2018年高考文科数学北京卷（含答案与解析）

---------------- -------------在 -------------------- _此______________--------------------_号卷 生__考__ _ _ _ _ _________--------------------_ _上 _ _ ________________名__姓_--------------------_ _答 _ _ _ __________--------------------__题_校学业毕--------------------无--------------------效

绝密★启用前

北京市2018年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

本试卷满分150分.考试时长120分钟.

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合A?{x||x|?2}，B?{?2,0,1,2}，则AB? （ ）A.?0,1?

B.??1,0,1? C.??2,0,1,2?

D.??1,0,1,2?

2.在复平面内，复数11?i的共轭复数对应的点位于

（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限 3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为

（ ）

A.1

B.52 6

C.76

D.712

数学试卷 第1页（共16页） 4.设a，b，c，d是非零实数，则“ad?bc”是“a，b，c，d成等比数列”的

（ ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

5.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献。十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122。若第一个单音的频率f，则第八个单音频率为

（ ）

A.32f

B.322f C.1225f

D.1227f 6.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为

（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4

7.在平面坐标系中，AB，CD，EF，GH是圆x2?y2?1上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角?以Ox为始边，OP为终边，若tan??cos??sin?，则P所在的圆弧是

（ ）

A.AB B.CD C.EF D.GH

数学试卷 第2页（共16页）

8.设集合A?{(x,y)|x?y≥1,ax?y?4,x?ay≤2}，则 A.对任意实数a，(2,1)?A B.对任意实数a，(2,1)?A C.当且仅当a?0时，(2,1)?A （ ）

16.（本小题满分13分）

已知函数f(x)?sin2x?3sinxcosx. （Ⅰ）求f(x)的最小正周期；

33???（Ⅱ）若f(x)在区间??,m?上的最大值为，求m的最小值.

2?3?D.当且仅当a≤2时，(2,1)?A

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

9.设向量a?(1,0)，b?(?1,m)，若a?(ma?b)，则m? .

10.已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2?4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为 .

11.能说明“若a?b，则1a?1

b

”为假命题的一组a，b的值依次为 .

12.若双曲线x2y25a2?4?1(a?0)的离心率为2，则a? . 13.若x，y满足x?1≤y≤2x，则2y?x的最小值是 . 14.若△ABC的面积为34(a2?c2?b2)，且?C为钝角，则?B? ；ca的取值范围是 .

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题满分13分）

设{an}是等差数列，且a1?ln2，a2?a3?5ln2. （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求ea1?ea2?…?ean.

数学试卷 第3页（共16页）

数学试卷 第4页（共16页）

------------------------------------------------- 17.（本小题满分13分）

电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 电影部数 好评率 第一类 140 第二类 50 第三类 300 第四类 200 第五类 800 第六类 510 18.（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，

在PA⊥PD，PA?PD，E，F分别为AD，PB的中点.

（Ⅰ）求证：PE⊥BC；

（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD； （Ⅲ）求证：EF∥平面PCD. 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

______此__________号 生__--------------------考__卷 _ _ _ _ __________ _ _ _ --------------------______上__________名__姓__ _ _ _ _-------------------- _答____________校--------------------学题业毕--------------------无--------------------

效（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；

（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论） 数学试卷 第5页（共16页）

数学试卷第6页（共16页）

19.（本小题满分13分）

设函数f(x)?[ax2?(3a?1)x?3a?2]ex.

（Ⅰ）若曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0，求a； （Ⅱ）若f(x)在x?1处取得极小值，求a的取值范围. 20.（本小题满分14分）

6x2y2已知椭圆M:2?2?1(a?b?0)的离心率为，焦距为22.斜率为k的直线l3ab与椭圆M有两个不同的交点A，B. 数学试卷 第7页（共16页）（Ⅰ）求椭圆M的方程；

（Ⅱ）若k?1，求|AB|的最大值；

（Ⅲ）设P(?2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另

一个交点为D.若C，D和点Q??7??1?4,2??共线，求k.

数学试卷 第8页（共16页）

北京市2018年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学答案解析

一、选择题 1.【答案】A

【解析】A?(x|?2?x?2)，B?(?2,0,1,2)，则AB??0,1?.

【考点】集合的交集运算 2.【答案】D 【解析】1?(1?i)(1?i)(1?i)?1?i1?i2?11?i2?12i，所以其共轭复数为12?12i，在复平面内对应点为??1,?1?2??，位于第四象限。

?2【考点】复数的四则运算与共轭复数的概念 3.【答案】B

【解析】k?1，s?1，s?1?(?1)1?11?1?12，k?2，不满足k≥3，继续循环s?12?(?1)2?11?2?56，k?3，满足k≥3，循环结束，输出s?56.

【考点】算法的循环结构 4.【答案】B

【解析】“a，b，c，d成等比”，根据等比数列的性质有ad?bc，所以“ad?bc”

是“a，b，c，d成等比”的必要条件；若a?d?3，b?c?3满足ad?bc，但是数列3，?3，?3，3不是等比数列，所以“ad?bc”是“a，b，c，d成等比”的必要不充分条件.

【考点】比数列的性质与充分必要条件的判断 5.【答案】D

【答案】根据题意可以知单音的频率形成一个等比数列；其首项为f；公比为122，所

以第八单音的频率为f(122)7?1227f.

【考点】数学文化与等比数列 6.【答案】C

【解析】根据三视图可以还原该几何体为正方体中的一个四棱锥D1?APCD，其中P为

数学试卷 第9页（共16页） AB的中点，所以四棱锥D1?APCD中的侧面为直角三角形的有△D1CD，

△D1AD，△D1AP，共三个.

【考点】三视图 7.【答案】C

【解析】在四段圆弧上任意取一点，分别作出正弦线、余弦线、正切线观察即可选择C.

【考点】三角函数的定义与三角函数线的应用 8.【答案】D

【解析】当a?2时，A?{(x，y)|x?y≥1，2x?y?4，2?2y≤2}，将(2,1)代人满足不等式组，所以排除B,当a?12去时A????(x,y)|x?y≥1,12x?y?4,x?12y≤2??，将?(2,1)代入不满足不等式号x?y?4，所以排除A，C.

【考点】不等式组表示的平面区域 二、填空题 9.【答案】?1

【解析】ma?b?(m?1,?m)，根据a⊥(ma?b)?a(ma?b)?m?1?0?m??1. 【考点】平面向量的坐标运算 10.【答案】(1,0)

【解析】根据题意将x?1代人抛物线方程可得y2?4a?y??2a，根据抛物线的对称

性有4a?4?a?1；所以抛物线的焦点坐标为(1，0). 【考点】抛物线的方程

11.【答案】1，?1（答案不唯一）

数学试卷 第10页（共16页）

【解析】当a?1，b??1时，满足a?b，此时1a?1?6??1. 【考点】不等式的性质与命题真假的判断 12.【答案】4

【解析】根据ca?52?c2a2?452a2?a2?4?a?16，因为a?0，所以a?4. 【考点】双曲线的方程与离心率的计算 13.【答案】3

【解析】不等式组??y≥x?1?y≤2x，表示的区较为如图所示的阴影部分，设z?12y?x，则

y?1?y?x?1,?2x?z2，所以z2的几何意义为直线的纵截距，????y?2x,??x?1?y?2所以当直线过点A(1，2)处时，取得最小值，所以zmin?2?2?1?3.

【考点】线性规划问题 14.【答案】60?(2,??)

【解析】根据三角形面积公式有

1acsinB?3(a2?c2?b224)，所以sinB?3??a2?c2?b?2??3cosB，所以taBn?，3所以∠B?3，?2ac?csinCsin??2???3?A???13cosA?sinAa?sinA?sinA2sinA?312tanA?12，又因为∠C为钝角，即∠C?∠B??2??3?5?6，所以0?∠A??6?0?tanA?313，所以tanA?3，所以312tanA?12?31c2?3?2?2，所以a的取值范围为(2,??).

【考点】三角形问题与三角函数图象与性质 数学试卷 第11页（共16页） 三、解答题

15.【答案】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，

∵a2?a3?5ln2， ∴2a1?3d?5ln2，

又a1?ln2，∴d?ln2. ∴an?a1?(n?1)d?nln2. （II）由（I）知an?nln2，

∵ea?enln2?eln2nn=2n，

∴{ean}是以2为首项，2为公比的等比数列.

∴ea1?ea2??ean?eln2?eln22??eln2n

=2?22??2n

=2n?1?2.

∴ea1?ea2??ean=2n?1?2.

【考点】等差、等比数列综合问题

16.【答案】（Ⅰ）f(x)?1?cos2x3311π12?2sin2x?2sin2x?2cos2x?2?sin(2x?6)?2，

所以f(x)的最小正周期为T?2π2?π.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?sin(2x?π16)?2.

因为x?????π3,m??，所以?2x?π6?????5π6,2m?π?6?. ?要使得f(x)在??π?上的最大值为3??3,m??2，即sin???2x?π?6?在???π,m??上的最大值为1. ??3?所以2m?π6≥π2，即m≥π3.

所以m的最小值为π3.

【答案】三角函数的图象和性质

17.【答案】（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是

140?50?300?200?800?510?2000.

第四类电影中获得好评的电影部数是200?0.25?50，

数学试卷 第12页（共16页）

故所求概率为502000?0.025.

（Ⅱ）方法一：由题意知，样本中获得好评的电影部数是

140?0.4?50?0.2?300?0.15?200?0.25?800?0.2?510?0.1?56?10?45?50?160?51 =372.故所求概率估计为1?3722000?0.814.

方法二：设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B. 没

有

获

得

好

评

的

电

影

共

140?0.6?50?0.8?300?0.85?200?0.75?800?0.8?510?0.9?1628部.

由古典概型概率公式得P(B)?16282000?0.814.

（Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率. 【考点】相互独立事件概率的求解以及方差的求解

18.【答案】（Ⅰ）∵PA?PD，且E为AD的中点，∴PE?AD.

∵底面ABCD为矩形，∴BC∥AD， ∴PE?BC.

（Ⅱ）∵底面ABCD为矩形，∴AB?AD.

∵平面PAD?平面ABCD，∴AB?平面PAD. ∴AB?PD.又PA?PD，

∵PD?平面PAB，∴平面PAB?平面PCD.

（Ⅲ）如图，取PC中点G，连接FG，GD.

∵F

，G分别为PB和PC的中点， FG∥BC，且FG?12BC.

∵四边形ABCD为矩形，∴且E为AD的中点，

数学试卷 第13页（共16页） 有

∴ED∥BC，DE?12BC

∴ED∥FG，且ED?FG，∴四边形EFGD为平行四边形， ∴EF∥GD.

又EF?平面PCD，GD?平面PCD，

∴EF∥平面PCD.

【考点】空间几何体线面位置关系的判断问题

19.【答案】解：（Ⅰ）因为f(x)?[ax2?(3a?1)x?3a?2]ex， 所以f?(x)?[ax2?(a?1)x?1]ex.

f?(2)?(2a?1)e2，

由题设知f?(2)?0，即(2a?1)e2?0，解得a?12. （Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得f?(x)?[ax2?(a?1)x?1]ex?(ax?1)(x?1)ex.

若a?1，则当x???1a,1??时，f?(x)?0；

??当x?(1,??)时，f?(x)?0. 所以f(x)在x?1处取得极小值.

若a≤1，则当x?(0,1)时，ax?1≤x?1?0， 所以f?(x)?0.

所以1不是f(x)的极小值点. 综上可知，a的取值范围是(1,??). 方法二：

f?(x)?(ax?1)(x?1)ex.

（1）当a?0时，令f?(x)?0得x?1.

f?(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

x (??,1) 1 (1,??) f?(x) + 0 ? f(x) ↗ 极大值 ↘ ∴f(x)在x?1处取得极大值，不合题意.

（2）当a>0时，令f?(x)?0得x11?a,x2?1. 数学试卷 第14页（共16页）

①当x1?x2，即a=1时，f?(x)?(x?1)2ex≥0，

∴f(x)在R上单调递增， ∴f(x)无极值，不合题意.

②当x1?x2，即0

11x (??,1) 1 (1,a) a (1a,??) f?(x) + 0 ? 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴f(x)在x=1处取得极大值，不合题意.

③当x1?x2，即a>1时，f?(x),f(x)随x的变化情况如下表：

(??,1)1x a a (1a,1) 1 (1,??) f?(x) + 0 ? 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴f(x)在x?1处取得极小值，即a?1满足题意.

（3）当a?0时，令f?(x)?0得x1?1a，x2?1

f?(x),f(x)随x的变化情况如下表：

????,1??x ? 1(1,??) ?a?a ?1?a,1??? 1 f?(x) ? 0 + 0 ? f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ ∴f(x)在x?1处取得极大值，不合题意.

综上所述，a的取值范围为(1,??). 【考点】导数在研究函数问题中的应用

20.【答案】（Ⅰ）由题意得2c?22，所以c?2，

又e?ca?63，所以a?3，所以b2?a2?c2?1，

x2所以椭圆M的标准方程为3?y2?1.

（Ⅱ）设直线AB的方程为y?x?m，

数学试卷 第15页（共16页） ?y?x?m由???x2消去y可得4x2?6mx?3m2?3?0?3?y2?1， 则??36m2?4?4(3m2?3)?48?12m2?0，即m2?4，

设x3m3m2A(?31,y1)，B(x2,y2)，则x1?x2??2，x1x2?4， 则|AB|?1?k2|x?k2?(x26?4?m21?x2|?11?x2)?4x1x2?，

2易得当m2?0时，|AB|max?6，故|AB|的最大值为6.

（Ⅲ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，

则x23y221?1?3①，x2?3y22?3②， 又P(?2,0)，所以可设ky11?kPA?x?2，直线PA的方程为y?k1(x?2)， 1?y?k1(x?2)由??x2消去y可得(1?3k21)x2?12k21x?12k21?3?0??3?y2?1， 则x12k21121?x3??1?3k2，即3??k2x11?3k2?x1， 11又k11?yx，代入①式可得x?7x1?12y13?，所以y3?，

1?24x1?74x1?7所以C???7x1?12?4x,y1?D??7x2?12,y2?1?74x1?7??，同理可得??4x2?74x?.

2?7?故QC???x71??71??3?4,y3?4??，QD???x4?4,y4?4??，

因为Q，C，D三点共线，所以??7??1??7??1??x3?4????y4?4?????x4?4????y3?4???0，将点C，D的坐标代入化简可得y1?y2x?1，即k?1.

1?x2【考点】直线与椭圆的位置关系

数学试卷 第16页（共16页）

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