初中数学圆中最值定值问题专题(推荐)
更新时间:2023-03-10 21:40:01 阅读量: 教育文库 文档下载
圆中最值域定值问题研究
类型一、
例1、如图,AB是⊙O的直径,AB=10cm,M是半圆AB的一个三等分点,N是半圆AB的一个六等分点,P是直径AB上一动点,连接MP、NP,则MP+NP的最小值是_______
1、已知圆O的面积为3?,AB为直径,弧AC的度数为80度,弧BD的度数为20度,点P为直径AB上任一点,则PC+CD的最小值为______
2、如图,菱形ABC中,∠A=60度,AB=3, 圆A、圆B的半径为2和1,P、E、F分别是CD,圆A和圆B上的动点,则PE+PF的最小值为_________
类型二、折叠隐圆 【基本原理】(一箭穿心)
点A为圆外一点,P为圆O上动点,连接AO并延长交圆于P1、P2,则AP的最小值为AP2,,最大值为A P1
例、如图4,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN,连接A′C,请求出A′B长度的最小值.
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1、已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标洗中,点A(11,0),点B(0,6),点P为BC边上的动点(点P不与点B、C重合),经过点O、P折叠该纸片,则CB’的最小值为______
2、四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90,AD=1,AB=2,BC=3,P是线段AD上一动点,将△ABP沿BP所在直线翻折得到△QBP,则△CQD的面积最小值为____
类型三、 随动位似隐圆
例、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=6.点D是边AC上一点D且AD=23,将线段AD绕点A旋转得线段AD′,点F始终为BD′的中点,则将线段CF最大值为_________
[分析]:易知D’轨迹为以A为圆心AD为半径的圆,则在运动过程中AD’为定值23,故取AB中点G,则FG为中位线,FG=
1AD'=3,故F点轨迹为以G为圆心,3为半径的圆。2问题实质为已知圆外一点C和圆G上一点F,求CF的最大值。 思路2:倍长BC到B’,则CF为△B’D’B的中位线,CF=
1 B’D’,当B’D’最大时,CF也取最大2值,问题实质为D在圆A上运动至何处时,BD取最大。
2
【方法归纳】○1、如图,点A和点O1为定点,圆O1半径为定值,P为圆O1上动点,M为AP中点?点M运动轨迹为圆O2,且O2为AO1中点。○2、构造中位线
1、如图,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,D是AC的中点,M是BD的中点,将线段AD绕A点任意旋转(旋转过程中始终保持点M是BD的中点),若AC = 4,BC = 3,那么在旋转过程中,线段CM长度的取值范围是_______
2、如图,△ABC是边长为2的等边三角形,以AC为直径作半圆,P为半圆上任意一点,M为BP中点,则在点P由A到C运动过程中,点M运动路径长为________
类型四、定性分析——垂线段最短
例、如图,半圆O的半径为1,AC⊥AB,BD⊥AB,且AC=1,BD=3,P是半圆上任意一点,则封闭图形ABDPC面积的最大值是_______________
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【分析】:思路1、连接CD、梯形ABCD面积为定值,要使封闭图形ABDPC面积取最大值,则使△CPD面积取最小即可,△CPD中,底边CD为定值,则当高取最小值时,面积有最小值,故问题变成当点P在圆上运动至何处时,点P到CD距离最小。C、D、O为定点,则点O到CD距离为定值,计算CD、OC、OD长,由勾逆知OC⊥CD,设点P到CD距离为h,则h+r≥OC,∴h≥OC-r,即当O、P、M三点共线时,h有最小值,此时M与点C重合,故OC与圆O交点即为所求点P。
思路2:P点的确定也可以这样想,平移CD,设平移后的直线为m,则直线m与
CD间的距离即为CD边上的高,显然,当直线m与圆O相切时,高h有最小值。
1、如图,P为圆O内一个定点,A为圆O上一个动点,射线AP,AO分别与圆O交于B,C两点,若圆O的半径为3,OP=3 ,则弦BC的最大值为________
2、如图,AB为⊙O的直径,C为半圆的中点,⊙C的半径为2,AB=8,点P是直径AB上的一动点,PM与⊙C切于点M,则PM的取值范围为___________
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类型五、定弦定角 【基本原理】
如图1\\⊙O中,A、B为定点,则AB为定弦,点C为优弧上任一点,在C点运动过程中则∠ACB的度数不变?逆运用?如图2、点A、B为定点,点C为线段AB外一点,且∠ACB=θ(θ为固定值)?点C在以AB为弦的圆上运动(不与A、B重合)
图1 图2
例、如图,AB为定长,点C为线段AB外一点,且满足∠ACB=60度,请在图中画出点C的运动轨迹,简要说明作图步骤
步骤1、___________________________________________________ 步骤2、___________________________________________________
练习、1、如图,AB为定长,点C为线段AB外一点,且满足∠ACB=120度,请在图中画出点C的运动轨迹,并写出圆心角∠AOB=__________
2、如图,AB为定长,点C为线段AB外一点,且满足∠ACB=120度,请在图中画出点C
的运动轨迹,
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