4例是做功的（注意第3例，楼梯支持力的作用点并未移动，而只是在不停地交换作用点），S若取物体（受力者）质心位移，只有第2、3例是做功的，而且，尽管第2例都做了功，数字并不相同。所以，用不同的判据得出的结论出现了本质的分歧。

面对这些似是而非的“疑难杂症”，我们先回到“做功是物体能量转化的量度”这一根本点。

第1例，手和讲台面摩擦生了热，内能的生成必然是由人的生物能转化而来，人肯定做了功。S宜取作用点的位移；第2例，求拉力的功，S取作用点位移为佳；第3例，楼梯不需要输出任何能量，不做功，S取作用点位移；第4例，气体内能的增加必然是由人输出的，压力做功，S取作用点位移。

但是，如果分别以上四例中的受力者用动能定理，第1例，人对讲台不做功，S取物体质心位移；第2例，动能增量对应S取L/2时的值——物体质心位移；第4例，气体宏观动能无增量，S取质心位移。（第3例的分析暂时延后。）

以上分析在援引理论知识方面都没有错，如何使它们统一？原来，功的概念有广义和狭义之分。在力学中，功的狭义概念仅指机械能转换的量度；而在物理学中功的广义概念指除热传递外的一切能量转换的量度。所以功也可定义为能量转换的量度。一个系统总能量的变化，常以系统对外做功的多少来量度。能量可以是机械能、电能、热能、化学能等各种形式，也可以多种形式的能量同时发生转化。由此可见，上面分析中，第一个理论对应的广义的功，第二个理论对应的则是狭义的功，它们都没有错误，只是在现阶段的教材中还没有将它们及时地区分开来而已。而且，我们不难归纳：求广义的功，S取作用点的位移；求狭义的功，S取物体（质心）位移。

那么我们在解题中如何处理呢？这里给大家几点建议： 1、抽象地讲“某某力做的功”一般指广义的功；2、讲“力对某物体做的功”常常指狭义的功；3、动能定理中的功肯定是指狭义的功。

思考：足够长的水平传送带维持匀速v运转。将一袋货物无初速地放上去，在货物达到速度v之前，与传送带的摩擦力大小为f ，对地的位移为S 。试问：求摩擦力的功时，是否可以用W = fS ？

提示：按一般的理解，这里应指广义的功（对应传送带引擎输出的能量），所以“位移”取作用点的位移。注意，在此处有一个隐含的“交换作用点”的问题，仔细分析，不难发现，每一个（相对皮带不动的）作用点的位移为2S 。（另解：求货物动能的增加和与皮带摩擦生热的总和。）故不能用W = fS。

思考：如图所示，人站在船上，通过拉一根固定在铁桩的缆绳使船靠岸。试问：缆绳是否对船和人的系统做功？

解：分析同上面的“第3例”。

2、功率

力所做的功与所用时间的比值，称为该力在这段时间内的平均功率，记为：P=W/t 若将W=Fscos?代入上式得：P=Fvcos?

讨论：若式中v用平均速度，则P为平均功率；若v为瞬时速度，则P为瞬时功率，其中?为F与v的夹角。

【例1】用锤子击钉，设木板对钉子的阻力跟钉子进入木板的深度成正比，每次击钉对钉子做的功相同，已知击第一次时，钉子进入板内1cm，则击第二次时，钉子进入木板的深度为多少？

解析：木板对钉子阻力的大小随进入深度的增加而增大，因而为变力，但该变力与进入深度成正比，因而可得用图象法处理这个变力的功。

设木板对钉子的阻力为f=kx，x为钉子进入木板的深度，k为比例系数，作出f-x图象如图所示。第一次钉进x1，则有

0+kx11f W1＝?x1=kx12

22

第二次击钉后，钉子进入深度为x2，则有

x1

x x2

kx1+kx21W2＝(x2-x1)=k(x22-x12)

22由W1＝W2，代入数据得：

x2=2 x1=1.41cm

所以击第二次钉后钉子进入的深度为 △x=x2-x1=0.41cm

【例2】一支灌溉水枪需均匀喷撒半径为12米的农田，已知从4米深井里每分钟抽出80升水喷出，试求水泵的电机功率。

解析：在一段时间内，水泵的电机所做的功，一部分使这段时间内的水从井口提升到陆地上增加这部分水的势能，另一方面使这部分水以一定的动能喷出。

水从水管喷出后做斜上抛运动，当喷射角?=45o时，斜抛运动的射程最大，即有 R＝v0cos?t

0=v0sin?-g?t/2

把?=45o代入得：v0=gR 因而，喷射水的功率为

11

mv02×80×1×(12×9.8)22P2＝ =78.4W

t60

所以水泵的电机功率为 P＝P1+P2＝131W 二、动能定理

对于单个质点，合外力对物体所做的功等于物体动能的增量，即 W合＝Ek2-Ek1

若研究对象是物体系，则动能定理可表示为：物体系动能增量，等于作用于物体系的所有引力和内力所做功的代数和。表示为

ΣEk2-ΣEk1=ΣW外+ΣW内

这里特别要注意到对质点系也要考虑内力做功的代数和，如内力是滑动摩擦力，这对滑动摩擦力所做的功总是负功，其绝对值恰等于滑动摩擦力与相对位移的乘积。即等于系统损失的机械能。而如内力是静摩擦力，则这对摩擦力所做的功总是等于零。

应用动能定理要注意全过程分析与分阶段分析。

【例3】总质量为M的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节质量为m的车厢中途脱节，司机发觉时，机车已行驶了L距离，于是立即关闭油门，撤去牵引力，设运动的阻力与质量成正比，且关闭油门前牵引力恒定，求最终拖车和卡车相隔的距离。

解析：脱钩后机车先估匀加速运动，后做匀减速运动到静止，拖车一下减速到静止。如果分别知道脱钩后两车运动的距离，就能求出最终拖车和卡车相隔的距离。

法一：画出运动过程草图，用动能定理分别对机车和拖车列出方程

1

对机车：FL-K(M-m)gS1=0-(M-m)v2

2

1

对末节车厢：-KmgS2=0-mv2

2由脱节前列车匀速运动得：F-KMg=0

ML

联立解得：△S=S1-S2=

M-m法二：牛顿运动定律法 法三：图象法 法四：能量守恒法

若末节车厢脱钩时关闭油门，则两部分停止时的距离为零，脱钩后牵引力的功为 W=FL=kMgL

W全部用于增大机车向前运动的距离，故由功能关系得

ML

kMgL=K(M-m)△S，得：△S=S1-S2=

M-m

【例4】长为2L的线系住两个相同的小钢球，放在光滑的地板上，在m 图所示的水平恒力，求：

(1)钢球第一次相碰时，在与F垂直的方向上钢球对地的速度。 2L F (2)经若干次碰撞后，最后两球一直处于接触状态下运动，那么因碰撞

m

量是多少？ m 解析：钢球对地的运动是一个曲线运动，细绳对钢球拉力的大小发生变化，因此，用牛顿定律来处理是行不通的，考虑取两个球组成象，易知内力所做的功的代数和为零。 ay T (1)设m沿F的方向运动x长度时，钢球第一次相撞，此时力Fax (x+L)，两球第一次接触时，除有水平方向的速度外，还有绕O点的瞬的vy，由动能定理得：

1

F(L+x)=2?m(vx2+vy2) =mvx2+mvy2

2

对系统，在力F方向上根据牛顿第二定律和运动学关系得： F=2max vx2=2ax?x 联立得：vy=

FL m

和方向都时刻在的系统为研究对的作用点拉过时速度，即所示线中央作用如

而失去的总能

F (2)最后两球一起处于静止状态，因而失了垂直于F方向的速度，故

1

△Ek=2?mvy2 =FL

2

【例5】一质量为m的小物体，放在半径为R的光滑半球顶上，初始时，它们间相对静止，如图所示，现使半球面以加速度a=g/4匀加速向右运动，求物体离开球面时，离半球底面的距离h。

解析：物体沿球面滑下，当物体与半球面之间的相互作用力为零时，物体将要脱离半球面，如在半球面为参考系，物体将要脱离球面时，受重力和惯性力F=ma作用，如图所示，将要脱离时，根据牛顿第二定律有

v2

F mgcos?-Fsin?=m

R

mg 由惯性系中的动能定理得

1

mg(R-h)+FRsin?= mv2

2由几何关系得：cos?=h/R,sin?=联立解得：

153h2-192Rh+55R2=0 h1=0.81R，h2=0.44R

根据物理过程可知，当m位于h2=0.44R时，物体早已脱离半球面的约束了，所以h2是增根，应该舍去。

【例6】一固定的斜面，倾角为?=45o，斜面长为L＝2.00m，在斜面下端有一斜面与垂直的挡板，一

R2-h2 R

质量为m的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为0，质点沿斜面下滑到斜面最底端与档板发生弹性碰撞。已知质点与斜面间的动摩擦因数为? =0.20，试求此质点从开始运动到与挡板发生第11次碰撞的过程中运动的总路程。(1998年第15届预赛试题)

解析：由于碰撞时无动能损失，故运动过程中只有重力和摩擦力做功。每次碰撞后质点上滑的最大高度都比原来小，如果找出高度递减的规律，即可利用数学知识求出运动的总路程。

质点在斜面上滑动的过程中，受到摩擦力大小为：f=?mgcos? 设质点第一第一次与挡板碰撞时的速率为v1，由动能定理得到

1

mgLsin?-?mgLcos?=mv12 ??①

2

质点与挡板碰撞后以速率v1开始沿斜面上滑，设上滑的最大距离为L1，则有

1

mgLsin?+?mgL1cos?=mv12 ??②

2L1sin?-?cos?2

由①②得： = =

L sin?+?cos?3

L22

同理可得出第二次碰后上滑的最大距离L2与L1的关系是： =

L132

所以，L2=( )2L

3

2

第10次上碰后滑上的最大距离为L10=( )10L

3因此第11碰撞前运动的总距离为 S=L+2L1+2L2+??+2L10

222

=L+2L[( )1+( )2+??+( )10]

333210

-123

=L{1+2[] }=9.86m

32

-13

三、机械能、功能关系 1、势能

由相互作用的物体之间的相对位置或物体内部各部分间相对位置决定的能叫势能。

势能属于一个系统，系统能够具有势能的条件是，系统内存在一种保守力，该力做功只与系统内部物体的相对位置有关，而与物体位置变化的途径无关，故势能总与一种力对应。

如重力对应重力势能，弹力对应弹性势能，分子力对应分子势能，电场力对应电势能等。 2、重力势能

物体由于被举高而具有的能量，叫重力势能。EP=mgh.

EP的大小是相对的，式中h是物体重心离零势面的高度。势能是属于物体和地球所共有。

Mm

引力势能：EP=-G

r

3、弹性势能

1

物体因内部发生弹性形变而具有的势能，叫弹性势能。其表达式为EP=kx2 .

2

4、机械能

系统内各物体的动能和势能的总和叫机械能。是物体由于机械运动而具有的能。它属于一个系统。 5、机械能守恒定律

在只有重力(或弹力)做功的条件下，系统的动能和势能可以互相转换，但总的机械能保持不变。

定律的适用条件是：既没有外力做功又没有耗散内力做功，即只有重力或弹簧的弹力做功。系统可以受别的力，也可以有保守力做功。

6、功能关系

除重力或弹力外别的力(包括外力和耗散力)对系统做的功等于系统机械能的变化量。即对一个物体系而，设外力做的功为W外，内部非保守力做的功为W内非保，那么有

W外+W内非保=?EP+?Ek

功能原理适用于既有外力做功又有内部非保守力做的情况。

【例7】劲度系数为k的轻质弹簧水平放置，左端固定，右端连接一个质量为m的木块，开始时木块静止平衡于某一位置，木块与水平面之间的动摩擦因数为?，然后加一个水平向右的恒力于木块上。 k F m (1)要保证在任何情况下都能拉动木块，些恒力F不得小于多少？

(2)用这个力F拉木块，当木块的速度再次为零时，弹簧可能的伸长量是多少？

解析：设物体的初始位置为x0，在向右的恒力F作用下，物体到达x处速度再次为零，在此过程中，外部有力F做功，内部有非保守力f做功，木块的动能增量为零，所以根据物体系的功能原理有

11

F(x-x0)-?mg(x-x0)=kx2 - kx02

22

1

F-?mg=k(x+x0)

22(F-?mg)

可得：x=-x0

k

?mg?mg

因为木块一开始静止，所以要求：- ≤x0≤ kk可见，当木块再次静止时，弹簧可能的伸长是 ?mg3?mg

≤x≤ kk

【例8】如图所示，露天娱乐场的空中列车由多节质同车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一的中圆形光滑轨道，若列车全长L=4πR，R远大于每一节车度，整个列车刚好能通过光滑圆轨道，两节车厢间的相互

一节车厢的重力，求第一节车厢到达最高点时对轨道的压力。

解析：车厢刚好分布轨道时，列车在轨道上势能最大，此时速度最小，设最小速度为通过轨道，在最高点的一节列车须满足

v2

mg=m 得：v2=gR

R

列车的总质量为M，由机械能守恒得： 11

MgR =M(v02-v2) 22故列车的初速度为：v0=2gR

第一节车厢到最高点速度为v1，由机械能守恒得 113MgR =M(v02-v12) 得：v12=gR 422v12第一节车厢在最高点有：mg+N=m

Rv12

故：N=m -mg=mg/2

R

【例9】如图所示，长为L的细绳上端固定在天花板上靠近墙壁的O 量均为m的相半径为R的空厢的长度和高作用力远小于v，要列车安全

L B O点，下端系一L A 质量为m的小球，竖直悬挂起来，A点是平衡时小球的位置，现保持绳绷直，将小球从A点拉开到绳水平的位置B，然后在OA连线上于墙上固定一细长的钉子于某点，问下列两种情况下，钉子到悬点O的距离各是多少？

(1)将球释放后，绳被钉子挡住，以钉子O1为圆心做圆周运动。 (2)将球释放后，绳被钉子O2挡住，小球刚好能击中钉子。

解析：(1)取小球、地球为一系统，设钉子到悬点的距离O1O=x1，小球绕O1刚好能做圆周运动，其半径为R1，以小球圆周运动的最高点C为重力势能零点，则小球从A摆动到C的过程中，机械能守恒有

1vc22

mg(L-2R1)= mvc ，mg=m ，x1=L-R1

2R得x1=3L/5

即钉子到悬点的距离至少为3L/5。

(2)取小球、地球为一系统，设小球绕O2刚好能击中钉子，且绕钉子做圆周运动时半径为R2，钉子到悬点的距离为O2O=x2，当小球做圆周运动到D点时速为vd，O2D与O2O间夹角为?，这时绳中拉力刚好为零，并取D点为重力势能零点，则小球从B摆动到D的过程中机械能守恒

1vd22

mg(L-R2-R2cos?)=mvd ，mgcos?=m

2R

此后小球做斜上抛运动，设从D到击中O2的时间为t，则有 -R2cos?=vdsin?t-gt2/2

R2sin?=vdcos?t 由此解得：R2=

6L 3x2=L-R2=L-

6L 3即钉子O2到悬点O的距离为L-

6L 3【例10】如图所示，A、B、C三物块质量均为m，置于光滑水平台面上。B、C间夹有原已完全压紧不能再压缩的弹簧，两物块用细绳相连，使弹簧不能伸展。物块A以初速度v0沿B、C连线方向向B运动，相碰后，A与B粘合在一起。然后连接B、C的细绳因受扰动而突然断开，弹簧伸展，从而使C与A、B分离。脱离弹簧后C的速度为v0.

(1)求弹簧所释放的势能△E． (2)若更换B、C间的弹簧，当物块A以初速v向B运动，物块CA B C v0 在脱离弹簧后的速度为2v0，则弹簧所释放的势能△E'是多少？ m m m (3)若情况(2)中的弹簧与情况(1)中的弹簧相同，为使物块C在脱离弹簧后的速度仍为2v0，则A的初速v应为多大？

12m参考答案：(1)mv0；(2)(v?6v0)2；(3)v3=4v0.

312四、冲量和动量

m2(v1-v2)m1(v2-v1)

v1'=v1-(1+e) ，v2'=v2-(1+e)

m1+m2m1+m2

完全弹性碰撞中，e=1，完全非弹性碰撞中，e=0，当0

一般碰撞后质点系机械能的损失为：

1m1m2△E=(1-e2)(v1-v2)2

2m1+m2

由上式可看出，e越小，碰撞前相对速度越大，碰撞中能量损失就越多。 6、范性过程

范性过程是指两个物体碰撞后连在一起运动了，其它还有一些类型的两个物体的相互作用，其特征和范性碰撞类似，即相互作用后两个物体速度相同了。

范性过程可长可短，范性过程中两个物体的相互作用力可以是各种性质的力，例如：弹力、摩擦力、万有引力、库仑力等。范性过程中动量守恒，动能不守恒。

7、动量守恒定律的推广

由于一个质点在不受外力的作用时，它的总动量是守恒的，所以一个质点系的内力不能改变它质心的运动状态，这个讨论包含三层含意：

(1)如果一个质点系的质心原来是不动的，那么在无外力作用的条件下，它的质心始终不动，即位置不变。

(2)如果一个质点系的质心原来是运动的，那么在无外力作用的条件下，这个质心系的将以原来的速度做匀速直线运动。

(3)如果一个质点系的质心在某一外力作用下做某种运动，那么内力不能改变质心的这种运动。比如某一物体原来做抛体运动，如果突然炸成两块，那么这两块物体的质心仍然继续做原来的抛体运动。 B R 【例17】如果一个质量为mA的半圆形槽A原来静止在水平面上，圆槽半径为R，将一个质量为mB的滑块B由静止释放，若不计一切摩擦，问A的最大A 位移为多少？

解析：由水平方向动量守恒和机械能守恒定律可知，B瑄能到达槽A右边的最高端，而且这一瞬间A、B相对静止，因为A、B组成的体系原来在水平方向的动量为零，所以它的质心位

mB置应该不变。初始状态A、B的质心离圆槽最低点的水平距离为s=R ，所以B滑动槽A的右边最

mA+mB高点时，A的位移为

2mB2s=R mA+mB

讨论：如果原来A、B一起以速度v向右运动，用胶水将B粘端，某一时刻胶水突然失效，B开始滑落，仍然忽略一切摩擦，设再次与A相对静止的时间是t，那么这段时间内A运动了多少距

B脱离后，A开始做变加速运动，但A、B两物体的质心仍然运动，所以在t内A运动的距离为

2mBL=vt-R

mA+mB

B x A x A B 在槽A左上从B脱落到B离？

以速度v向右

【例18】如图，甲、乙两小孩子各乘一辆冰车在水平冰面上游戏。甲和他的冰车质量共为M=30kg，乙和他的冰车质量也是M=30kg。游戏时，甲推着一个质量为m=15kg的箱子，和他一起以大小为v0=2.0m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来。为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住。若不考虑冰面的摩擦力，求

(1)甲至少要以多大的速度(相对于地面)将箱子推出，才能避免与乙相撞。 (2)甲在推出箱子时对箱子做了多少功？

解析：设甲推出箱子后，箱子速度为v，甲的速度为v1，乙接住箱子后的速度为v2，要使甲、乙避免

相撞，至少应满足：

v1=v2

(1)以甲开始推箱子时速度v0方向为参考方向

甲推箱子过程中，甲(包括冰车)与箱子构成的系统水平方向上动量守恒，得 (M+m)v0=Mv1+mv

乙接住箱子过程中，乙(包括冰车)和箱子构成的系统水平方向动量守恒，得 mv-Mv0=(M+m)v2

2M2?2mM?m2联立上面三式得：v=v0 22mM?m代入数值得：v=5.2m/s (2)对箱子运用动能定理得 11

W=mv2-mv02 =1.7?102J 22

【例19】如图所示，在光滑水平面上有一静止的劈形木块A，

量为m的小球，沿水平方向以速度v碰撞木块A，碰后小球被竖直撞中没有机械能的损失，求小球被弹起的高度。

解析：对小球和劈形木块A组成的系统，满足水平方向动量守恒，所以可以写出：

11

mv2 =MvA2 +mgh 22

v2M-m解得：小球被弹起的高度为：h=×

2gM

【例20】如图所示,在光滑的水平面上沿着一条直线有一定V

间隔地排列着1、2、3、.??、N共N个大小相同的小球,除

2 1 N 3 第一个小球的质量为3M外,其它球的质量均为m,当给小球1一个冲量得到速度V去对心碰撞球2,若在碰撞时均无机械能损失,求各球不能再碰撞时,球1,球2,球N的速度各为多大?

解析：球1碰球2，由动量守恒定律得：3mV=3mV1+mV2 ??① 由题意知球1碰球2过程机械能守恒，则有： （3m）V2/2 =（3m）V12/2+mV22/2 ??② 联立①、②两式解得V1=V/2， V2=3V/2

球2以速度V2去碰球3，根据动量守恒定律及机械能守恒定律得： mV2=mV2'+mV3 ?? ③ mV22/2=mV2'2/2+mV32/2 ??④ 由③④两式解得：V2'=0，V3=3V/2

依次类推，第N个球的速度 VN=3V/2

由上面的论述可知，球1与球2每碰一次，球1的速度减为原来的1/2，共要碰（N-1）次，则球1的最终速度V1'=V/2N-1 球2 的最终速度V2\（

质量为M，一质向上弹起，若碰

A 恒系统机械能守

v 3N-1）V 2槽内嵌着三个球与槽的两壁置，m2、m3环内半径与小

【例21】如图所示，一水平放置的圆环形刚性窄槽固定在桌面上，

Ⅲ Ⅱ m3 m2 大小相同的刚性小球，它们的质量分别是m1、m2、m3，m2=m3=2m1，小

刚好接触且无摩擦，开始进，三个小球处于等间距的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个位

m1 v0 静止，m1以初速度v0=πR/2(v0=?0R，其中?0=π/2 rad/s)沿槽运动，R为圆

Ⅰ 球半径之和。设各球之间的碰撞皆为弹性碰撞。求此系统的运动周期T。

解析：

答案：T=20s

【例22】质量为M的滑块有两段长度为L且相互连通的光滑直轨道AB和BC，开始时静置于光滑水平面上，连接处是光滑圆弧，AB与水平面成?=60?角，BC为水平方向，如图所示。将一质量为m的光滑小球放入A，让它自由静止开始下滑。试求：小球经过多少时间后由C滑出？(设小球在B处拐弯时间可忽略)。

解析：(1)当小球从A滑到B时，取滑块作为参照系，小球受到了三个力：重力mg、弹力N和惯性力maM作用，有

对小球： mgsin?+maMco?=ma'

N+maMsin?=mgcos?

对滑块：Nsin?=MaM 联立以上三式可得： a'=

(M+m)sin?23(M+m)g 2g =4M+3mM+msin?

A ? B C 利用匀变速运动公式：

2L(4M+3m)Lt1= =

a'3(M+m)g

(2)小于滑到B点转弯时，对滑块有一个比较大的作用力，因此小球在BC段运动时，相对于滑块的速

度v'不再是小球在AB段相对滑块的末速度2a'L ，为求v'，可设小球在BC段相对地面的速度是v，滑块的速度是vM，则

11N 2mgLsin?=mv2+MvM，mv=MvM

22maM aM a' 可求得：v'=v+vM=2(M+m)gLsin?/M =3(M+m)gL/M

? mg LML

t2= = v'3(M+m)g

所以总时间为 t=t1+t2=

L(4M+3m+M)

3(M+m)g

【例23】有一块质量和线度足够大的水平板，绕竖直轴以匀角速度?转动。在板上方h高处有一群相同的小球(可视为质点)，它们以板的旋转轴为中心、R为半径均匀地在水平面内排成一个圆圈。现让这群小球同时由静止开始下落，设每个球与平板发生碰撞的时间非常短，而且碰撞前后小球在竖直方向上速度的大小不变，仅是方向反向，而在水平方向上则会产生摩擦，动摩擦因数为?。

(1)试求这群小球第二次和第一次与平板碰撞时，单位长度上小球个数之比k1；

1?g(2)如果R<2(g为重力加速度)，而且k1=，试这群小球第三次和第一次与平板碰撞时，单位长度

?2上小球个数之比k2。

解析：(1)设总共有N个小球，第一次碰撞前单位长度内小球的个数为? =N/(2?R)。小球与平板碰撞前的速度为v0=2gh ，设碰撞所经历的时间为?t，平均弹力为N，因为小球反弹后的垂直速度仍为v0，所以有N?t=2mv0，式中m为小球的质量。因小球原来无水平速度，而在碰撞点，平板有一个u1=?R的水平速度，这样小球便受到一个沿相对速度u1方向的滑动摩擦力f=?N，这个力使小球获得沿u1方向的速度v1，显然v1≤u1。因为一旦v1到达u1，摩擦便不再不存在。下面分析两种情况。

①在?t末时刻，v1仍小球u1，即小球和平板在水平方向上仍未相对静止，那么有 fN=mv1，又N?t=2mv0，及v0=2gh 解得：v1=2?v0=2?2gh

此式只适用于2?2gh

②有?t内v1已达到u1值，即小球在?t时间内已与平板在水平方向上相对静止，此时当然有： v1=u1=?R

此式适用于2?2gh ≥?R的情况。

第一次碰撞后小球以v0为垂直方向速度、v1为水平方向速度做斜抛运动，很容易算出水平路程为 L1=2v1

2h??8?h??(2?2gh??R) =? g?2?R2h/g??(2?2gh??R)?所有小球第二次落在平板上时形成

?R2?(8?h)2??(2?2gh??R)??22R1=R+L1 =? 8?2h??(2?2gh??R)?R1?g??为半径的圆，此时单位长度内小球个数为?1=N/2?R，因此本题所求的k1为

1???(2?2gh??R)?2?R?1?(8?h/R)k1=1==?

1?R1???(2?2gh??R)?1?(8?2h/g)2?(2)如果取①式的结果，则当k1=1/2 时(此时R=L1)，有2?2gh

R>?g/?2，与题设条件R

第二次碰撞中，小球在垂直方面上情况完全和第一次相同。平方向的速度v1以及平板被碰撞点的速度v2，如图所示，此时小碰点的速度为

u'2=v1-u2

其大小为：u'2=v1=?R

因为u'2=u1=?R，那么在2?2gh ≥?R的条件下，由第(1)板对小球的摩擦力必与u'2方向相反，而且能使小球在?t的时间方向上相对静止，即获得v2=u2=2 v1的速度，它的水平射程为

L2=2v2

2h =22 g

2h =2 R g

u2 v1 45? u'2

h=R/8?，由

R1 L1=R 45? R

可得：

碰撞前小球水球相对平板被

R2 L2=2 R

问的讨论可知，平内与平板在水平

R1

因此，第三次碰撞发生前，这群小球所形成的圆半径为R2=2 L2=2R。此时，单位长度内小球个数为?2=N/2?R2=N/4?R，因此第(2)问中所求比值为

k2=?2/?=R/R2=1/2

【例24】如图所示，两根长度均为L的刚性轻杆，一端通过质量为m的m 球形铰链连接，另一端分别与质量为m和2m的小球相连。将此装置的两杆合L L 拢，铰链在上、竖直地放在水平桌面上，然后轻敲一下，使两小v2 球向两边滑动，

m 2m 但两杆始终保持在竖直平面内。忽略一切摩擦，试求：两杆夹角为90°时，质量为2m的小球的速度v2 。

解析：三球系统机械能守恒、水平方向动量守恒，并注意约束关系——两杆不可伸长。

初步判断：左边小球和球形铰链的速度方向会怎样？ 设末态（杆夹角90°）左边小球的速度为v1（方向：水平向左），球形铰链的速度为v（方向：和竖直方向夹θ角斜向左），

对题设过程，三球系统机械能守恒，有：

211122mg( L-L) = mv1 + mv2 + 2mv2??① 2222m L v ? 45? L 三球系统水平方向动量守恒，有： v1 v2

mv1 + mvsinθ= 2mv2 ??② m 2m 左边杆子不形变，有： v1cos45°= vcos(45°-θ) ??③ 右边杆子不形变，有： vcos(45°+θ) = v2cos45° ??④

四个方程，解四个未知量（v1 、v2 、v和θ），是可行的。推荐解方程的步骤如下—— 1、③、④两式用v2替代v1和v ，代入②式，解θ值，得：tgθ= 1/4 2、在回到③、④两式，得： v1 =

5v2 , v = 317v2 33gL(2?2)

203、将v1 、v的替代式代入①式解v2即可。结果：v2 =

思考：球形铰链触地前一瞬，左球、铰链和右球的速度分别是多少？

解：由两杆不可形变，知三球的水平速度均为零，θ为零。一个能量方程足以解题。 答：0、2gL、0。

思考：当两杆夹角为90°时，右边小球的位移是多少？

解：水平方向用“反冲位移定式”，或水平方向用质心运动定律。 答：

32L 。 8【例25】如图所示，一个质量为M ，半径为R的光滑均质半球，静置于光滑水平桌面上，在球顶有一个质量为m的质点，由静止开始沿球面下滑。试求：

(1)质点离开球面以前的轨迹。 m M (2) 当质点m滑到方位角θ时（未脱离半球），质点的速度v的大小、方向怎样？ R (3)?角时，小球绕球心的角速度?。

解析：质点下滑，半球后退，这个物理情形和上面的双斜面问题十分相似，仔细分析，由于同样满足水平方向动量守恒，故我们介绍的“定式”是适用的。定式解决了水平位移（位置）的问题，竖直坐标则需要从数学的角度想一些办法。

为寻求轨迹方程，我们需要建立一个坐标：以半球球心O为原点，沿质点滑下一侧的水平轴为x坐标、竖直轴为y坐标。 由于质点相对半球总是做圆周运动的（离开球面前），有必要引入相y 对运动中半球球心O′的方位角θ来表达质点的瞬时位置，如图所示。 x 由“定式”，易得： ? y x O' O

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