衢州二中2011学年高二理科数学阶段测试

衢州二中二○一一学年第一学期高二期中考试（二）

数学（理科）试卷

命题教师：徐敏强 审核教师：舒金根

本试卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页。满分150分，考试时间120分钟．

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．双曲线

x24?23y29??1的渐近线方程是（ ）

3x C．y??9x D．y??4 A．y??x

2492．已知平面内两定点A,B及动点P，设命题甲是：“|PA|?|PB|是定值”，命题乙是：“点

x B．y??，那么甲是乙的（ ） P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆”

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3.一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm), 则此几何体的表面积是（ ）

A． (80?162)cm2 B. 84cm2 C. (96?162)cm2 D. 96cm 4．已知椭圆

x22mn椭圆离心率为 ( )

?y2?1满足条件：m,n,m?n成等差数列，则

第3题图

Ａ.32 Ｂ.222 Ｃ.

12 Ｄ.

5 5 5．直线l过抛物线y?2px(p?0)的焦点F，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是（ ）

A． y?12x B．y?8x C． y?6x D．y?4x

(x?1)?y?1关于直线对称，6．圆C：x?(y?1)?1与圆O：则该直线的方程为（ ）

A．y?x B. y?x?1 C. y??x D． y??x?1

222222227．直线y?3(x?2)与双曲线x?y?1交于A,B则AB?（ ）

22Ａ.4 Ｂ.43 Ｃ. 210 Ｄ.

1633

高二数学（理科） 第 1 页 共 8 页

8．方程mx?ny2?0与mx2?ny2?1(m?n?0)的曲线在同一坐标系中的示意图应

是( )

A B C D

22????xy??1的长轴上，点P是椭圆上任意一点． 当MP的模最小9．设点M(m,0)在椭圆1612时，点P恰好落在椭圆的右顶点，则实数m的取值范围( ) A．?0,4? B．?3,4? C．?1,5? D． ?1,4?

10．设直线l:2x?y?2?0关于原点对称的直线为l?，若l?与椭圆x?B，点P为椭圆上的动点，则使?PAB的面积为

2y24?1的交点为A、

的点P的个数为 （ ）

2A．1 B．2 C．3 D．4

1

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在答题卡的相应位置。） 11．抛物线y?4x2的焦点坐标为 ．

12. 若圆锥的侧面积为3?，底面积为?，则该圆锥的体积为 ． 13. 已知圆C:??4cos?，则圆C截直线l:?14. 椭圆

x2?x?2?2t?y?1?4t（t是参数）所得的弦长为 ．

??1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，

123那么点M的纵坐标是 ．

y215．P为双曲线

x22ab的位置关系是 ．

?y22?1上的一点，以PF为直径的圆与圆x2?y2?a2F为一个焦点，

16. 已知抛物线y?2px(p?0)与双曲线

?2?1(a?0,b?0)有相同的焦点F，点2abA是两曲线的交点，且AF?x轴，则双曲线的离心率是 ．

x22x2y217．点P是椭圆M:248????????直径，则PE?PF的最大值是 ．

?y2?1上的任意一点，EF是圆N:x?(y?2)?1的任意一条

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三、解答题：（本小题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内。）

18．命题p：“x?1是关于x的不等式x2?ax?2?0的解”，q：“直线y?x?a与半圆y?2，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围． 1?x有交点”

19．已知定点F(0,1)和直线l1:y??1，过定点F(0,1)且与直线l1相切的动圆圆心为点C，

(1)求动点C的轨迹方程；

(2)过点F的直线l2交轨迹C于P、Q，交直线l1于点R，求RP?RQ的最小值．

20．在极坐标系中，已知圆C的圆心C(2,)，半径r?1

4π???????? （1）求圆C的极坐标方程；

?x?2?tcosa?π?a?0,l （2）若，点P的直角坐标?3?,直线的参数方程为?y?2?tsina（t为参数）

???为(2,2)，直线l交圆C于A、B两点，求

|PA|?|PB||PA|?|PB|的最小值.

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????21．已知椭圆长轴端点A、B，弦EF与AB交于点D，O为椭圆中心，且OD＝1，

DF?2ED，?FDO=?4，试建立适当的坐标系解决以下问题：

（1）求椭圆的长轴长的取值范围； （2）若D为椭圆的焦点，求椭圆的方程．

22．抛物线x2?4y和圆x2?y2?1

（1）设m?1，点M(0,m)，过点M作圆的一条切线l，若l与抛物线x2?4y相交于A,B

两点，且OA?OB，求切线l的方程；

（2）设P是抛物线上一点（它的横坐标大于2），过P作圆的两条切线，分别与x轴交于C,D

两点，若线段CD的中点为(?

415,0)，求点P的坐标．

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衢州二中2011学年第一学期高二期中考试(二)

数学（理）试卷参考答案

一、选择题：

题号 答案 二、填空题：

11．(0,116) 12．

1 B 2 B 3 A 22π34 B 5 B 29556 C 7 A 348 A 9 D 10 B 13． 14．?

15．相切 16．1?三、解答题：

2 17．29

2，

18．解：由已知得命题p真：a??3，命题q真：?1?a?由题意可得：p和q有且只有一个为真，

??a??3（1）若p真q假，则???a??1或a???a??3（2）若p假q真：则????1?a?，解得?3?a??1或a?22；

，显然a??；

2综上可知，a的取值范围是(?3,?1)?(2,??)．

19．(1)由题意知点C的轨迹是以点F为焦点，l1为准线的抛物线，

所以点C的轨迹方程是x2?4y；

(2)由题意可设直线l2的方程为y?kx?1(k?0)， 与抛物线联立消去y得，x?4kx?4?0，

设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则x1?x2?4k,x1x2??4，又易得点R(?2k,?1)

2????????2222所以 RP?RQ?(x1?,y1?1)?(x2?,y2?1)?(x1?)(x2?)+(y1?1)(y2?1)

kkkk?(x1?2k2)(x2?2k2k)+(kx1?2)(kx2?2) ?2k)(x1?x2)?2k?2k)?4k2?(1?k)x1x2+(24k2?4

2??4(1?k)?4k(?4?4(k?1k2)?8

因为k??1时取等号，

k????????????????所以，RP?RQ?4?2?8?16，即RP?RQ的最小值是16．

221?2，当且仅当k2

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20．解：（1）设M(?,?)为圆上任意一点，

在?OMC中,?MOC?|???4|,|MC|?1,|MO|??,|OC|?2,

由余弦定理得：12??2?(2)2?22?cos(??即?2?22?cos(???4?4),

)?1?0，即为圆C的极坐标方程．

（2）圆C的普通方程为(x?1)2?(y?1)2?1,

将直线l的参数方程代入上述圆方程化简得：

t?2(sin??cos?)t?1?0,由直线参数方程的几何意义得：

2|PA|?|PB|?2|sin??cos?|,|PA|?|PB|?1，

故

|PA|?|PB||PA||PB|?12|sin??cos?||PA|?|PB|?122|sin(??24.

?4，

)|由??[0,?3],得|PA|?|PB|的最小值为21．解：（1）如图，建立平面直角坐标系，则D(?1,0)弦EF所在的直线方程为y?x?1

设椭圆方程为

xa22?yb22?1,(a?b?0)，设E(x1,y1),F(x2,y2)，

2由DF?2ED知：y1?y2??y1且y1y2??2y1，

2?x2y??1?联立方程组?a2b2 ，消去x得：(a2?b2)y2?2b2y?b2?a2b2?0

?y?x?1? 由题意知：a?1，

???4b?4(a?b)(b?ab)?4b(b?(a?b)(1?a))?0

42222222222 由韦达定理知：y1?y2?消去y1得：

22b22222a?b2??y1，y1y2?2b?aba?b222222??2y1 a(a?1)9?a22b?aba?b222222??2(2b22a?b2)，化简整理得：b?222

?0?b?a ?0?a(a?1)9?a2?a解得：1?a?5

?2?2a?25 即：椭圆的长轴长的取值范围为(2,25)．

22（2）若D为椭圆的焦点，则c?1，?b?a?1

由（1）知：b?2a(a?1)9?ax2222?a?1 ?a?9?a ?a?2222292,b?272

?椭圆方程为：

92?y72?1．

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22．解：（1）设切线方程为y?kx?m，与圆相切得m1?k2?1得m?k?1，

22?x2?4y又联立方程组得? 消去y得，x2?4kx?4m?0，

?y?kx?m设点A(x1,y1),B(x2,y2)，所以，x1?x2?4k,x1x2??4m，

????????由OA?OB知OA?OB?0得x1x2?y1y2?0，从而x1x2??16，则m?4,k??15，

故切线方程为y??15x?4； （2）设P(a,a24a)(a?2)，过P点圆的切线方程为y?2a24?k(x?a)，

2则C(a?4k1,0),D(a?a24k2,0)，由中点坐标公式得，2a?a(k1?k24k1k1)??815 （*）

ka?a2又由

42?1整理得，(a?1)k?a23422a31?k2k?a416?1?0，

所以 k1?k2?2(a?1)，k1k2?a?1616(a?1)2，

带入（*）式，整理得a4?60a?16?0

即(a?4)(a3?4a3?16a?4)?0，因为a?2，所以a3?4a3?16a?4?0， 则a?4?0，即a?4，故点P的坐标为(4,4)．

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