11 第十一次课(二元关系运算与函数)1

离散数学

第三章 --- 二元关系

Functions 函数

在实际问题中， 在实际问题中，我们感兴趣的往往不是一般的关 系，而是具有某些特殊性质的关系。为了更好的处理 而是具有某些特殊性质的关系。 这些关系，有必要深入研究关系的性质。 这些关系，有必要深入研究关系的性质。对A上的关系 上的关系 来说，主要的性质有：自反性、非自反性、对称性、 来说，主要的性质有：自反性、非自反性、对称性、 反对称性、传递性。 反对称性、传递性。

2011-2-27

Hongzhi Qiao, XiDian Univ.

离散数学

第三章 --- 二元关系上的关系R, 对A上的关系 ，若对任意的 上的关系 上自反的关系； 称R为A上自反的关系；若对任意的 为 上自反的关系 则称R为 上非自反的关系 则称 为A上非自反的关系 这个定义也可以写成： 这个定义也可以写成： 在A上是自反的 上是自反的 在A上是非自反的 上是非自反的2011-2-27 Hongzhi Qiao, XiDian Univ.

Functions 函数

都有 都有

,则 ，

离散数学

第三章 --- 二元关系如果R是 上自反的 上自反的， 如果 是A上自反的，

Functions 函数

则关系矩阵M(R)的主对角线元素都是 (即 的主对角线元素都是1( 则关系矩阵 的主对角线元素都是 1),关系图G(R)的每个顶点都有自圈。 ),关系图 的每个顶点都有自圈。 ),关系图 的每个顶点都有自圈 如果R是A上非自反的， 如果 是 上非自反的， 上非自反的

都

的主对角线元素都是0, 则M(R)的主对角线元素都是 ，G(R)的每个顶点 的主对角线元素都是 的每个顶点 都没有自圈。 都没有自圈。2011-2-27 Hongzhi Qiao, XiDian Univ. 3

离散数学

第三章 --- 二元关系在非空集合A上的恒等关系 例1 在非空集合 上的恒等关系 都是自反的 。 在非空集合A上的空关系 例2 在非空集合 上的空关系 集合N上的小于关系 是非自反的。 集合 上的小于关系 < 是非自反的。

Functions 函数

和全关系

是非自反的。 是非自反的。在

2011-2-27

Hongzhi Qiao, XiDian Univ.

离散数学

第三章 --- 二元关系例3 在集合 上的关系

Functions 函数

不是自反的，也不是非自反的。 不是自反的，也不是非自反的。 但是在非空集合A上 不存在一个关系， 但是在非空集合 上，不存在一个关系，它是自 反的又是非自反的。 反的又是非自反的。

2011-2-27

Hongzhi Qiao, XiDian Univ.

离散数学

第三章 --- 二元关系设 R 为集合 A 上的关系 ，对任意的 若 若 这个定义也可以写成 R在A上是对称的 在 上是对称的 R在A上是反对称的 在 上是反对称的2011-2-27 Hongzhi Qiao, XiDian Univ.

Functions 函数

,

上对称的关系； ,则称 R 为 A 上对称的关系； 上反对称的关系。 ,则称R为A上反对称的关系。 则称 为 上反对称的关系

离散数学

第三章 --- 二元

关系反对称性的另一种等价的定义为 R在A上是反对称的 在 上是反对称的

Functions 函数

如果R是 上对称的 上对称的， 是对称矩阵(对任意的 如果 是A上对称的，则M(R)是对称矩阵 对任意的 和j, 是对称矩阵 对任意的i和 ，

)

G(R)中任意两个顶点之间或者没有有向边，或者互有有向边 和 中任意两个顶点之间或者没有有向边， 中任意两个顶点之间或者没有有向边 (不会只有 没有 )。如果 是 上反对称的 上反对称的， )。如果R是A上反对称的，则M(R)是反 如果 是反 ，若 则 ),G(R)中任意 中任意 ),

对称矩阵的( 对称矩阵的(对任意的

两个顶点之间或者没有有向边，或者仅有一条有向边( 两个顶点之间或者没有有向边，或者仅有一条有向边(不会同时有 和 )。Hongzhi Qiao, XiDian Univ. 7

2011-2-27

离散数学

第三章 --- 二元关系

Functions 函数

例4 在非空集合 A 上的全关系是对称的 ，不是反 对称的。 对称的。 例5 在 上的整除关系、 上的整除关系、小于

等于关系、小于关系都是反对称的，且不是对称的。 等于关系、小于关系都是反对称的，且不是对称的。 例6 在非空集合 A 上的恒等关系和空关系都是对 称的，也都是反对称的。 称的，也都是反对称的。

2011-2-27

Hongzhi Qiao, XiDian Univ.

离散数学

第三章 --- 二元关系例7 在集合 上的关系

Functions 函数

不是对称的，也不是反对称的。 不是对称的，也不是反对称的。

和例7说明 例6和例 说明，对称性和反对称性既可以同时满 和例 说明， 足，也可以都不满足。 也可以都不满足。2011-2-27 Hongzhi Qiao, XiDian Univ. 9

离散数学

第三章 --- 二元关系上的关系， 设 R 为集合 A 上的关系，对任意的 若

Functions 函数

,

上传递的关系； ,则称R为A上传递的关系； 则称 为 上传递的关系 这个定义也可以写成 R在A上是传递的 在 上是传递的

2011-2-27

Hongzhi Qiao, XiDian Univ.

离散数学

第三章 --- 二元关系

Functions 函数

例8 在集合 A 上 的 全关系 、恒等关系 、空关系都 是传递的。 是传递的。 在 上的整除关系、 上的整除关系、小于等

于关系、小于关系都是传递的。 于关系、小于关系都是传递的。 例9 在集合 不是传递的关系， 不是传递的关系，因为 但是2011-2-27

上的关系 ， ,

。Hongzhi Qiao, XiDian Univ. 11

离散数学

第三章 --- 二元关系

Functions 函数

2011-2-27

Hongzhi Qiao, XiDian Univ.

离散数学

第四章 --- 函数

Functions 函数

"数学的进步及其活力总是依赖于抽象对具体的帮 数学的进步及其活力总是依赖于抽象对具体的帮 助以及具体对抽象的哺育。  助以及具体对抽象的哺育。" -- M. Kac 函数是一个基

本的数学概念。通常的实函数是在 函数是一个基本的数学概念。 实数集合上讨论的。这里推广了实函数概念， 实数集合上讨论的。这里推广了实函数概念，讨论在 任意集合上的函数。 任意集合上的函数。

2011-2-27

Hongzhi Qiao, XiDian Univ.

离散数学

第四章 --- 函数函数定义

Functions 函数

函数建立了从一个集合到另一个集合的一种变换 关系，计算机执行任何类型的程序就是这样一种变换。 关系，计算机执行任何类型的程序就是这样一种变换。 例如编译程序可以把一个源程序变换成一个机器 语言的指令集合----目标程序。 语言的指令集合 目标程序。 目标程序

2011-2-27

Hongzhi Qiao, XiDian Univ.

离散数学

第四章 --- 函数对集合A 到集合B 对集合 到集合 的关系 (1) 对任意的 使 (2) 则称 的书称2011-2-27

Functions 函数

,若满足下列条件： 若满足下列条件： ,

,存在唯一的

成立； 成立；

为从A到 的函数 的函数， 为从 到B的函数，或称

映射到B 把A映射到 (有 映射到

为全函数、映射、变换)。 为全函数、映射、变换)。Hongzhi Qiao, XiDian Univ. 15

离散数学

第四章 --- 函数一个从A到 的函数 一个从 到B的函数 这时若 ，则可记作 ，可以写成 ： 或 ：

Functions 函数

。 。

函数的两个条件可以写成 (1) (2)2011-2-27 Hongzhi Qiao, XiDian Univ. 16

离散数学

第四章 --- 函数

Functions 函数

函数的第一个条件是单值性, 定义域中任一x与 中 函数的第一个条件是单值性 定义域中任一 与B中 唯一的y有关系 唯一的 有关系. 因此可以用 f (x) 表示这唯一的 y. 有关系 第二个条件是A为定义域 中任一 都与B中某个 第二个条件是 为定义域, A中任一 都与 中某个 为定义域 中任一x都与 中某个y 有关系. 注意不能把单值性倒过来. 的函数f, 有关系 注意不能把单值性倒过来 对A到B的函数 当 到 的函数 x1fy且x2fy成立时 不一定 且 成立时, 因此, 成立时 不一定x1=x2. 因此 函数的逆关系不 一定是函数. 一定是函数2011-2-27 Hongzhi Qiao, XiDian Univ. 17

离散数学

第四章 --- 函数

Functions 函数

如果一个关系是函数, 如果一个关系是函数 则它的关系矩阵中每行恰好 有一个1, 其余为0, 它的关系图中每个A中的顶点恰好发 有一个 其余为 它的关系图中每个 中的顶点恰好发 出一条有向边. 出一条有向边

另外， 是函数，称其为空函数。 另外， 是函数，称其为空函数。 2011-2-27 Hongzhi Qiao, XiDian Univ. 18

离散数学

第四章 --- 函数

Functions 函数

相等， 若函数 f 和函数 g 相等，那么它们的定义域和值域 分别相等， 分别相等，即do m (f) = d o m (g),r a n (f) = r a n (g), , , 而且对任意的x∈ 而且对任意的 ∈ do m (f) = do m (g),都有 (x)=g (x)。 ,都有f 。

2011-2-27

Ho

ngzhi Qiao, XiDian Univ.

离散数学

第四章 --- 函数例1: 对实数集 R , R 上的关系 f 为 f = { <x ,y> | y = 3x }

Functions 函数

f 是从 R 到 R 的函数 记作 f: R→R , 并记作 的函数, f:|→3x 或 f (x) = 3x.

2011-2-27

Hongzhi Qiao, XiDian Univ.

离散数学

第四章 --- 函数例2: 集合 A = {1, 2, 3} 上 的 两个关系

Functions 函数

g={<1,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>} 和 h={<1,2>,<2,3>} 都不是从A到 的函数 的函数. 都不是从 到A的函数 没有单值性, 因为 g 没有单值性 即 <3,1>∈g 且 有 <3,2>∈g , ∈ ∈ 但是, 是从{1,2}到 而对关系 h , do m (h) = {1,2} ≠ A. 但是 h 是从 到 A的函数 的函数. 的函数2011-2-27 Hongzhi Qiao, XiDian Univ. 21

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/iqk4.html