（2012版）ZYM第二章极限与连续习题参考答案

第二章极限与连续习题参考答案(2012)

练习 2.1

1.根据函数f(x)的图形，求下列极限或解释它们为什么不存在.

(1)limf(x) (2)limf(x) (3)limf(x) (4)limf(x)

x??1x?0x?1x?1.5

?1yy?f(x)?21.50.51?11.50xf(x)?1，f(x)?2，f(x)不存在， 解：（1）xlim（2）lim（3）lim??1x?0x?1因为limf(x)?0.5，limf(x)?1.5，limf(x)?limf(x)；

x?1?x?1?x?1?x?1?f(x)不存在， 因为limf(x)???. （4）xlim?1.5x?1.5?x2?3x?22.设函数f(x)?

x?2（1）列表计算f(x)在点x?1.9,1.99,1.999,?,和x?2.1,2.01,2.001,?,的

f(x). 函数值，并估计极限limx?2（2）画出函数f(x)的图形，并根据函数图形检验(1)所得的极限.

f(x). （3） 根据函数解析式求极限limx?2x2?3x?2(x?2)(x?1)??x?1(x?2) 解：f(x)?x?2x?2limf(x)?1. （图、表略）.

x?2 1

f(x)?2，3.如果有极限lim则函数f(x)在x?0处一定要有定义吗? x?0请归纳f(x)在点x?0处可能出现的所有情况，并用图形表示.

limf(x)?2 解：不一定.如：①f(x)?x?2，在点x?0处有定义且连续，x?0?x?2,x?0f(x)?在点x?0处无定义，但limf(x)?2 ②?2x?0?x?2,x?0?x?2,x?0?limf(x)?2 ③f(x)??3x?0在点x?0处有定义但断开，x?0?x?2,x?0?（图形略）

f(x)一定存在吗? 如果极限limf(x)存4.如果f(0)?2，则极限limx?0x?0f(x)?2？请归纳极限limf(x)可能出现的所有情况，在，是否必须limx?0x?0并用图形表示.

?x?1,x?0?解：（1）不一定，如：f(x)??2x?0，f(0)?2

?x?1,x?0?f(x)不存在. 但limf(x)?lim(x?1)?1?limf(x)?lim(x?1)??1，limx?0x?0?x?0?x?0?x?0?f(x)?2； （2）不一定，如：①f(x)?x?2 f(0)?2，有limx?0②f(x)???x,x?0f(x)?limx?0?2 ,f(0)?2，但limx?0x?0?2,x?0（图形略） 5.设f(x)???x,x?1，画出函数f(x)的图形；求x?1时，f(x)的

?3x?1,x?1f(x)是否存在. 左右极限，并判定极限limx?1解：图形略.

f(x)?lim(3x?1)?2 ，limf(x)?limx?1 因为 limx?1x?1??x?1?x?1? 2

x?1?limf(x)?limf(x) 所以limf(x)不存在. ?x?1x?16.（不作要求略之） 用下列函数的图形求??0，使当0?x?x0??时，不等式f(x)?A??成立. （1）

y4.34f(x)?x?2x0?6??0.3A?405.73.766.3x

（2）

y431230f(x)?xx0?113A?1??491691x 5 解：（1）??0.3（2）??

9

7.（不作要求略之）设函数f(x)?2x?3，

（1） 求一个??0，使当x?1??时， f(x)?5?0.1； （2） 求一个??0，使当x?1??时， f(x)?5?0.01；

（3）设?是一个任意给定的正数，求一个??0，使当x?1??时，

f(x)?5??.

3

解：（1）??0.05（2）??0.005 （3）??.(解略)

2?8. （不作要求略之）用???语言证明

x?1)?8； （2）lim （1）lim(3x?3x?3x?0?x?31?； x2?96 （3）limx?0； （4）lim1?x?0；

x?1?9.求下列函数在指定点的极限，如果不存在，请说明理由. （1）f(x)?x，在x?0处； x（2）f(x)??（3）f(x)??x?4,?2x?1,x?1，在x?0，x?1，x?2处； x?11，在x?2处； x?2?x?2,x??1（4）f(x)??，在x??1处.

2x?3,x??1?解：（1）因为f(x)?|x|?1x?0 ??x??1x?0x?0x?0x?0?limf(x)?lim1?1?limf(x)?lim(?1)??1 ， ???x?0

所以f(x)?|x|在x?0处极限不存在. xf(x)?lim(x?4)?4， （2）因为 limx?0x?0所以f(x)??x?1?x?1?x?4 在x?0处极限为4. x?12x?1?x?1?x?1?x?1?因为 limf(x)?lim(2x?1)?1?limf(x)?lim(x?4)?5， 所以f(x)??x?1?x?4 在x?1处极限不存在.

?2x?1x?1f(x)?lim(2x?1)?3， 因为 limx?2x?2所以f(x)??x?1?x?4 在x?2处极限为3.

?2x?1x?1 4

x?2)?0，所以 lim（3）因为 lim(x?2x?2x??1?x??1?1?? x?2（4）因为 lim(2x?3)?1,lim(x?2)?1

f(x)?1 所以 xlim??110.用图形表示函数f(x)，使f(x)满足条件： (1)f(0)?2，f(2)??1

(2) limf(x)???， limf(x)???..

x?1?x?1?解：（1）例如：设y?f(x)?ax?b，f(0)?b,而f(0)?2,所以b?2

3于是y?f(x)?ax?2，f(2)?2a?2,而f(2)??1,所以a??

23故y??x?2.（图略）.

211f(x)???. ,有 limf(x)?lim???，lim（2）例如：取y?x?1?x?1?x?1?x?1x?1（图略）.

11.下列函数在什么情况下是无穷大量，什么情况下是无穷小量？ （1）y?1； （2）y?lnx； x?1（3）y?x2； （4）y?ex. 解：（1）因为

11??(x?1)，?0(x??)； x?1x?11所以 当x?1时，y?是无穷大量，

x?11当x??时，y?是无穷小量.

x?1（2）因为 lnx???(x?0?),lnx???(x???)， 所以 当x???时，y?lnx是正无穷大量， 当x?0?时，y?lnx是负无穷大量；

又因为 lnx?0(x?1)，所以 当x?1时，y?lnx是无穷小量. （3）因为 x2???(x??)，x2?0(x?0)

5

所以当x??时, y?x2是正无穷大量, 当x?0时,y?x2是无穷小量.

（4）因为 ex???(x???)，ex?0(x???).

所以当x???时,y?ex是正无穷大量，当x???时,y?ex是无穷小量. 12.下列变量哪些是无穷小量？哪些是无穷大量？ （1）x?0,cotx； （2）x?0,2?x?1； （3）x?0?,lgx； （4）??0,tan?.

解：（1）因为 x?0时,cotx??，所以x?0,cotx是无穷大量；

2?x?1?0，所以x?0,2?x?1是无穷小量； （2）因为 x?0时，（3）因为 x?0?时，lgx???，所以x?0?,lgx是负无穷大量； （4）因为 ??0时，tan??0，所以??0,tan?是无穷小量. 13.下列说法是否正确？

（1）无穷大量是极限为无穷大的变量；

（2）无穷大量是无界变量，无界变量也是无穷大量； （3）无极限的数列一定无界.

解：（1）不正确. 无穷大量是绝对值无限增大的变量；

（2）不正确. 例如：2，0，4，0，6，0, ??无界但不是无穷大量； （3）不正确.例如：1，-1，1，-1，??有界但它没有极限. 14.用图形表示一个函数f(x)，使f(x)满足条件：

(1)f(0)?1，f(1)?3

f(x)?0 ，limf(x)?2. (2) xlim???x???解：（1）如：f(x)?2x?1，（图略）.

6

?1?2x?0（2）如：f(x)?? （图略）. ?x?x?0?015.用图形表示一个函数f(x)，使f(x)满足条件：

(1)f(?1)?0，f(2)?3

f(x)?2. (2) limx??解：（1）如：f(x)?x?1，（图略）. （2）如：f(x)??2 （图略）. 16. （不作要求略之） 设函数f(x)?1， x2?21x（1）求一个M?0，使当x?M时， f(x)?0?0.01； （2） 求一个M?0，使当x?M时， f(x)?0?0.0001；

（3） 设?是一个任意给定的正数，求一个M?0，使当x?M时，

f(x)?0??.

解：（1）M?10（2）M?100 （3）M?17. （不作要求略之）用??M语言证明

（1）limx??1?. 2x?3?2； （2）lim2x?0. x???x18.写出下列数列的前5项

2n?11?(?1)n（1）an?； （2）an? 33n?2n1n(?1)n?1x2n?1（3）an?(1?)； （4）an?.

n(2n?1)!解：（1）由an?2n?1(n?1,2,3,?) 得数列的前五项为 3n?213579，，，，. 58111417 7

1?(?1)n(n?1,2,3,?) 得数列的前五项为 ?2?由an?n3２，０，

n22，０，. 3335(n?1,2,3,?)得数列的前五项为

?3?由an?(1?1)n32２，()2，()3，()4，()5.

(?1)n?1x2n?1(n?1,2,3,?)得数列的前五项为 ?4?由an?(2n?1)!xx3x5x7x9 ，?，，?，.

1!3!5!7!9!43546519.画出下列数列的点图，并指出哪些数列收敛，哪些数列发散.

1n； （2）a?(?1)n； nn21n（3）an?(?1)n； （4）an?；

n?3n?11?（5）an?sin； （6）an?[1?(?1)n]n.

nn（1）an?解：作图略.

（1）收敛于0 （2）发散 （3）收敛于0 （4）收敛于1 （5）收敛于0 （6）发散.. 20. （不作要求略之）设an?3n?2； n?1（1）求a1?3，a10?3，a100?3的值；

（2）求正整数N，使当n?N时，不等式an?3?10?4成立； （3）求正整数N，使当n?N时，不等式an?3??成立. 解：（1）,

12111, （2）N?104?1 (3) N?[?1] 11101?21. （不作要求略之）用??N语言证明

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（1）limn??13n?23?0lim?. ； （2）n??2n?1n22练习2.2

1. 下列说法是否正确，如不正确，请说明理由.

f(x)存在，则函数f(x)是有界函数. （1）若极限limx?2f(x)存在且大于0，则函数f(x)是非负函数. （2）若极限limx?2f(x)存在，只能说明f(x)在点x?2附解：（1）不正确，因为limx?2近局部有界，并非整体有界；

f(x)存在且大于0，只能说明f(x)在点（2）不正确, 因为limx?2x?2附近局部非负，并非整体非负.

2.根据下列函数f(x)和g(x)的图形，求下列极限或解释它们为什么不存在.

f(x)?g(x)] （2）lim[f(x)?g(x)] （1）xlim[??1x?1yy632g(x)4.54f(x)??101x?101x 解：（1）根据图形可得

x??1lim[f(x)?g(x)]?2?4?6

?f(x)?g(x)]不存在.因为根据图形可得limg(x)?4.5 （2）lim[x?1x?1

x?1?g(x)?limg(x)，limg(x)不存在， limg(x)?6，lim??x?1x?1x?1 9

f(x)?3,若lim[f(x)?g(x)]存在，反证法，矛盾. 而limx?1x?1f(x)?1，limg(x)?3，请指出下列解题过程 3.设极限limx?2x?2(a),(b),(c)所依据的极限运算法则.

f(x)?g(x)]2f(x)?g(x)lim[2x?2lim? (a) 4x?2[f(x)g(x)]4lim[f(x)g(x)]x?2?2limf(x)?limg(x)x?2x?2?lim[f(x)g(x)]?x?24 (b)

?2limf(x)?limg(x)x?2x?2[limf(x)?limg(x)]x?2x?24 (c)

?2?1?31?? (1?3)481 (a)商的运算法则；(b)代数和的运算法则，常数因子提到极限号外,幂的运算法则；(c)积的运算法则.

4.设极限limx?1f(x)?2，求极限 2x?13f(x) x2f(x) （2）lim（1）limx?1x?1f(x)?2,而lim(2x?1)?3，所以limf(x)存在 x?1x?12x?1limf(x)limf(x)f(x)x?1??x?1?2, limf(x)?6 于是（1）limx?1x?12x?1lim(2x?1)3解：因为limx?1x?1f(x)3?63f(x)3limx?1???18 （2）lim22x?1xlimx1x?15.设极限limx?1f(x)?3?3，求极限 x?1x?2f(x)f(x) （2）lim2（1）lim x?1x?1x?1)?0，而lim解：（1）因为lim(x?1x?1f(x)?3?3， x?1所以limx?1

f(x)?30为()型lim[f(x)?3]?0,从而 limf(x)?3 x?1x?1x?1010

limf(x)f(x)3x?1lim???1 （2）x?122x?2lim(x?2)1?2x?16.下列解题过程是否正确，如不正确，请说明理由，并给出正确的解题过程.

(x?1?x)?limx?1?limx????(??)?0； （1）xlim???x???x???x?（2）lim(x?011)?limx?lim?0?(??)???； 22x?0x?0xx（3）limx?2x?2x?26????； x?2lim(x?2)0x?22lim(x2?2)解：（1）不正确，不能直接用代数和的极限运算法则，而应乘有理化因子后，再求极限.

lim(x?1?x)?lim1?0

x?1?xx???x???（2）不正确，不能直接用代数和的极限运算法则，而应通分再利用无穷大量与无穷小量互为倒数的关系求之.

1x3?1lim(x?2)?lim2??? x?0x?0xx（3）不正确，不能直接用商的极限运算法则，应利用无穷大量与无穷小量互为倒数的关系求之.

x2?2lim??. x?2x?27. 求下列极限：

x5?2x?3)； （2）lim（1）lim(3x?1x?12x?1； 2x?xx2?2xxtanx?1)； （4）lim2（3）lim(； ?x??23x?x?10x?4（5）limx?4

y?1x?2； （6）lim； y?1x?4y?3?211

5x2?2x?34x3?2x2?1（7）lim； （8）lim； x??x??3x4?16x2?1312x3?1lim(?). （9）lim； （10）x?11?x3x??8x2?7x1?xx5?2x?3)?lim3x5?lim2x?lim3?3?2?3?8. 解：（1）lim(3x?1x?1x?1x?1（2）limx?1x?2x?12?13??. 2x?x1?12（3）lim(xtanx?1)?limxtanx?lim1??1. ???4x?4x?4?4x2?2xx(x?2)x?22（4）lim2?lim?lim??. x??23x?x?10x??2(3x?5)(x?2)x??23x?5?6?511（5）limx?4x?2x?411?lim?lim?. x?4x?4(x?4)(x?2)x?4x?24(y?1)(y?3?2)y?1?lim?lim(y?3?2)?4 y?1y?1y?1y?3?22（6）limy?1235??25x?2x?3xx?5. （7）lim?limx??x??16x2?166?2x421?2?4324x?2x?1x?0. （8）lim=limxx4x??x??13x?13?4x87?228x?7xxx?0?0 （9）因为lim=limx??2x3?1x??12?32x2x3?1所以 lim=?. x??8x2?7x313?(1?x?x2)2?x?x2?)?lim?lim（10）lim( 33x?11?x3x?1x?11?x1?x1?x?lim(1?x)(2?x)2?x?lim?1 x?1(1?x)(1?x?x2)x?11?x?x2

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8. 求下列数列的极限：

2n2?2n?37n3（1）lim； （2）lim； n??n??n3?3n2?6n3n2?132n?n?1n?5n（3）lim； （4）lim3. 5n??n??3n?7n?n解：（1）lim2n?2n?3?lim2n??n??3n?122?23?2nn?2. 133?2n7n37?lim?7. （2）limn??n3?3n2?6nn??361??2nn21?22n?n0n（3）lim?limn??0. n??n??73n?733?n?11n1?31523n?5nnn?1. （4）lim?lim?lim5n??3n?5nn??nn??1?11?3152nn51?9. （不作要求略之） 用???语言证明

f(x)?A，limg(x)?B， 若极限xlim?xx?x00f(x)?limg(x)=AB. 则 xlim?f(x)?g(x)?=xlim?xx?x?x000练习2.3

1.利用夹逼定理证明

cosx?0. x??x2?1cosx1证明 ：因为 ?1?cosx?1, 所以 2?2?2x?(??,??)

xxx11cosx?2)?0，lim2?0，由夹逼定理 lim2?0 而lim(x??x??xx??xxlim证毕.

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2.求下列极限 （1）limx?0（3）limx?0tan2xsin?x； （2）lim(??0)； x?0sin?xsin5x1?cosxarcsinxlim； （4）； x?0tan2x2xx?sinxsin(x2?1)lim（5）lim； （6）. x?0x?sinxx?1x?1tan2x?2x22x解：（1）原式=lim?.

x?0sin5x?5x55xsin?x??x??x（2）原式=lim?.

x?0sin?x??x??xxx2sin2sinx2cos2x1222（3）原式=lim?lim()?()??. x?0tan2xx?0xsinx222(1?cosx)(1?cosx)cos2x1或原式=lim ?lim?2x?0x?0tanx(1?cosx)1?cosx2arcsinxt?arcsinxt1??lim? （4）原式=.limx?0x?02sint2x2sin(x2?1)(x?1)?2. （5）原式=limx?1x2?1x?1sinx（6）原式=lim?0. x?0x?1sinx3. 求下列极限

x?11x22lim(1?)?)； （1）x??； （2）lim(1x??2xx（3）lim(x??x?axn?2n?1)； （4）lim()； n??x?an2x11??1?1(1?)x?[lim(1?)?1]2?e2. 解：（1）原式=limx??x??2x2x 14

?2(?1)?2（2）原式=lim(1?)?2lim(1?)?1?e?1.

x??x??xx?2a?2a(?2a)?a?2a?2a(?2a)?2a?a（3）原式=lim(1?)?lim(1?)lim(1?) x??x??x??x?ax?ax?ax?ax?ax=e?2a.

aa?a?(?a)1?(1?)e?axxx)?lim?a?e?2a. 或原式?lim(xx??x??aea?a1?(1?)axx?22n2?)2(1?)?e2. （4）原式=lim(1n??nnx练习2.4

1.求下列极限

x3?x2?x)； （2）lim(x2?1)cos（1）lim(2x?0x?131； x?1n2xcosxarctann. （3）lim； （4）limn??n3?2n?1x??x?1x3?x2?x)?0 解（1）lim(2x?0x2?1)?0，cos（2）因为lim(x?11有界变量 x?1x2?1)cos所以 lim(x?11?0 x?13132xx（3）因为lim?lim?0，cosx有界变量 x??x?1x??11?x所以limx??3xcosx?0 x?1n2arctann?0 （4）同理：limn??n3?2n?12. 当x?1时，下列各对无穷小量是否等价？

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（1）1?x与1?x3； （2）1?x与(1?x3)； （3）

1?x与1?x （4）arctan(1?x)与1?e1?x. 1?x1?x11?lim?解：（1）否.因为lim ， x?11?x3x?11?x?x2313所以x?1时，1?x与1?x3是同阶无穷小量非等价. （2）是. 因为limx?11?x1(1?x3)3?limx?111(1?x?x2)3?1，

所以x?1时，(1?x)~(1?x3).

1?x1?x?lim1?x?1 ， （3）是. 因为limx?11?xx?11?x13所以x?1时，

1?x~(1?x). 1?x（4）否. 因为x?1时，arctan(1?x)~(1?x)，e1?x?1~(1?x)， 于是limx?1arctan(1?x)1?x?lim??1 x?1?(1?x)1?e1?x所以x?1时，arctan(1?x)与1?e1?x是同阶无穷小量非等价. 3. 当x?0?时，下列函数中哪些是比x的高阶无穷小量？哪些是与x的同阶无穷小量？哪些是比x的低阶无穷小量？ （1）x?tan2x； （2）1?cosx； （3）cos(1?x)； （4）sinx.

2?解：（1）因为 limx?0?x?tan2x2tan2x?lim(1?)?3 ， ?x?0x2x故当x?0?时，(x?tan2x)是x的同阶无穷小量.

1?cosxx22?lim?0 ， （2）因为 lim??x?0x?0xx故当x?0?时，1?cosx?o(x).

16

（3）因为 limx?0cos?2(1?x)x?sin(x)?2?? ， ?lim2x?0??x22?故当x?0?时，cos(1?x)是x的同阶无穷小量.

2?（4）因为 limsinxx1?lim?lim??? ， ??x?0?x?0x?0xxx故当x?0?时，sinx是比x更低的无穷小量. 4. 证明当x?0时，tanx?sinx?o(x).

1?1)tanx?sinx1cosx证：lim?lim?lim(?1)?0， x?0x?0x?0xxcosxtanx?sinxtanxsinx?lim(?)?1?1?0 或limx?0x?0xxxsinx(证毕.

5. 利用等价无穷小量代换，求下列极限

x2tan2x（1）lim （2）lim； x?0sin5xx?02xsin()33arctan2x1?2x?1lim?4x（3）lim； （4）. x?0arcsin3xx?0e?1解：（1）limx?0tan2x2x2?lim?. x?0sin5x5x5x2?lim?9. （2）limx?0x?0xxsin2()()233x2

（3）limx?03arctan2x2x2?lim?. x?0arcsin3x3x3

2x1?2x?11（4）lim?4x?lim3??.

x?0x?0?4xe?16练习2.5

f(x)是否存在？反之，1. 如果函数f(x)在点x?a处连续，问极限limx?a 17

f(x)存在，f(x)在点x?a处是否一定连续？为什么？ 如果limx?a答：根据函数f(x)在一点连续的定义，函数f(x)在x?a处连续，

f(x)一定存在.反之不一定成立，f(x)存在，则lim即若lim不能说f(x)在x?ax?ax?a处一定连续，因为limf(x)存在，并不一定f(x)在x?a处有定义，

x?af(x)也不一定等于f(a)，所以不一定连续. 即使有定义limx?a2. 用定义证明下列函数是连续函数. （1）y?3x2?1 （2）y?cosx. 证明：（1）设x0是(??,??)内任意一点，则

y0?3x0?1

2又limy?lim(3x2?1)?3x02?1

x?x0x?x0x?x0limy?y0?3x0?1，所以函数y?3x2?1在点x0处连续.

2又因为x0是(??,??)内任意一点，由任意性知函数y?3x2?1 在(??,??)内连续，故y?3x2?1是(??,??)内的连续函数. （2）设x0是(??,??)内任意一点，给自变量x在x0处取得改变量?x,则相应函数的增量为?y?cos(x0??x)?cosx0??2sin(x0?lim?y?lim[?2sin(x0?而?x?0?x?0?x?x)sin]?0 22?x?x)sin， 22所以函数y?cosx在点x0处连续.

又由于x0是定义域(??,??)内的任意一点，所以y?cosx 在(??,??)内是连续函数.

?2x,3. 函数f(x)???3?x,f(x)的图形.

0?x?1,在闭区间?0,2?上是否连续？画出

1?x?2解：当0?x?1时，f(x)?2x 初等函数连续.

18

当1?x?2时， f(x)?3?x 初等函数连续. 在x?1处，f(1)?2，limf(x)?lim2x?2，

x?1?x?1?x?1?limf(x)?lim(3?x)?2，limf(x)?limf(x)?f(1) ???x?1x?1x?1所以函数f(x)在闭区间[0，2]上连续.

?ex,x?04. a取何值，函数f(x)??，在点x?0处连续.

?a?x,x?0解：设f(x)在点x?0处连续，则 limf(x)?limf(x)?f(0),

x?0?x?0?而limf(x)?lim(a?x)?a?f(0)?a,

x?0?x?0?x?0xlimf(x)?lime?1?f(0)?a, 所以a?1. ??x?05. 求下列函数的间断点，并指出其类型： （1）y?x1y?； （2）； 2sinx(x?2)1?cosx； 2xx?11（5）y?； （6）y?sinxsin.

tanxx（3）y?xcos； （4）y?1x解（1）xlim??21??? 2(x?2)所以x??2是f(x)的第二类无穷间断点. （2）因为x?0处函数无定义，但 limx?0x?1 sinx所以x?0是函数的第一类可去间断点； 而当x?n? (n为不为0的整数)时，xlim?n?x??， sinx故x?n?(n??1,?2?)为f(x)的第二类无穷间断点.

xcos?0，x?0时函数无定义，所以x?0是函数的 （3）limx?01x第一类可去间断点.

19

x2x2?1， （4）因为x?0时函数无定义，但 lim1?cos?limx?0x?0x2x22所以x?0是函数的第一类可去间断点. （5）因为xlim?n?x?1??，所以x?n? (n?Z)是函数的第二类 tanx无穷间断点；

当x??2?n?(n?Z)时函数无定义，

但limx??n?2?x?11?lim(x?1)?0 tanxx???n?tanx2故 x??2?n? (n?Z)是函数的第一类可去间断点.

sinxsin?0（无穷小量与有（6）当x?0时函数无定义，但 limx?01x界变量之积仍是无穷小量），

所以x?0是函数的第一类可去间断点. 6. 求下列极限：

e（1）limx?0sinxx2?4). ； （2）limarctan(2x?23x?6xln(1?x). sinx1x?3x(1?)x； （6）lim()； （5）xlim???x??xx?6?sinx)cscx； （4）lim（3）lim(1x?0x?0111?tanxx3)； （8）lim(cos?sin)x; （7）lim(x??x?01?sinxxx1解：（1）limex?0sinx?ex?0limsinx?e0?1

x2?4x2?4)?arctanlim(2) （2）limarctan(x?2x?23x?6x3x2?6x?arctanlim[x?2(x?2)(x?2)x?22]?arctanlim?arctan x?23x3x(x?2)3cscx?sinx)（3）lim(1x?0

?lim(1?sinx)x?0?1?(?1)sinx?e?1

20

1ln(1?x)x?lim[?ln(1?x)x]?1?lne?1 （4）解法1：limx?0x?0sinxsinx解法2： limx?0ln(1?x)x?lim?1(x?0,ln(1?x)~x) x?0sinxsinxx1(1?)（5）解法1：xlim???x?limex???1xln(1?)x?e?1?xx???xlim?ex???lim?1x?e0?1

(x???,?111?0，ln(1?)~?) xxx解法2：xlim(1?)x?lim(1????x???1x1?)xx?(?1)?(1?1)xx?e?1?e?1

u(x)?lim(?)?0,limv(x)?limx??? 解法3：因为xlim???x???x???x???(?)?x?lim(?而xlim???x???1x1x)?0，所以 原式?e0?1

1x1解法4：lim(1?)x???xx???x1?x?x?lim[(1?)]x x????x1?x)?e?0 ?x?limu(x)?lim(1?x???x???limv(x)?limx???x1??lim?0，所以 原式?e0?1 x????xxx?6?9?69x?3x9x9()=lim(1?)=lim(1?（6）解法1：lim)x??x?6x??x??x?6x?6

9(1?)=[limx??x?6x?699]lim(1?x??969)=e. x?6x3x33?3(1?)lim(1?)e3x?3xx??9xx()=lim???e解法2：lim x?6x??x?6x??6x6??(?6)e(1?)lim(1?)6xx??x(解法3：limx??x?3x9x)=lim(1?) x??x?6x?6u(x)?lim(因为xlim???x???9)?0,limv(x)?limx??? x???x???x?6 21

而xlim???9?x?9 所以 原式?e9 x?699limxln(1?)lim?xx?3x9xx??x??x?6x?6()=lim(1?)?e?e?e9 解法4：limx??x?6x??x?6tanx?sinxx31?tanxx3（7）解法1：lim() )?lim(1?x?0x?01?sinx1?sinxu(x)?lim因为 limx?0x?0tanx?sinx?limx?01?sinx1v(x)?lim3?? limx?0x?0xsinx(1?1)sinx(1?cosx)cosxlim?0， x?01?sinx(1?sinx)cosx111?1)1tanx?sinxsinx(1?cosx)cosxlim而lim== limx?0x?0x3x?0x3(1?sinx)cosxx3(1?sinx)1?sinxsinx(xx2x?2sinx?1112?lim?3?lim?32? x?01?sinxx?01?sinxxcosxxcosx221?tanxx32 故 lim()=e x?01?sinx1?tanxx3tanx?sinxtanx?sinxx3(1?sinx)解法2：lim(， )=lim[(1?)]x?01?sinxx?01?sinx1?sinxtanx?sinxtanx?sinxtan?0有limu(x)?lim(1?)x?sinx?e?0 因为 limx?0x?0x?01?sinx1?sinx1111?sinxtanx?sinxlimv(x)?limx?0tanx?sinx1? x?0x3(1?sinx)2111?tanxx3v(x) 故由结论有 lim()?limu(x)?e2. x?01?sinxx?011112（8）解法1：lim(cos?sin)x?lim[(cos?sin)2]2?lim(1?sin)2 x??x??x??xxxxxxx2x222x2x1111(cos?sin)x?lim[1?（cos?sin?1）]x 解法2：limx??x??xxxx11(cos?sin?1)=0, limx??, 而 limx??x??xx

22

xxsin?0,lim?? lim?sin?lim??1，原式?e1?e 而limx??x??x??x??2x1111?sin?1)?lim(?x)?(1?cos)?limxsin x??x??xxxx??x1()211 ?lim(?x)?x?limx??lim??1?1,原式?e1?e x??x??2xx??2xlimx?(cosxln(cos?sin)limxln(cos?sin)11xxxx(cos?sin)x=lime解法3：lim=， ex??x??x??xx111111ln(cos?sin)11xx（0）xln(cos?sin)=lim而 lim x??1xxx??0x111?1(?sin?cos)(2)1111xxxcos?sin?sin?cosxxxx=1， =lim=limx??x???111cos?sinx2xx11?sin)x?e1=e. 故lim(cosx??xx7. 证明方程x5?3x?1在1与2之间至少存在一个实根. 证：设f(x)?x5?3x?1，则f(x)在?1,2?上连续，

且f(1)?1?3?1??3?0，f(2)=25?3?2?1?25?0，即f(1)?f(2)<0 由零值定理知至少存在一点??(1,2)，使f(?)?0， 即方程x5?3x?1在1与2之间至少存在一个实根.

8. 设f(x)在闭区间?a,b?上连续，且f(a)?a，f(b)?b，证明在区间(a,b)内至少存在一点?，使f(?)??.

证：设g(x)?f(x)?x，

由于f(x)在?a,b?上连续，所以g(x)在?a,b?上连续， 又g(a)?f(a)?a?0 ，g(b)?f(b)?b?0， g(a)g(b)?0， 故至少存在一点??(a,b)，使g(?)?0， 即至少存在一点??(a,b)，使f(?)??.

证毕

23

练习2.6

1.设某企业从利润中提出20000元存入银行，准备若干年后建造一栋职工宿舍楼，假设造价要400000元，银行年利率为8%。问需要存多少年才能达到建房所需的款项？

解：设需要存n年才能达到建房所需的款项，则

400000?20000(1?8%)nlg20?nlg1.08?n?38.09520?1.08n

1.3010?n?0.0334

答：需要约存39年才能达到建房所需的款项.

2.假设某公司从盈余中提出45120元存入银行，希望六年能得到80000元上对某设备更新.试问需向银行要求多高的利率？

解：设需向银行要求年利率为r,则

80000?45120(1?r)61.773?(1?r)6

lg(1?r)?0.0414,r?0.1?10%答：需要向银行要求10%的利率.

3.设某企业决定用200000元进行投资，希望今后八年内每年末能得到相等金额的款项发放奖金，若投资报酬率为10%，求每年末可得到多少金额的款项？

解：这是一个普通年金现值问题

?PvAn?200000,r?10%,n?8?A?PvAn200000?

1111[1?][1?]r(1?r)810%(1?10%)8200000200000???37481.2611?0.466410(1?)2.14424

答：每年末可得到37481.26元的款项.

习题二

1.单项选择

f(x)存在的（ ）. （1）函数f(x)在点x0处有定义是极限xlim?x0?A?必要条件 ?B?充分条件 ?C?充要条件 ?D?无关条件

解：因为研究当x?x0时f(x)的极限，只是探讨当x无限趋近x0时，

f(x)的变化趋势，而不涉及x?x0时f(x)的状况，f(x)在x?x0处可以

有定义，也可以无定义，故选?D?.

（2）若f(x0?0)，f(x0?0)均存在，则必有（ ）.

f(x)存在 ?B?limf(x)不存在 ?A?xlim?xx?x00f(x)可能存在也可能不存在 ?D?以上都不对 ?C?xlim?x0解：若f(x0?0)，f(x0?0)均存在，但有可能f(x0?0)=f(x0?0) 也有可能f(x0?0)?f(x0?0)，故选?C?. （3）数列的极限存在是该数列有界的（ ）.

?A?必要条件 ?B?充分条件 ?C?充要条件 ?D?无关条件

解：数列的极限存在是该数列有界的充分条件，因为数列-1，1，-1，…有界，但是它不存在极限，所以非必要. 故选?B?. （4）数列1，0，1，0，1…….的极限为（ ）.

?A? 0 ?B?1 ?C? 发散 ?D? 不能确定

解：根据数列极限定义，由于不存在常数A ，故该数列没有极限或称数列发散，故选?C?.

e=（ ）. （5）极限limx?0

25

1x

?A? 0 ?B? 1 ?C? ? ?D? 不存在

解：因为 lime??? ， lime?limx?0?1x1x1e?1xx?0?x?0??0，

e不存在 故选?D?. 所以limx?01x（6）极限limx??sinx=（ ）. x?A? 0 ?B? 1 ?C? ? ?D?不存在

解：因为 limx??（7）极限lim1sinxsinx?0 故选?A?. =limx??xxsinx=（ ）.

x??(x??)ex???A? 1 ?B? –1 ?C? 0 ?D? ?

解：因为 limx??(xsin（8）极限limx?0sinx?sin(x??)=lim??1 故选?B?. x??x??x??(x??)e(x??)e11?sin2x)=（ ）. 2xx?A? 4 ?B? 1 ?C? 1 ?D? 2

412sin2x11(xsin?sin2x)=limxsin?lim解：lim=0+2=2 x?0x?02xx2xx?02x故选?D?. （9）若limx?03sinkx2?，则k?( ) . 2x3?A? 0 ?B? 3 ?C? 2 ?D? 4

23943sinkx3?kx3?k2?lim??，k?， 解：limx?0x?02x92x23故选?D?.

x（10）极限lim(1?)x=（ ）.

x?071?A? e ?B? e17?17 ?C? e7 ?D? e?7

26

1x?x?(?7)xx?7解：lim(1?)=lim(1?)?e， x?0x?077171故选?B?.

(（11）极限limx??x?12x)=（ ）. x?A? e?2 ?B? e2 ?C?

1 ?D? e e(解：limx??x?12x?1)=lim(1?)?x?(?2)?e?2 x??xx故选?A?.

x1?2x=（ ）. （12）极限limx?0?A? e2 ?B? e?2 ?C? e ?D? 不存在

x1?2x=lim(1?(?2x))解：limx?0x?01?(?2)?2x?e?2

故选?B?.

（13）若lim(1?kx)?，则k=（ ）.

x?01x1e?A? 1 ?B?

1x?1

1kkx ?C? 2 ?D? ?2

1?ek?

e解：lim(1?kx)?lim(1?kx)x?0x?0所以k??1，故选?B?.

（14）下列极限中，正确的是（ ）.

1()x??1 ?B? ?A?xlim?0?2alim()x?0(b?a?0) x???b?C? lime?? ?D? limx?01xx?0x?1 x解：因为lim()x?1??1；

x?0?12由b?a?0有0?aa)；0?1 得lim(x?x???bb

27

e不存在，而不是lime??； 又由lime????lime?0，得limx?0x?0x?0?x?0?1x1x1x1x由f(x)?x?1x?0不存在； 有f(0?0)??1?f(0?0)?1，lim??x?0xx??1x?0x故选?B?. （15）设f(x)???x,x?0,则limf(x)?（ ）. x?0?1,x?0?A? 0 ?B? 1 ?C? ? ?D? 不存在

f(x)?limx?0 解：由题设知 limx?0x?0故选?A?.

f(x)??,limg(x)??，则（ ）. （16）若limx?ax?a?f(x)?g(x)??0 ?f(x)?g(x)??? ?B?lim?A?limx?ax?a?C?limx?a1?f(x)?g(x)?可能存在可能不存在 ?0 ?D?limx?af(x)?g(x)解：取 f(x)?11,g(x)??, x?1x?111f(x)?lim??,lim(?)?? 则 limx?1x?1x?1x?1x?1lim?f(x)?g(x)??lim0?0??， lim?f(x)?g(x)??limx?1x?1x?1x?12???0 x?1 limx?11???0，?A??B??C?都不成立，故选?D?.

f(x)?g(x)（17）下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是（ ）.

?A?ex(x?0) ?B?1?sinx(x?0)

x?C?lnx(x?0?) ?D??x2(x??)

ex?1,lim(1?解：limx?0x?0sinx)?0,limlnx???,lim(?x2)??? ?x??x?0x根据无穷小量的定义，故选?B?. （18）当x?0时,sinx与1?cosx相比是(

28

).

?A?高阶无穷小 ?B?低阶无穷小 ?C?同阶无穷小 ?D?等阶无穷小

解：由题意知 limsinx?0x?0,lim(1x?0?cosx)?0, 因为 limsinxx?01?cosx?limx2x?0x2?limx?0x??， 2所以当x?0时,sinx是比1?cosx低阶的无穷小量，故选?B?. 19）下列变量在给定变化过程中为无穷大量的是（ ）.

?A?x2?1xx3?1(x???) ?B?e(x?0?)

?C?(x?1)x(x?1)sin1x3?1(x?1) ?D?x?1(x??) 解：因为 xlimx2???x3?1?xlim1???1???；

x?1x4?1x1(x?1)xx1xlim?0?e?xlim?0?1?0；limexx?1x3?1?limx?1x2?x?1?3； sin1lim(1x?1x??x?1)sinx?1?limx??1?1； 故选?A?. x?120）设f(x)为多项式函数，且limf(x)?2x3x??x2?1,limf(x)x?0x?3,则f(x)?(?A?x2?3x ?B?2x3?x2 ?C?2x3?x2?3x ?D?2x3?x2?3x?3

解：由已知f(x)为多项式函数，且limf(x)?2x3x??x2?1, 可知f(x)?2x3是与x2同次幂的多项式且二次项系数为1，

令f(x)?2x3?x2?ax?b其中a,b待定

29

).

（（

又因为limx?0x?0f(x)0?3所以此极限为（）型, x0x?0即有limf(x)?lim(2x3?x2?ax?b)?0,得b?0

2x3?x2?ax?0于是lim?lim(2x2?x?a)?3,得a?3 x?0x?0xf(x)?2x3?x2?3x 故选?C?.

（21）函数f(x)?x2在x?1处的改变量?y?（ ）.

?A?2x?x ?B?2?x?(?x)2 ?C?2x?x?(?x)2 ?D?2?x

解：由题设得

?y?f(1??x)?f(1)?(1??x)2?1?1?2?1??x?(?x)2?1?2?1??x?(?x)?2?x?(?x)22

故选?B?.

（22）函数f(x)在点x0处有定义是f(x)在该点连续的（ ）.

?A?必要条件 ?B?充分条件 ?C?充要条件 ?D?无关条件

解：根据函数f(x)在点x0处连续的定义知在点x0处有定义是在该点连续的必要条件. 故选?A?. （23）函数y?x?3的间断点有（ ）.

(x?1)(x?2)?A? 1个 ?B? 2个 ?C? 3个 ?D? 0个

解：因为函数的定义域为D?[3,??) 所以函数的间断点为0个，故选?D?. 2.求下列极限.

30

x2?1(x2?1)(5?x?2)[?(1?x)(5?x?2)]??8. （1）lim=lim=limx?1x?1x?11?x5?x?21(2sinx?1)(sinx?1)sinx?12?12sinx?sinx?1（2）lim=lim=lim=?3. ?(2sinx?1)(sinx?1)?sinx?1?2sin2x?3sinx?11x?x?x??166621a2a(n?1)alim[(x?)?(x?)???(x?)] （3）n??nnnn2

1?2???(n?1)a]

n11?2???(n?1)lim[(1?)x?a] =n??nn21n?1lim[(1?)x?a] =n??n2na =x?.

2lim[(n?1)x? =n??1n（4）xlim???1111??1?x?xx?x?xxx3x=lim=lim?1. x???x???11x?11?1?xx2x?1203x?23020330330(2x?1)20(3x?2)30lim（)()=1?()=(). （5）解1：lim=x??2x?1x??22x?12(2x?1)50解2：lim(2x?1)(3x?2)=lim50x??x??(2x?1)2030(2x)20(1?1202)(3x)30(1?)302x3x?(3)30

12(2x)50(1?)502xlim（6）n??2n?1?32n?3nn?122()n?3=lim3?3. n??2n()?131?0.

n?1?nlim(n?1?n)=lim（7）n??n??xnxn2lim2sinn=lim（8）n?x?x. ??2n??x2nsin 31

x1?cosx22=2. （9）lim?=lim?limxx?0?xx?0x?0x222?22sinaxsinbxsinax?sinbxlima?limb?a?b. （10）lim=x?0x?0x?0xaxbx2sinx2?sin（11）xlim???x2sin1x=lim2x2?1x???x2sin2x1?1x12x2=limx???11. ?21121?2x2xnsin1xn?2n?122?222?2?1lim()=lim(1?)n?1=lim(1?)2=lim(1?)2lim(1?)?e2. （12）n??n??n??n??n??nnnnnnx2?1x22(2)=lim(1?2)（13）解法1：limx??x?1x??x?1x2?1?2?12

2=lim(1?2)x??x?1x2?1?22lim(1?x??2)?e2. 2x?11x21x2)(1?)22ex2?1x2xx??1?e2 解法2：lim(2)?lim?limx??x?1x??12x??12e(1?2)x(1?2)?x?(?1)xx(1?(cosx)（14）limx?011?cosx?(cosx?1)]=lim[1x?011?cosx?(cosx?1)]=lim[1x?01?(?1)cosx?1?e?1.

（15）limx?1x?1lnx11limlim?==.(x?1时,lnx与x?1等价) x?1x?1x2?1x?1x2?12（16）解法1：limx?02?1?cosx1?x?1x22=limx?02?(1?cosx)x2(2?1?cosx)2

=limx?02sin22x(2?1?cosx)2x?02=limx?0sin2x()2(2?1?cosx)22?(1?cosx)x2?122.

解法2：lim2?1?cosx1?x?1?limx?0x2(2?1?cosx)21?cosx

?limx?0x(2?1?cosx)232

2

?limx?0x2(2?1?cosx)2x22?limx?011 ?. 222?1?cosxx2?ax?b?5，求a,b. 3.设limx?11?x0x2?ax?b?5，所以此极限为（）型, 因为limx?101?x于是lim(x2?ax?b)?0，即1?a?b?0 a??1?b

x?1x2?ax?bx2?(?1?b)x?b(x?1)(x?b)lim?lim?lim?lim(b?x)?b?1?5 x?1x?1x?1x?11?x1?x1?x所以b?6,a??7.

x2?1(?ax?b)?3，求常数a,b. 4.已知limx??x?1x2?1(1?a)x2?(a?b)x?1?b?ax?b)?lim?3 解：因为lim(x??x?1x??x?1而x??， 所以 1?a?0,?(a?b)?3,从而a?1,b??4 1x2?1(1?a)x2?(a?b)x?1?b?ax?b)?lim?3 或lim(x??x?1x??x?11?a?0从而a?1

?(1?b)?1?1x1?bx??(1?b)?3， b??4.

于是limx???(1?b)x?(1?b)?limx??x?1 5. 证明当x?0时，e?exsinxx3~. 6ex?esinxex(1?esinx?x)?lim证明 ： ?lim 33x?0x?0xx66 33

?ex?(sinx?x)?lim(x?0,esinx?x?1~sinx?x) 3x?0x6?(?6)?e0?limsinx?xcosx?1?sinx?(?6)?lim?(?6)?lim?1（洛必达法则） x?0x?0x?0x33x26xxsinx0()00()0?当x?0时,e?ex3. ~6?sinx,?x?0x?6.a,b为何值时，函数f(x)??a,x?0在点x?0处连续.

?1x?0?xsin?b,x?解：因为f(x)在x?0处连续，所以有limf(x)?limf(x)?f(0)

x?0?x?0?而limf(x)?limsinx?1

x?0?x?0?x1limf(x)?lim(xsin?b)?0?b?b f(0)?a x?0?x?0?xx?0x?0于是limf(x)?limf(x)?f(0)即1?b?a ??故当a?b?1时，f(x)在点x?0处连续.

7.求下列函数的连续区间，并求极限. （1）f(x)?132x?3x?2,并求limf(x).

x?0解：因为f(x)?13x2?3x?2?1在点x?1,x?2处无意义 3(x?2)(x?1)D?(??，1)?(1，2)?(2，??)

1),(1，2),(2，??). 所以f(x)的连续区间为：(??，f(x)?lim且 limx?0x?031x?3x?22?132.

f(x). （2）f(x)?x?4?6?x,并求limx?5 34

解：因为 ??x?4?0?x?4,?即4?x?6得D?[4,6]

?6?x?0?x?6所以f(x)的连续区间为[4，6]

limf(x)?lim(x?4?6?x)?2.

x?5x?5（3）f(x)?lnarcsinx,并求limf(x). 1x?2?arcsinx?0?0?x?1解：因为?即0?x?1得D?(0,1] ?x?0??1?x?1?所以函数的连续区间为(0,1]

limf(x)?limlnarcsinx?lnlimarcsinx?ln1x?21x?21x?2?6

f(x) （4）f(x)?lg(2?x),并求xlim??8解：因为f(x)的定义域为2?x?0,即x?2

所以函数的连续区间为(??,2)，

f(x)?limlg(2?x)?lg10?1. 且xlim??8x??88.判定下列函数在指定点的连续性，并求函数的连续区间.

?ex,x?0（1）f(x)??在x?0处

?x?1,x?0解：f(x)的定义域为(??,??)

当x?0时，f(x)?ex连续， 当x?0时，f(x)?x?1连续，

而在x?0处，因为f(0)?(x+1)x?0?1 limf(x)?limex?1

x?0?x?0?x?0?limf(x)?lim(x?1)?1,即limf(x)?f(0) ?x?0x?0所以函数f(x)在x?0处连续， 故函数f(x)的连续区间为(??,??).

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?ln(1?x)?x?（2）f(x)??0?1?x?1?x?x?x?0x?0在x?0处 ?1?x?0解：f(x)的定义域为[?1,??) 当x?0时，f(x)?ln(1?x)连续 x当?1?x?0时，f(x)?1?x?1?x 连续，x而在x?0处，f(0)?0

1ln(1?x)xxln[lim(1?x)]?lne?1 =limf(x)?lim?limln(1?x)?x?0x?0?x?0?x?0?x1x?0limf(x)?lim??x?01?x?1?x2?lim?1 ?x?0x1?x?1?xlimf(x)?1?f(0)?0，所以f(x)在x?0处不连续

x?0??). 函数f(x)的连续区间为 [?1,0),(0，??12?(x?1),（3）f(x)??e??0,x??1 在x??1处

x??1解：f(x)的定义域为(??,??) 当x??1时，f(x)?e?1(x?1)2连续；

在x??1处，f(?1)?0

x??1limf(x)?limex??1?1(x?1)2?lim11x??1?0?f(?1)

2e(x?1)f(x)在x??1处连续，

所以函数f(x)连续区间为(??,??).

?sinxx?0（4）f(x)??x??x?0?1

在x?0处

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?sinx?x,x?0?sinx,x?0?解：因为f(x)????1,x?0 D?(??,??) ?xx?0?sinx?x?0?1,??x,?所以f(x)在x?0时连续， 在x?0处，f(0)?1

x?0limf(x)?lim??x?0sinxsinx?1,limf(x)?lim(?)??1 limf(x)不存在 ??x?0x?0x?0xx所以f(x)在x?0处不连续，函数f(x)连续区间为(??,0),(0,??).

1x?0?2?xsin（5）f(x)?? 在x?0处 x,x?0??0,解：D?(??,??)，函数f(x)在x?0时连续，

f(x)?limx2sin?0?f(0), 在x?0处，limx?0x?01x所以f(x)在x?0处连续，其连续区间为(??,??) 解：函数f(x)在x?0时连续，但在x?0处

limf(x)?limx2sinx?0x?01?0?f(0), x所以f(x)在x?0处连续，

（??，??）因而函数在内连续.

9.给f(x)补充定义一个函数值f(0)，能使f(x)在x?0处连续？

1（1）f(x)?sinxcos （2）f(x)?ln(1?kx)x

xm解：（1）函数f(x)?sinxcos在点x?0处无定义，

f(x)?limsinxcos?0,所以补充f(0)?0， 但由于limx?0x?0f(x)?f(0)，可使f(x)在x?0处连续. 则有limx?01x1x（2）函数f(x)?ln(1?kx)在点x?0处无定义，

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mxln(1?kx)?limln(1?kx)但由于limx?0x?0mxmkkx?ln[lim(1?kx)]x?01kxkm?lnekm?km

f(x)?f(0)，可使f(x)在x?0处连续. 所以补充f(0)?km，则有limx?010.设f(x)为连续函数，x?a与x?b是f(x)?0的两个相邻的根， 证明：若已知(a,b)内存在一点c，使f(c)?0（或?0），则f(x)在(a,b)内处处为正（或负）.

证明：（反证法）仅证处处为正（为负同理） 假设在(a,b)内存在一点d,使得f(d)?0 若f(d)?0,则与已知矛盾 若f(d)?0，又f(c)?0

由零值定理知在(c,d)或(d,c)(?(a,b)）内存在一点?，

使得f(?)?0,

即?是介于a,b之间的一个根, 这与a,b是相邻两根矛盾，

故假设不成立.所以f(x)在(a,b)内处处为正.

11.设f(x)与g(x)均在[a,b]上连续，且f(a)?g(a),f(b)?g(b)，证明：在

(a,b)内至少存在一点c，使得f(c)?g(c).

证明：设h(x)?f(x)?g(x)，由于f(x)与g(x)均在[a,b]上连续，

所以h(x)在[a,b]上连续， 又 h(a)?f(a)?g(a)?0h(b)?f(b)?g(b)?0(f(a)?g(a)) (f(b)?g(b))

由零值定理知：在(a,b)内至少存在一点c，

使得h(c)?f(c)?g(c)?0，即在(a,b)内至少存在一点c， 使得f(c)?g(c).

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12*．利用极限存在准则证明： （1）xlim???lnx?0 2x（2）证明数列?xn?，其中a?0,xn?(xn?1?其极限.

12a),n?2,3,?收敛，并求xn?1证明：（1）因为x?1时，lnx?ln[1?(x?1)]?x?1

lnxx?11111????，lim0?lim?0， ，而x???x???xx2x2xx2xlnx?0. 由夹逼定理得xlim???x20?（2）证明：因(xn?1?a)2?0，故xn?12?a?2axn?1，

xn?12?a2axn?11a所以 xn?(xn?1?)???a2xn?12xn?12xn?1(n?2,3,?)

所以数列?xn?有下界a，其中x1未算入数列中，若算入， 则下界可取为min(x0,a)，又由于

(xn2?a)?2xn21a xn?1?xn?(xn?)?xn?2xn2xn?(a?xn)(a?xn)?0 (xn?a)

2xn2所以数列?xn?单调递减，?xn?单调递减有下界必有界， 由单调有界数列必收敛得数列?xn?收敛.

limxn?A，由xn?a?0，所以A?0， 设n??对等式xn?(xn?1?121aa)两边取极限得A?(A?)，

2Axn?1解方程得A?a（负值舍去）.

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