专题09 解析几何直线与圆典型题专项训练(解析版)

1 专题09 解析几何

第二十一讲 直线与圆答案部分

1.【解析】由题意和题图可知，当P 为优弧?

AB 的中点时，阴影部分的面积取最大值，如图所示，设圆心为O ，2AOB β∠=，()

1222BOP AOP ββ∠=∠=

π-=π-. 此时阴影部分面积 211222222

AOP BOP AOB S S S S β=++=??+???△△扇形()sin 44sin βββπ-=+.故选B.

2.【解析】 24y x =的焦点为()1,0，准线为1x =-，故符合条件的圆为()2

214x y -+=. 3.【解析】解法一：如图，

由圆心与切点的连线与切线垂直，得1122

m +=-，解得2m =-． 所以圆心为（0，-2），则半径22(20)(12)5r =--+-+=

解法二：由2203

4(1)41m r m ?-+==+++，得2m =-，所以55

r ==4.【解析】（1）因为M e 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0

x y 上，且,A B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a .

因为M e 与直线x +2=0相切，所以M e 的半径为|2|r a =+.

由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥uuu r uuu r ，故可得2224(2)a a +=+，解得=0a 或=4a .

故M e 的半径=2r 或=6r .

（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值.

2 理由如下：

设(, )M x y ，由已知得M e 的半径为=|+2|,||=2r x AO .

由于MO AO ⊥uuu r uuu r ，故可得2224(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.

因为曲线2

:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x .

因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .

2015-2018年

1．A 【解析】圆心(2,0)

到直线的距离d == 所以点P

到直线的距离1d ∈．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(2,0)A -，(0,2)B -

，所以||AB =

所以ABP ?

的面积111||2

S AB d ==．

因为1d ∈，所以[2,6]S ∈，即ABP ?面积的取值范围是[2,6]．故选A ．

2．C 【解析】圆心坐标为(1,0)-

，由点到直线的距离公式可知d =

=，故选C.

3．B 【解析】由2220x y ay +-=（0a >）得()2

22x y a a +-=（0a >），所以圆M 的圆心为()0,a ，半径为1r a =，因为圆M 截直线0x y +=

所得线段的长度是

=2a =，圆N 的圆心为()1,1，半径为21r =，所以

MN ==123r r +=，121r r -=，因为1212r r r r -

4．A 【解析】由题意知圆心为

(1,4)，1=，解得43a =-，故选A ．

3 5．D

【解析】由题意可得圆的半径为r =

()()22112x y -+-=． 6．D 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)1x y -+-=，圆心(1,1)到直线34x y b +=的距离

|7|15

b -=，所以2b =或12b =． 7．B 【解析】由题意可得，2AB BC AC ===，∴ΔABC 为等边三角形，故ΔABC 的外

接圆圆心时ΔABC 的中心，又等边ΔABC

，

故中心为，故ΔABC

3

=． 8

．【解析】由题意知22(1)4x y ++=，所以圆心坐标为(0,1)-，半径为2，则圆心

到直线1y x =+

的距离d ==

，所以||AB == 9．2220x y x +-=【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=

22(40)D E F +->，则0110420F D E F D F =??++++=??++=?

，解得2D =-，0E =，0F =，

故圆的方程为22

20x y x +-=．

10．3【解析】因为0AB CD ?=u u u r u u u r ，所以AB CD ⊥，又点C 为AB 的中点，所以45BAD ∠=o ，设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tan 2θ=，tan()34k π

θ=+=-．又

(5,0)B ，所以直线AB 的方程为3(5)y x =--，又A 为直线l ：2y x =上在第一象限

内的点，联立直线AB 与直线l 的方程，得3(5)2y x y x =--??=?，解得36x y =??=?

，所以点A 的横坐标为3．

11

．22(1)(1x y ++-=

【解析】设圆心为(1,)C m -，由题意(0,)A m ，(1,0)F ，

所以(1,0)AC =-u u u r ，(1,)AF m =-u u u r ，

4

所以1cos 2||||AC AF CAF AC AF ?∠===-?u u u r u u u u u r

，解得m = 因为以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ，所以0m >

，取m =

所求圆的方程为22(1)(1x y ++-=． 12．8【解析】由题意有121a b

+=

，所以1242(2)()448b a a b a b a b a b +=++=+++=≥． 当且仅当

4b a a b =，即4b =，2a =时等号成立． 13

．[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ?u u u r u u u r ≤，得250x y -+≤，

x

如图由250x y -+≤可知，P 在?MN

上， 由22250

50x y x y -+=??+=?，解得(1,7)M ，(5,5)N --， 所以P 点横坐标的取值范围为

[-．

14

．22(2)

9.x y -+=【解析】设(,0),(0)C a a >2,3a r ===，故圆C 的方程为22(2)9.x y -+=

15

．4π【解析】圆C 的方程可化为222()2x y a a +-=+，可得圆心的坐标为

(0,)C a ，

半径r =，所以圆心到直线20x y a -+=的距离为=，所以

5 222

+=，解得22

a=，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π．

16．4【解析】设

112234

(,),(,),(,0),(,0)

A x y

B x x

C x

D x

，由60

x-+=，

得6

x=-

，代入圆的方程，并整理，得260

y-+=

，解得

1

y=

2

y=，所以

1

x=，

2

3

x=-，所以直线AC

的方程为y-=，令0

y=得

3

2

x=，直线BD

的方程为3)

y x

-=+，令0

y=得

4

2

x=-，

则

34

||||4

CD x x

=-=．

17．250

x y

+-=【解析】由点(1,2)

P在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为：225

x y

+=，所以该圆在点P处的切线方程为125

x y

?+?=即250

x y

+-=．18．2 【解析】如图直线3450

x y

-+=与圆2220

x y r r

+=（＞）交于,A B两点，O为坐标原点，且120o

AOB

∠=，则圆心(0,0)到直线3450

x y

-+=的距离为

2

r

，

2

r

=，∴2

r=．

19．

（Ⅰ）22

(1)(2

x y

-+=；

（Ⅱ）1-

【解析】（Ⅰ）设点C的坐标为

00

(,)

x y，则由圆C与x轴相切于点(1,0)

T知，点C的横

坐标为1，即

1

x=，半径

r y

=．又因为2

AB=，所以222

11y

+=

，即

y r

=，所以圆C

的标准方程为22

(1)(2

x y

-+=．

（Ⅱ）令0

x=

得：1)

B+.设圆C在点B

处的切线方程为1)kx

y-=，则圆心C

到其距离为：d=1

k=．即圆C在点B

处的切线方程为1)

y x

=+，于是令0

y=

可得1

x=，即圆C在点B处的切线在x轴上的

截距为1

--

22

(1)(2

x y

-+-=

和1--

20．22

(1)2

x y

-+=【解析】因为直线210()

mx y m m R

---=∈恒过点(2,1)

-，所以当点(2,1)

-为切点时，半径最大，此时半

径r=，故所求圆的标准方程为

6

22(1)2x y -+=．

21．【解析】(1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为2=x ，可得M 的坐标为(2,2)或(2,2)-．

所以直线BM 的方程为112

=

+y x 或1

12y x =--．

(2)当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠=∠ABM ABN ． 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则10>x ，20>x ．

由2(2)2y k x y x

=-??=?，得2240--=ky y k ，可知122

+=y y k ，124=-y y ．

直线BM ，BN 的斜率之和为 122112

1212122()

22(2)(2)

++++=

+=++++BM BN y y x y x y y y k k x x x x ．① 将112y x k =

+，222y

x k

=+及12+y y ，12y y 的表达式代入①式分子，可得 121221121224()88

2()0++-++++=

==y y k y y x y x y y y k k

．

所以0+=BM BN k k ，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠=∠ABM ABN ． 综上，∠=∠ABM ABN ．

22．【解析】（1）不能出现AC BC ⊥的情况，理由如下：

设1(,0)A x ，2(,0)B x ，则1x ，2x 满足2

20x mx +-=，所以122x x =-．

又C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112

x x --?=-， 所以不能出现AC BC ⊥的情况.

（2）BC 的中点坐标为21(

,)22x ，可得BC 的中垂线方程为221

()22

x y x x -=-． 由（1）可得12x x m +=-，所以AB 的中垂线方程为2

m

x =-．

联立22

21()22m x x y x x ?=-????-=-??，又2

2220x mx +-=，可得212m x y ?=-????=-??，

所以过A 、B 、C 三点的圆的圆心坐标为1

(,)22

m --

，半径2r =．

7 故圆在y

轴上截得的弦长为3=，即过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上的截得的弦长为定值． 23．【解析】圆M 的标准方程为()()22

6725x y -+-=，所以圆心M(6，7)，半径为5,

（1）由圆心N 在直线6x =上，可设()06,N y .因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切， 所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =.

因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=.

(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为40

220-=-.

设直线l 的方程为2y x m =+，即20x y m -+=，

则圆心M 到直线l

的距离d

因为BC OA === 而222,2BC MC d ??=+ ??? 所以()

2

52555m +=+，解得5m =或15m =-.

故直线l 的方程为250x y -+=或2150x y --=.

(3)设()()1122,,Q ,.P x y x y

因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=u u r u u r u u u r ,所以212124

x x t

y y =+-??=+? ……①

因为点Q 在圆M 上，所以()()22

226725.x y -+-= …….②

将①代入②，得()()22

114325x t y --+-=.

于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()2

24325x t y -++-=????上，

从而圆()()226725x y -+-=与圆()()2

24325x t y -++-=????有公共点，

所以

5555,-≤≤+

解得22t -≤≤+

.

因此，实数t

的取值范围是22?-+?.

8 24．【解析】（Ⅰ）由题设，可知直线l 的方程为1y kx =+．

因为l 与C

1<．

k <<．所以k

的取值范围是4433?? ? ???

． （Ⅱ）设1122(,y ),(,y )M x N x ．

将1y kx =+代入方程()()22

231x y -+-=，整理得22(1)4(1)70k x k x +-++=， 所以1224(1)1k x x k ++=

+，122

71x x k =+． 2121212122

4(1)1181k k OM ON x x y y k x x kx x k +?=+=++++=++u u u u r u u u u r ， 由题设可得24(1)8=121k k k

+++，解得=1k ，所以l 的方程为1y x =+． 故圆心在直线l 上，所以||2MN =．

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