第17届华罗庚金杯赛试题集锦（上）

年 级 课程标题 编稿老师 一校 六年级 张任峰 林卉 学 科 奥数 版 本 通用版 第17届华罗庚金杯赛试题集锦（上） 二校 黄楠 审核 张舒 第17届华罗庚金杯赛试题集锦（上） （答题时间：60分钟） 一、选择题 1. 计算：（?24＋6.6???0.8＋）??15?9－7.6＝（ ） ?14A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 2. 以平面上4个点为端点连接线段，形成的图形中最多可以有（ ）个三角形。 A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 3. 一个奇怪的动物庄园里住着猫和狗，狗比猫多180只。有20%的狗错认为自己是猫；有20%的猫错认为自己是狗。在所有的猫和狗中，有32%认为自己是猫，那么狗有（ ）只。 A. 240 B. 248 C. 420 D. 842 4. 图中的方格纸中有五个编号为1，2，3，4，5的小正方形，将其中的两个涂上阴影，与图中阴影部分正好组成正方体的展开图，这两个正方形的编号可以是（ ） A. 1，2 B. 2，3 C. 3，4 D. 4，5 5. 在如图所示的算式中，每个字母代表一个非零数字，不同的字母代表不同的数字，则和的最小值是（ ）

A. 369 B. 396 C. 459 D. 549

6. 下图由相同的正方形和相同的等腰直角三角形构成，则正方形的个数有（ ）个。

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A. 83 B. 79 C. 72 D. 65

二、填空题

1. 箱子里已有若干个红球和黑球，放入一些黑球后，红球占全部球数的四分之一；再放入一些红球后，红球的数量是黑球的三分之二。若放入的黑球和红球的数量相同，则原来箱子里的红球与黑球的数量之比为______。

2. 里山镇到省城的高速路全长189千米，途经县城，里山镇到县城的距离为54千米。早上8：30，一辆客车从里山镇开往县城，9：15到达，停留15分钟后开往省城，11：00到达。另有一辆客车于同一天早上8：50从省城径直开往里山镇，每小时行驶60千米。那么两车相遇的时间为____。

3. 某水池有A，B两个水龙头。如果A，B同时打开需要30分钟可将水池注满。现在A和B同时打开10分钟后，将A关闭，由B继续注水80分钟，也可将水池注满。那么单独打开B龙头注水，需要________分钟才可将水池注满。

4. 如图是一个五棱柱的平面展开图，图中的正方形边长都为4。按图所示数据，这个五棱柱的体积等于________。

5. 一条路上有A，O，B三个地点，O在A与B之间，A与O相距1620米。甲、乙两人同时分别从A和O点出发向B点行进。出发后第12分钟，甲、乙两人离O点的距离相等；第36分钟甲与乙两人在B点相遇。那么O与B两点间的距离是______米。

6. 从1到1000中最多可以选出_____个数，使得这些数中任意两个数的差都不整除它们的和。

7. 有高度相同的一段方木和一段圆木，体积之比是1：1。如果将方木加工成尽可能大的圆柱，将圆木加工成尽可能大的长方体，则得到的圆柱的体积和长方体的体积的比值为_____。

8. 某个水池存有其容量的十八分之一的水。两条注水管同时向水池注水，当水池的水量达到九分之二时，第一条注水管开始单独向水池注水，用时81分钟，所注入的水量等于第二条注水管已注入水池内的水量。然后第二条注水管单独向水池注水49分钟，此时，两条注水管注入水池的总水量相同。之后，两条注水管都继续向水池注水。那么两条注水管还需要一起注水______分钟，方能将水池注满。

9. 有16位选手参加象棋晋级赛，每两人都只赛一盘。每盘胜者积1分，败者积0分。如果和棋，每人各积0.5分。比赛全部结束后，积分不少于10分者晋级。那么本次比赛后最

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多有______位选手晋级。

10. 平面内有5个点，其中任意3个点均不在同一条直线上，以这些点为端点连接线段，则除这5个点外，这些线段至少还有______个交点。

11. 有两个体积之比为5：8的圆柱，它们的侧面展开图为相同的长方形，如果把该长方形的长和宽同时增加6，其面积增加了114。那么这个长方形的面积为____。

12. 甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲粮库调90袋到乙粮库，则乙粮库存粮的袋数是甲粮库的2倍。如果从乙粮库调若干袋到甲粮库，则甲粮库存粮的袋数是乙粮库的6倍。那么甲粮库原来最少存有______袋粮食。 三、计算题 1. 计算：46?511?7??＋?－ 75?1215?302. 设a△b和a▽b分别表示取a和b两个数的最小值和最大值，如，3△4＝3，3▽4＝4。那么对于不同的数x，5▽（4▽（x△4））的取值共有几个？ 3. 用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}＝x－[x]。 计算：?＋1??2012＋2??2012＋3?＋2012??2012?2012＋＋＋?＋???????。 5555????????4. 在乘法算式“草绿×花红了＝春光明媚”中，汉字代表非零数字，不同汉字代表不同的数字，那么春光明媚所代表的四位数最小是多少？ 四、解答题 1. 能否用500个如图所示的1×2的小长方形拼成一个5×200的大长方形， 使得5×200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明理由。 2. 记一千个自然数x，x＋1，x＋2，…，x＋999的和为a，如果a的数字和等于50，则x最小为多少？ 3. 请写出所有满足下面三个条件的正整数a和b：（1）a?b；（2）a＋b是个三位数，且三个数字从小到大排列等差；（3）a×b是一个五位数，且五个数字相同。 4. 小李和小张在一个圆形跑道上匀速跑步，两人同时同地出发，小李顺时针跑，每72秒跑一圈；小张逆时针跑，每80秒跑一圈。在跑道上划定以起点为中心的1圆弧区间，那么4两人同时在划定的区间内跑所持续的时间为多少秒？ 5. 把一个棱长均为整数的长方体的表面都涂上红色，然后切割成棱长为1的小立方块，其中两面有红色的小立方块有40块，一面有红色的小立方块有66块，那么这个长方体的体积是多少？

6. 王大妈拿了一袋硬币去银行兑换纸币，袋中有一分、二分、五分和一角四种硬币，二分硬币的枚数是一分的

333，五分硬币的枚数是二分的，一角硬币的枚数是五分的少7555枚。王大妈兑换到的纸币恰好是大于50小于100的整元数。问这四种硬币各有多少枚？

7. 如图，ABCD是平行四边形，E为AB延长线上一点，K为AD延长线上一点。连接BK， 其与DE相交于一点O。问：四边形ABOD与四边形ECKO的面积是否相等？请说明理由。

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8. 将一个2n位数的前n位数和后n位数各当成一个n位数，如果这两个n位数之和的平方正好等于这个2n位数，则称这个2n位数为卡布列克 （Kabulek） 怪数，例如，所以3025是一个卡布列克怪数。请问在四位数中有哪些卡布列克怪数？ ?30＋25?2＝3025，

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一、选择题

1. B 分析：原式＝[（0.8＋0.2）×24＋6.6]×＝30.6×

14－7.6 914－7.6 9＝3.4×14－7.6 ＝47.6－7.6 ＝40 2. D 分析：注意看清题目，是以4个点为端点连接线段，构成的图形最多可以有多少个三角形；而不是以这4个点为端点，最多可以有多少个三角形，所以如图可知最多有8个三角形。 3. A 分析：方法1：假设法。设猫有a只，其中认为自己是猫的有80%a只；设狗有b只，其中认为自己是猫的有20%b只。 所以有b－a＝180，80%a＋20%b＝32％，解方程可得b＝240，所以狗有240只。 a＋b方法2：浓度法。狗中认为自己是猫的有20%，猫中认为自己是猫的有80%，此两种混合后共有32%的认为自己是猫，用十字交叉法（如图），所以狗和猫的比是48%：12%＝4：1，而狗比猫多180只，所以狗一共有180÷（4－1）×4＝240（只）。 4. D 分析：如图，缺的是前面和上面，所以给出的答案中只有4，5满足，本题中还有其他情况，如1，5等。

5. C 分析：排除法。如果选A或者B，则百位只能选1＋2，十位不进位，十位无法得6，

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排除A；如果十位得9，那么各位不能进位，十位选4＋5，那么个位进位，排除B；选C，百位是1＋2，个位3＋6，十位7＋8进位写5；而D中的结果不是最小值。 6. A 分析：所有的正方形都是斜着的。

边长为1的正方形一斜行一斜行地数，一共有：2＋4＋6＋8＋8＋6＋4＋2＝40（个）； 边长为2的正方形一斜行一斜行地数，一共有：1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝25（个）； 边长为3的正方形一斜行一斜行地数，一共有：2＋4＋4＋2＝12（个）； 边长为4的正方形一斜行一斜行地数，一共有：1＋3＋1＝5（个）； 边长大于等于5的，还有一个最大的。

所以一共就是：40＋25＋12＋5＋1＝83（个）。 二、填空题 1. 1：2 分析：由题中“放入一些黑球后，红球占全部球数的四分之一” 可知此时的红球1，此时若把总球数看做4份（放入一些黑球后），则此时的红球为1312份，如图，实线红球部分占所有黑球的，再加一段虚线红球，则占黑球的，所以此时33占所有黑球球数的加入的红球和原来的红球数量相同，均为1份，即每次加的黑球和红球恰好是1份，所以原来黑球的球数为4－1－1＝2（份），即原来红球与黑球的数量之比是1：2。 2. 10：08 分析：为叙述方便，称从里山镇开出的客车为甲，从省城开出的客车为乙。 甲车到达县城前，平均时速为54÷45＝72（千米/小时）； 60甲车离开县城后，平均时速为（189－54）÷1.5＝90（千米/小时）； 乙车从8：50到9：30，共行驶了60×40＝40（千米），甲车从8：30到9：30，共行60驶了54千米，所以在9：30甲、乙两车还相距189－40－54＝95（千米），相遇还需95÷（90＋60）＝19（小时）＝38（分钟），9：30后再过38分钟两车能相遇，即两车相遇的30时间为10：08。 112，那么10分钟完成，余下333011－?10)?80＝由B独立完成，工作时间为80分钟，所以B的工作效率为(1；所以301201＝120（分钟）。 单独由B完成整个工作，需要1?1203. 120 分析：设总工作量为1，A、B的工作效率和是4. 56 分析：折叠后底面是这个（

）形状的五棱柱，高为4。底面可看做边长是

4的正方形去掉一个小直角三角形（14×4＝56。

4－2×2÷2＝14，体积为），所以底面积为4×

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5. 1620 分析：如图，如果乙和甲相向行走，那么恰好第12分钟相遇，所以甲、乙两人的速度和是1620÷12＝135（米/分）；

第36分钟甲在B地追上乙，那么1620米是路程差，所以甲、乙两人的速度差是1620÷36＝45（米/分）；

根据和倍问题公式，得乙的速度是（135－45）÷2＝45（米/分）； OB的距离是乙36分钟走完的，所以O与B两点间的距离是45×36＝1620（米）。

6. 334 分析：显然，自然数按被3除得的余数可以分成3类，余0、1、2。 被3除余1的所有数，任两个数相加的和被3除余2，差被3整除，这样两数的差都不整除它们的和，符合题意。 对被3除余2的所有数也符合题意。 1到1000中，被3除余1的数有334个，余0、2的数有333个。 因此最多可以选出334个数，符合题意。 π27. 分析：高相同，体积比为1：1，则原方木和圆木的底面积比为1：1。 8设方木底面边长为a，加工成的圆柱的底面半径为m；圆木底面半径为b，加工成的长方体的底面边长为n。因为底面积相等，所以a2＝πb2，即（a）2＝π。 b11如图，为了使加工成的底面积尽可能大，所以m＝a，即m2＝a2； 2422n2＝?2b?，即n2＝2b2。 aπ2所求比值为πm2 ： n2＝π（）2÷8＝。 b8 8. 231 分析：为叙述方便，称第一条注水管为甲，第二条注水管为乙，49：81＝（7×7）：（9×9），如示意图，将第一次同时注水时，甲的注水量标记为1，乙的注水量标记为2，又已知甲耗时81分钟的注水量为2及两条注水管注入水池的总水量相同，可知乙耗时49分钟的注水量应标记为1，所以甲、乙的工效之比可看做第一次同时工作时注水量之比，即甲、乙工效之比＝标记1：标记2＝49×乙的工效：81×甲的工效?甲、乙工效之比＝7：9。

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所以第一次共同注水时间为（7×81＋9×49）÷（7＋9）＝63（分钟），第一次共同注水量为2111111111－＝，剩余注水量为1－－×2＝，还需一起注水÷×63＝231（分918618618186钟）。 9. 11 分析：一共进行16×15÷2＝120（场）比赛，不论胜负，每场比赛总分增加1分，即总分一共为120分。 最理想的结果是120÷10＝12人晋级，即有12人每人10分，其余4人每人0分，但这种情况不可能出现（哪怕排名最后的两人互相之间的比赛，也会有人得分）。 那么就考虑11人的情况，前11名称为“高手”，余下5人，称为“鱼腩”，高手之间的比赛，全平，每人和其余10人分别赛一场，每人得0.5×10＝5（分）；高手对鱼腩的比赛，高手全胜，每个高手再得5分，这样每个高手得分5＋5＝10（分），正好全部晋级。 综上，最多有11位选手晋级。 10. 1 分析：如图，至少还有1个交点。 11. 40 分析：侧面展开图为相同的长方形说明这两个圆柱是由这个长方形分别横着围成一个和竖着围成一个，体积比为5：8； 如图，阴影部分的面积是114，则a＋b＝（114－6×6）÷6＝13； ?a????π?ba55?2π?＝，而a＋b＝13，所以a、b根据体积比为5：8可知，化简为＝2b88?b????π?a2π??分别为5、8，这个长方形的面积为5×8＝40。

2

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12. 153 分析：根据第一个条件可知，乙的袋数是偶数袋，设乙有2n袋；甲给乙90袋，则乙有（2n＋90）袋。

甲剩下：（2n＋90）÷2＝n＋45（袋），所以甲原来有：n＋45＋90＝n＋135（袋）； 根据条件二，假设乙给了甲m袋，甲是乙的6倍，则有：n＋135＋m＝（2n－m）×6，即11n－7m＝135，n＝135＋7m（袋），根据题意，n是整数，求n的最小值；135被11除余3，11那么有7m被11除余8，当m最小为9时，7m被11除余8； 所以n＝ 三、计算题 1. 解：原式＝135＋7?9＝18（袋），那么甲粮库原来至少有粮食：18＋135＝153（袋）。 1146697466078793?－＝?－＝－＝＝ 756030756930153030102. 解：4▽（x△4）这一步，不管x取值如何，结果都是4，5▽4＝5，取值只有1个或者分情况讨论： ①x≤4，x△4＝x，4▽x＝4，5▽4＝5； ②x＞4，x△4＝4，4▽4＝4，5▽4＝5，所以取值只有1个。 3401234和，从第三项开始，5项一周期，分别为，，，，，55555553＋42012＋2012＝4024，（2012－2）÷5＝402（一共402个周期），所以原式＝＋51＋2＋3＋4×402＝805.4。 53. 解：前两项，分别为4. 解：（1）13□×2□，剩余4、5、6、7、8、9，不能有重复数字，所以尾数相乘与积的末位不能相同的情况有6×9＝□4，4×9＝□6，7×8＝□6，4×7＝□8，经验证以上情况其他数位都有重复数字； （2）14□×2□，剩余3、5、6、7、8、9。不能有重复数字，所以尾数相乘与积的末位不能相同的情况有7×9＝□3，7×8＝□6，3×6＝□8，3×9＝□7，经验证以上情况其他数位都有重复数字； （3）15□×2□，剩余3、4、6、7、8、9。不能有重复数字，所以尾数相乘与积的末位不能相同的情况有3×6＝□8，3×8＝□4，3×9＝□7，4×7＝□8，9×4＝□6，6×9＝□4，7×8＝□6，7×9＝□3，经验证157×28＝4396没有重复数字，且最小。

四、解答题

1. 解：首先构造5×4的长方形如下： 然后用50个5×4的长方形即可拼成5×200的长方形。

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2. 解：x＋（x＋1）＋（x＋2）＋... ＋（x＋999）＝1000x＋499500， 可知当1000x的位数小于7位时是无法满足条件的。

4＋9＋9＋5＝27，50－27＝23，但是题目说的是最小x，所以要从499500的最高位进行补齐。

所以满足条件的a的最小值是99999500，1000x＝99999500－499500＝99500000，所以x＝99500，即x最小为99500。 3. 解：11111＝41×271； a＝271，b最小为41×7＝287，最大为41×9＝369，经验证，不满足， b＝271，a可能为41，82，123，164，205，246，经验证，a＝41，164， b＝542，a可能为41，82，123，164，经验证，a＝82， b＝813，a可能为41，82，123，123，经验证，a＝123 综上，满足要求的正整数a，b有： （41，271），（164，271），（82，542），（123，813）

4. 解：设起跑时间为0秒时刻，则小李和小张在划定区间跑的时间段分别为?0，9?，

?72k－9，72k＋9?，k＝1，2，3，…，和?0，10?，?80m－10，80m＋10?，m＝1，2，3，?。其中[a，b]表示第a秒时刻至第b秒时刻。显然?0，9?为前9秒里两类时间段的公共部分。此外，考虑?72k－9，72k＋9?和?80m－10，80m＋10?的公共部分，k，m为正整数，分两种情况：

（1）72k＝80m，即小李和小张分别跑了k 圈和m 圈同时回到起点，他们二人同时在划定区间内跑了18秒。

10?72k?9?80m?10?1?80m?72k?19①，（2）72k?80m，例如72k?9?80m?如图，

10)?19?(80m?72k)，由①知两人同时在划定区间内跑了72k?9?(80m?80m?72k?8,16。

于是两人同时在划定区间内跑所持续的时间为11秒或3秒，其它情况类似可得同样结果。

综上，答案为3，9，11，18。

5. 解：设立方体的长，宽，高分别为x，y，z，其中x?y?z，且为整数。注意两面有红色的小立方块只能在长方体的棱上出现。

，y?1，如果x?1则没有两面为红色的小立方块，不符合题意。

，y＞1，如果x?1则没有只有一面为红色的小立方块，不符合题意。

因此x?2，此时两面出现红色的小立方块只能与长方体的棱共棱，一面出现红色的小立

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方块只能与长方体的面共面。

有下面的式子成立：

4???x－2?＋?y－2?＋?z－2??＝40，（1）

2???x－2??y－2?＋?x－2??z－2?＋?y－2??z－2??＝66，（2）

16，（3） 由（1）得到x＋y＋z＝由（2）得到xy＋xz＋yz＝85，（4） 由（3）和（4）可得，x2＋y2＋z2＝86，且 2?x,y,z?9。

由（4）得到?x＋y??x＋z?＝85＋x2，（5）

若x＝2，则由（5）得到?2＋y??2＋z?（3）。 ＝85＋4＝89＝1?89，y,z的取值不能满足若x＝3，则由（5）得到?3＋y??3＋z?（3）。 ＝85＋9＝94＝2?47，y,z的取值不能满足若x＝4，则由（5）得到?4＋y??4＋z?＝85＋16＝101＝1?101，y,z的取值不能满足（3）。 当x＝5时，由（5）得到?5＋y??5＋z?＝85＋25＝110＝2?5?11，此时y＝5,z＝6满足条件。 如果x?6，则x＋y＋z?18，与（3）矛盾。 ，y＝5，z＝6满足题意，这个长方体的体积为150。 综上，x＝53的关系，总5333币值在5070分—10070分之间且末两位为70。设1分的枚数为1，则2分为，5分为×＝5559932733，1角为×＝，1分至少125枚，2分为125×＝75（枚），5分为75×＝45（枚），252551255531角为45×＝27（枚）。 56. 解：总币值在5000分—10000分之间且为整百，1角的增加7枚，正好都是此时的纸币为125＋2×75＋5×45＋10×27＝770（分），而770×11＝8470满足条件， 所以1分硬币有125×11＝1375（枚），2分硬币有75×11＝825（枚），5分硬币有45×11＝495（枚），1角硬币有27×11－7＝290（枚）。 7 .解：连接AC，则 S四边形ECKB?S?CEB?S?BCK?S?CEB?S?BCA?S?ACE?S?EAD， 所以S四边形ECKB?S?OBE?S?EAD?S?OBE，即S四边形ECKO?S四边形ABOD 所以四边形ABOD与四边形ECKO的面积相等。 ，0?y?99。则由题意知8. 解：设一个四位卡布列克怪数为100x＋y，其中10?x?99

100x＋y＝?x＋y?，两边模99得x＋y＝?x＋y?（mod 99），

22因此99∣（x＋y）（x＋y－1），故x＋y与x＋y－1中有一个能被9整除，也有一个能

100。被11整除（可能是同一个数），且有102??x＋y?＝即10?x＋y＜100x＋y＜1002，

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（*）若x＋y能被99整除，由（*）知x＋y只能是99，满足条件的四位数是9801；若x＋y－1能被99整除，由（*），显然没有满足条件的四位数；

此外，可设x＋y＝9m，x＋y－1＝11n，则有9m－11n＝1，由（*），m和n均为小于12的正整数，故得到m＝5，n＝4，x＋y只能是45，满足条件的四位数是2025；反之，可设x＋y－1＝9m，x＋y＝11n，满足条件的四位数是3025。故四位数中有三个卡布列克怪数，它们分别为2025，3025和9801。

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